
\begin{enumerate}
\item \label{intcorq6} Posons pour $x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$:
\[
u(x)=x^2
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\dfrac{1}{2}\sin2x.
\]
Alors : 
\[
u'(x)=2x
\quad
\text{et}
\quad 
v'(x)=\cos2x.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l'intervalle $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur ce même intervalle. Donc, par le théorème d'intégration par parties, on a:
\[
K=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\cos2x\dx=\underbrace{\left[x^2\dfrac{1}{2}\sin2x
\right]_0^\frac{\pi}{2}}_{=\;0} -\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dx.
\]
Pour calculer l'intégrale $\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dx$, il est nécessaire de procéder à une seconde intégration par parties.
Posons:
\[
s(x)=x
\quad
\text{et}
\quad 
t(x)=\dfrac{1}{2}\cos2x.
\]
Alors : 
\[
s'(x)=1
\quad
\text{et}
\quad 
t'(x)=-\sin2x.
\]
Les fonctions $s$ et $t$ étant dérivables, à dérivée continue sur l'intervalle $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a, par le théorème d'intégration par parties :
\[
\begin{aligned}
K&=-\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dx \\
&=\left[
x\dfrac{1}{2}\cos2x
\right] _0^\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{2}\cos2x \dx
\\
&=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\Bigl[ \sin2x \Bigr]_0^\frac{\pi}{2} \\
&=-\dfrac{\pi}{4}.
\end{aligned}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item Par linéarité de l'intégrale, on a :
\[
I+J=\int_0^\frac{\pi}{2}
x^2\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right) \dx  =\int_0^\frac{\pi}{2} x^2 \dx=\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^\frac{\pi}{2} =\dfrac{\pi^3}{24}.
\]
On sait que pour tout $x$,
\[
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x.
\]
Donc, d'après \ref{intcorq6}, par linéarité de l'intégrale, on a : 
\[
I-J=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\left(\cos^2x-\sin^2x\right) \dx 
=
\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\cos2x\dx 
=-\dfrac{\pi}{4}.
\]

\item On en déduit que: 
\[
\boxed{I=\dfrac{\pi^3}{48}-\dfrac{\pi}{8}}
\quad
\text{et}
\quad 
\boxed{J=\dfrac{\pi^3}{48}+\dfrac{\pi}{8}}.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
