
\begin{enumerate}
\item On sait qu'une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.

Ainsi,
\begin{align*}
\dint_4^8  \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} \dx & = \left[ -\dfrac{1}{f(x)} \right]_4^8\\
& = -\dfrac{1}{f(8)} - \left(-\dfrac{1}{f(4)}\right)\\
& = -2 + 4\\
\Aboxed{ \dint_4^8  \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} \dx & = 2}
\end{align*}

\item Pour tout réel $k$, 
\begin{align*}
\left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k \right)^2 & = \left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} \right)^2 + 2k\dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k^2\\
& = \dfrac{\big[ f(x) \big]^2}{\big[ f(x) \big]^4} + 2k\dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k^2.
\end{align*}

D'où:
\begin{align*}
\dint_4^8 \left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k \right)^2 \dx & = \int_4^8 \dfrac{\big[ f(x) \big]^2}{\big[ f(x) \big]^4} \dx + 2k\int_4^8 \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} \dx + k^2\int_4^8 \dx\\
& = 1 + 2k \times 2 + k^2 (8-4)\\
& = 4k^2 + 4k + 1\\
\Aboxed{ \dint_4^8 \left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k \right)^2 \dx & = (2k + 1)^2 }
\end{align*}

\item Pour $k=-\dfrac{1}{2}$, on a :
\[
\dint_4^8 \left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} - \dfrac{1}{2} \right)^2 \dx = 0. 
\]
Or, $\left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} - \dfrac{1}{2} \right)^2 \geqslant 0$.

Si l'intégrale d'une fonction positive ou nulle est nulle sur un intervalle, alors cette fonction est nécessairement nulle sur cet intervalle.

Ainsi, sur \intervFF{4}{8}, 
\[
\dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} - \dfrac{1}{2} = 0
\]
soit:
\[
\boxed{ \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} = \dfrac{1}{2} }
\]

\item Si deux fonctions sont égales sur un intervalle, alors leurs primitives aussi.

Ainsi, de la question précédente, on déduit que sur \intervFF{4}{8}:
\[
-\dfrac{1}{f(x)}+C = \dfrac{1}{2}x + C'\quad,\quad C,C' \in\R.
\]
On peut aussi écrire:
\[
-\dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{2}x + \underbrace{C'-C}_{=K}.
\]
En prenant $x=4$, on obtient:
\[
-\dfrac{1}{f(4)}=2+K \iff K = -4-2 = -6.
\]
Finalement,
\[
-\dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{2}x-6 \iff f(x)= -\dfrac{1}{\frac{x}{2}-6}=\dfrac{2}{12-x}.
\]
Conclusion: sur \intervFF{4}{8}, $f(x)=\dfrac{2}{12-x}$.
\end{enumerate}
