
\begin{enumerate}
\item L'équation $y'=3y-9$ est une équation différentielle du type $y'=ay+b$ donc d'après le cours, les solutions de cette équation sont les fonctions:
\[
y(x)=C\e^{3x}-\dfrac{-9}{3},\qquad C\in\R
\]
soit, après simplification:
\[
y(x)=C\e^{3x}+3,\qquad C\in\R.
\]
On vérifie en calculant:
\begin{align*}
y'(x)-3y(x) & = 3C\e^{3x}-3\big(C\e^{3x}+3\big)\\
& = 3C\e^{3x}-3C\e^{3x}-9 = -9.
\end{align*}
On a bien $y'-3y=-9$, soit $y'=3y-9$.

\item On pose (E) : $y'=2y-x^3$.
\begin{enumerate}
\item $y_1(x)=\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8}$ donc: $y_1^\prime(x) = \dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4}$.

On a alors:
\begin{align*}
y_1^\prime(x)-2y_1(x) & = \dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4} - 2\left( \dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8} \right)\\
& = -x^3.
\end{align*}
Ainsi, $y_1^\prime(x) = 2y_1(x)-x^3$. La fonction $y_1$ est donc une solution de (E).

\item De la solution particulière $y_1(x)$, on déduit que l'ensemble des solutions de (E) sont les fonctions:
\[
y(x)=y_1(x)+y_0(x)
\]
où $y_0(x)$ sont les solutions de l'équation homogène associée à (E), donc de la forme:
\[
y_0(x)=C\e^{2x},\qquad C\in\R.
\]
Ainsi, les solutions de (E) sont:
\[
y(x)=\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8}+C\e^{2x},\qquad C\in\R.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
