
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $I_1=\dint_0^1 \dfrac{\e^x}{\e^x+1}\dx=\big[ \ln (\e^x+1) \big]_0^1=\ln (\e+1) - \ln 2$.

\medskip

Ainsi, $\boxed{I_1=\ln\left(\dfrac{\e+1}{2}\right)}$.

\medskip

\item $I_0+I_1=\dint_0^1\dfrac{\e^x+1}{\e^x+1}\dx=[x]_0^1$.

Ainsi, $\boxed{I_0+I_1=1}$.
\end{itemize}

\medskip

On en déduit alors : $I_0=1-I_1$, soit $\boxed{I_0=1-\ln\left(\dfrac{\e+1}{2}\right)}$.

\item $\begin{aligned}[t]
I_n+I_{n+1} & = \dint_0^1\dfrac{\e^{nx}+\e^{(n+1)x}}{\e^x+1}\dx\\[8pt]
& = \dint_0^1\dfrac{\e^{nx}\left(\e^x+1\right)}{\e^x+1}\dx\\[8pt]
& =\dint_0^1 \e^{nx} \dx\\[8pt]
& =\dfrac{1}{n}\left[\e^{nx}\right]_0^1
\end{aligned}$.

\medskip

Ainsi, $\boxed{I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n}\left(\e^n-1\right)}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $ I_{n+1}-I_n=\dint_0^1\dfrac{\e^{nx}\left(\e^x-1\right)}{\e^x+1}\dx$.\\
Or, sur \intervFF{0}{1}, on a : 
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\e^{nx} \geqslant 0\\
\e^x-1 \geqslant 0\\
\e^x+1 \geqslant 0
\end{array}
\right.
\]

Ainsi, $I_{n+1}-I_n \geqslant 0$ donc \underline{\suite{I}{n}{} est croissante}.

\item $\begin{aligned}[t]
0 \leqslant x \leqslant 1 & \Longleftrightarrow \e^0 \leqslant \e^x \leqslant \e^1 \textrm{ car } t \mapsto \e^t \textrm{ est croissante}\\
& \Longleftrightarrow 1+1 \leqslant \e^x+1 \leqslant \e+1\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\e+1} \leqslant \dfrac{1}{\e^x+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\\
& \Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{\e^{nx}}{\e+1} \leqslant \dfrac{\e^{nx}}{\e^x+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\e^{nx}} \textrm{ car } \e^{nx} > 0\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\e+1}\dint_0^1 \e^{nx}\dx \leqslant \dint_0^1\dfrac{\e^{nx}}{\e^x+1}\dx \leqslant \dfrac{1}{2}\dint_0^1 \e^{nx}\dx\\
& \Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{\e^n-1}{n(\e+1)} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\e^n-1}{2n}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\newpage

\item On sait (croissance comparée) que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\e^n}{n}=+\infty$. Ainsi, $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\e^n-1}{n(\e+1)}=+\infty$.

De plus, $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\e^n-1}{2(\e+1)}=+\infty$.

Ainsi, d'après le théorème de comparaison, $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n=+\infty}$.

De plus, $\dfrac{1-\e^{-n}}{n(\e+1)} \leqslant I_n\e^{-n} \leqslant \dfrac{1-\e^{-n}}{2n}$ et  $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1-\e^{-n}}{n(\e+1)}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1-\e^{-n}}{2n}=0$.

Ainsi, $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{I_n}{\e^n}}=0$.
\end{enumerate}
