Dans l'espace rapporté à un repère $\Rijk$, on considère:
\begin{itemize}
\item le point $A$ de coordonnées \coordEsp{-1}{1}{3},
\item la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}
x = 1+2t\\
y = 2-t\\
z = 2+2t
\end{cases}$,\qquad $t\in\R$.
\end{itemize}
On admet que le point $A$ n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vv{u}$ de la droite $\mathcal{D}$.
\item Montrer que le point $B\coordEsp{-1}{3}{0}$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
\item Calculer le produit scalaire $\vv{AB}\cdot\vv{u}$.
\end{enumerate}

\item On note $\mathcal{P}$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, et on appelle $H$ le point d'intersection du plan  $\mathcal{P}$ et de la droite  $\mathcal{D}$. Ainsi, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite  $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le plan  $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne $2x-y+2z-3=0$.
\item En déduire que le point $H$ a pour coordonnées \coordEsp{\dfrac{7}{9}}{\dfrac{19}{9}}{\dfrac{16}{9}}.
\item Calculer la longueur $AH$. On donnera une valeur exacte.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\mathcal{D}$, par une autre méthode.

On rappelle que le point $B\coordEsp{-1}{3}{0}$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et que le vecteur $\vv{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vv{HB} = k\vv{u}$.
\item Montrer que $k=\dfrac{\vv{AB}\cdot\vv{u}}{\| \vv{u} \|^2}$.
\item Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point $H$.
\end{enumerate}

\item On considère un point $C$ appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ soit égal à $\dfrac{8}{9}$.

Calculer l'aire du triangle $ACH$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
\end{enumerate}

