On considère les intégrales suivantes, définies pour tout entier naturel $n$ :
\[ 
I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^{-nx}\sin x \dx \quad ; \quad J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^{-nx}\cos x \dx
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ et $J_0$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 
\begin{enumerate}
\item On pose $F_n(x)=-\e^{-nx}\sin x$.

Calculer $F_n^\prime(x)$ et en déduire que :
\[ nI_n-J_n=-\e^{-n\frac{\pi}{2}}\;.\]

\item On pose $G_n(x)=-\e^{-nx}\cos x$.

Calculer $G_n^\prime(x)$ et en déduire que :
\[ I_n+nJ_n=1.\]

\item En déduire la valeur de $I_n$ et $J_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} J_n$.
\end{enumerate}

