On considère une variable aléatoire $Y$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{n}{p}$.

On considère alors la variable aléatoire $X$ représentant le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ nécessaires pour obtenir le premier succès. 

On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\probavar{X}{k}=p(1-p)^{k-1}$, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$.
\item On admet que $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$.

Déterminer alors l'espérance mathématique de $X$.
\newpage
\item Dans un urne sont mises 15 boules rouges et 5 boules noires, indiscernables au\linebreak toucher.

On tire au hasard une boule de cette urne en la remettant tant que la boule choisie n'est pas noire.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules tirées à l'issue de cette expérience.

Calculer \esp{X} et en donner une interprétation.
\end{enumerate}

