Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Rijk, on considère :

\begin{itemize}
\item les points $A\coordEsp{1}{1}{1}$ et $B\coordEsp{3}{2}{0}$ ;
\item le plan $(\mathcal{P})$ passant par le point B et admettant le vecteur $\vv{AB}$ pour vecteur normal ;
\item le plan $(\mathcal{Q})$ d'équation : $x-y+2z+4=0$ ;
\item la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $A$ et de rayon $AB$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ est : $2x+y-z-8= 0$
\item Déterminer une équation de la sphère $(\mathcal{S})$.
\item
\begin{enumerate}
\item On admet que la distance du point $A$ aux plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ est égale à $\sqrt6$.

En déduire que le plan $(\mathcal{Q})$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S})$.
\item Le plan $(\mathcal{P})$ est-il tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ ?
\end{enumerate}
\item On admet que le projeté orthogonal de$A$ sur le plan $(\mathcal{Q})$, noté $C$, a pour coordonnées $\coordEsp{0}{2}{-1}$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que les plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ sont sécants.
\item Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'intersection des plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$.\\
Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathcal{D})$ est :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=t\\
y=12-5t\\
z=4-3t
\end{array}
\right., t \in \mathbb{R}
\]
\item Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $(\mathcal{D})$.
\item On appelle $(\mathcal{R})$ le plan défini par le point $A$ et la droite $(\mathcal{D})$.\\
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?\\
\og Tout point du plan  $(\mathcal{R})$ est équidistant des points $B$ et $C$ \fg.\\
Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

