On considère le cube ABCDEFGH suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,3);
\coordinate (D) at (0,3);
\coordinate (E) at (1,1);
\coordinate (F) at (4,1);
\coordinate (G) at (4,4);
\coordinate (H) at (1,4);
\coordinate (I) at (0,1.5);
\coordinate (J) at (1.5,0);
\coordinate (K) at (4,3);
\shade[left color=purple!5,right color=purple!40] (I) node[left] {I} -- (J) node[below] {J} -- (K) node[right] {K} -- cycle;
\draw[purple] (I) -- (J);
\draw[dashed,purple] (I) -- (K) -- (J);
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above] {C} -- (D) node[above left] {D} -- (H) node[above] {H} -- (G) node[above right] {G} -- (F) node[right] {F} -- (B);
\draw (A) -- (D);
\draw (C) -- (G);
\draw[dashed] (A) -- (E) -- (H);
\draw[dashed] (E) node[above right] {E} -- (F);
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

I et J sont les milieux respectifs des segments [AD] et [AB].

On définit les points K et L par les égalités suivantes :
\[
\vv{\text{GK}} = \dfrac{1}{4}\vv{\text{GF}}
\qquad ; \qquad
\vv{AL} = \frac{1}{2}\vv{AB} + \vv{AE} + \frac{5}{4}\vv{AD}.
 \]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$ forment une base du plan $(IJK)$.
\item Montrer que $\vv{IL}$ est une combinaison linéaire de $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$.

Interpréter ce résultat.

\item Le milieu de $[AG]$ appartient-il au plan $(IJK)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

