
\begin{enumerate}
\item Sur \intervFF{1}{\e}, $\ln x\geqslant0$ donc $(\ln x)^n\geqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

\underline{Ainsi, $I_n=\dint_1^\e (\ln x)^n\dx \geqslant 0$.}

\item $\begin{aligned}[t]
I_{n+1}-I_n & = \int_1^\e (\ln x)^{n+1}\dx - \int_1^\e (\ln x)^n\dx\\
& = \int_1^\e \big[ (\ln x)^{n+1} - (\ln x)^n \big]\dx\quad\text{par linéarité de l'intégrale}\\
& = \int_1^\e (\ln x)^n(\ln x-1)\dx\;.
\end{aligned}$

Or, $\begin{aligned}[t]
1 \leqslant x \leqslant \e 
& \iff \ln 1 \leqslant \ln x \leqslant \ln\e\\
& \iff 0 \leqslant \ln x \leqslant 1\\
& \iff -1 \leqslant \ln x-1 \leqslant 0
\end{aligned}$

Ainsi, sur \intervFF{1}{\e}, $(\ln x)^n(\ln x-1)\leqslant0$ (car $(\ln x)^n\geqslant0$ sur cet intervalle), et donc\linebreak $I_{n+1}-I_n\leqslant0$.

\medskip

\uline{La suite \suite{I}{n}{} est donc décroissante.}

\item Posons $u'(x)=\dfrac{1}{x}(\ln x)^n$ et $v(x)=x$. Alors, $I_n=\int_1^\e u'(x)v(x)\dx$ et par intégration par parties: 
\[
I_n=f(\e)-f(1)-\int_1^\e u(x)v'(x)\dx\;,
\]
avec $u(x)=\dfrac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}$, $v'(x)=1$ et $f(x)=u(x)v(x)=\dfrac{1}{n+1}x(\ln x)^{n+1}$.

Donc :
\begin{align*}
I_n & = \dfrac{1}{n+1}\times\e\times(\ln \e)^{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\times1\times(\ln 1)^{n+1}-\int_1^\e \dfrac{1}{n+1}(\ln x)^{n+1}\times1\dx\\
I_n& = \dfrac{\e}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\int_1^\e (\ln x)^{n+1}\dx\\
I_n& = \dfrac{\e}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}I_{n+1}
\end{align*}

Ainsi, en multipliant par $(n+1)$ chaque membre de cette dernière égalité, on obtient :
\[
\boxed{(n+1)I_n+I_{n+1}=\e}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item La relation de récurrence de la question précédente donne :
\begin{itemize}
\item pour $n=0$ : $I_0+I_1=\e$;
\item pour $n=1$ : $2I_1+I_2=\e$.
\end{itemize}
Ainsi, $I_0+I_1=2I_1+I_2$, soit \uline{$I_0-I_1=I_2$}.

\item $I_0=\int_1^\e (\ln x)^0\dx=\int_1^\e 1\dx = \big[x\big]_1^\e=\underline{\e-1}$.

\item $L'(x)=1\times\ln x + x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$.

Donc $L$ est bien une primitive de la fonction $\ln$. On en déduit alors :
\begin{align*}
I_1 & =\int_1^\e \ln x\dx\\
    & = L(\e)-L(1)\\
    & = \e\ln\e-\e-1\ln1+1\\
    & =\underline{1}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
I_2=I_0-I_1=\e-1-1=\underline{\e-2}.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
