On considère la suite $\suite{u}{n}{}$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n=\int_1^{\e^2} \frac{(\ln x)^n}{x^2}\dx. \]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F_n(x)=\dfrac{(\ln x)^{n+1}}{x}$.

Montrer que $F_n^\prime(x)=(n+1)\dfrac{(\ln x)^n}{x^2}-\dfrac{(\ln x)^{n+1}}{x^2}$.
\item En déduire que $u_{n+1}=-\dfrac{2^{n+1}}{\e^2}+(n+1)u_n$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[ u_n=n!u_0-\frac{n!}{\e^2}\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{\fact{k}}\]
\item En déduire que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{u_n}{\fact{n}} \right)=0$.
On admettra pour cela que $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k}{\fact{k}}=\e^2$.
\end{enumerate}

