
\begin{enumerate}
\item Le jeu est une succession de 5 expériences identiques et indépendantes.

\og Donner cinq bonnes réponses \fg{} correspond à la liste de cinq résultats \og Donner la bonne réponse \fg, et a donc pour probabilité $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5\strut}= \dfrac{32}{243}$.

\item Le candidat gagne 250 euros lorsqu'il a cinq bonnes réponses, donc la probabilité qu'il gagne 250 euros est $\dfrac{32}{243}$.

\item Chaque question correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Donner la bonne réponse \fg, et a pour probabilité $\dfrac{2}{3}$. Comme il y a 5 répétitions indépendantes, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5~; \dfrac{2}{3}\right)$.

\item Comme chaque réponse exacte fait gagner 50 euros, si on note $y_i$ les valeurs prises par $Y$, on a $y_i=50 x_i$. Connaissant la loi de $X$, on en déduit la loi de $Y$ dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}\raggedleft\arraybackslash}m{15mm}|*6{>{\centering\arraybackslash}S{m{9mm}}|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4&5\\
\hline
$y_i$&0&50&100&150&200&250\\
\hline
$P(X~=~x_i)$ $P(Y~=~y_i)$&$\dbinom{5}{0}\dfrac{1}{3^5}$&$\dbinom{5}{1}\dfrac{2}{3^5}$&$\dbinom{5}{2}\dfrac{2^2}{3^5}$&$\dbinom{5}{3}\dfrac{2^3}{3^5}$&$\dbinom{5}{4}\dfrac{2^4}{3^5}$&$\dbinom{5}{5}\dfrac{2^5}{3^5}$\\
\hline
Valeurs\linebreak approchées&0,004 &0,041 &0,165 & 0,329& 0,329&0,132 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour calculer l'espérance de $Y$, on peut prendre les valeurs numériques du tableau et appliquer la formule, mais il est plus rapide de constater que comme $y_i=50x_i$, alors :
\[ p_1y_1+\cdots+p_5y_5=50(p_1x_1+\cdots+p_5x_5)=50 E(X).\]
Or, on sait que si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, son espérance vaut $np$. Par conséquent $E(Y)=50 \times 5\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{500}{3}$.
\end{enumerate}
