On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} par:
\[
f(x)=\dfrac{1}{1+\sin(x)}.
\]
L'objectif de cet exercice est de calculer:
\[
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dx.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFO{0}{\dfrac{\pi}{2}},
\[
f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} - \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une primitive de $g(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ est $G(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur \intervFO{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{enumerate}

\item On pose $I(t) = \dint_0^{t} f(x)\dx$.

Montrer que $I(t)=\dfrac{\sin(t)-1}{\cos(t)}+1$.

\item En déduire la valeur de $I = \limite{t}{\frac{\pi}{2}}{I(t)}$.
\end{enumerate}

