On cherche à exprimer pour tout entier naturel $n\geqslant1$ l'intégrale $I_n$ définie par:
\[
I_n = \int_1^\e x\big(\ln x\big)^n\dx.
\]
Nous avons trouvé $I_1$ et $I_2$ dans l'exercice précédent.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $I_n = \dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{n}{2}I_{n-1}$.
\item Donner les valeurs exactes de $I_n$ pour $1\leqslant n \leqslant 5$.
\item D'après ces derniers résultats, on peut aisément supposer que $I_n = a_n \e^2 + b_n$.

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant0$,
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = \dfrac{1}{2}(1 - (n+1)a_n)\\[1em]
b_{n+1} = -\dfrac{n+1}{2}b_n
\end{cases}
\]

\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant1$, $b_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n!}{2^{n+1}}$.

On admet que pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[
a_n=\dfrac{1}{2} + n!\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k }{2^{k+1} (n-k)!}.
\]

\item \'Ecrire un programme Python permettant d'afficher la valeur exacte de $I_n$, pour un entier $n\geqslant1$. Pour cela, on pourra faire appel au module \texttt{fractions} et à sa classe \texttt{Fraction} (voir \url{https://docs.python.org/fr/3.6/library/fractions.html}).
\end{enumerate}

