
\begin{enumerate}
\item On a:
\[
X-\mu \geqslant a \iff X-\mu+\lambda \geqslant a + \lambda
\]
donc la probabilité des deux événements $(X-\mu \geqslant a)$ et $(X-\mu+\lambda \geqslant a+\lambda)$ sont égales.

\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E\big( (\textcolor{red}{X-\mu}+\lambda)^2\big) & = E\big( (\textcolor{red}{X-\mu})^2+2(\textcolor{red}{X-\mu})\lambda + \lambda^2\big)\\
& = \underbrace{E\big((X-\mu)^2\big)}_{=V(X)} + 2\lambda\underbrace{E(X-\mu)}_{=\,0} + \lambda^2\\
& = \sigma^2 + \lambda^2.
\end{align*}

\item Dans un premier temps, on a:
\[
P(X - \mu \geqslant a) = P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ).
\]
Or, 
\[
P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
Ainsi,
\[
P(X - \mu \geqslant a) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire $(X - \mu + \lambda)^2$,  on obtient:
\[
P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}.
\]
Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}
\]
d'où:
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2 + \lambda^2}{(a + \lambda)^2}.
\]

\item Posons $f(\lambda)=\dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$, avec $\lambda \geqslant 0$.

Sa dérivée vaut :
\[
f'(\lambda) = 2\dfrac{a\lambda-\sigma^2}{(a+\lambda)^3}.
\]
On en déduit que $f'(\lambda)>0 \iff \lambda > \dfrac{\sigma^2}{a}$.

Notamment, $f$ admet un minimum en $\lambda = \dfrac{\sigma^2}{a}$, et ce minimum vaut $\dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}$.

Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2 + \lambda^2}{(a + \lambda)^2} \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]
On peut écrire:
\[
\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = \big( X-\mu \geqslant a \big) \cup \big( \mu- X \geqslant a \big).
\]
Les deux événements $\big( X-\mu \geqslant a \big)$ et $\big( \mu - X \geqslant a \big)$ étant disjoints, 
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = P\big( X-\mu \geqslant a \big) + P\big( \mu - X \geqslant a \big).
\]
À l'aide de la question précédente, appliquée à $X-\mu$ et à $\mu-X$, on obtient:
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} + \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}
\]
soit :
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]

\item Cette dernière inégalité est meilleure que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev si:
\begin{align*}
\dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{\sigma^2}{a^2} & \iff \dfrac{2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{1}{a^2}\\& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > a^2\\
& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > \dfrac{2a^2}{2}\\
& \iff \sigma^2 > a^2\\
& \iff a < \sigma\text{ car $a$ et $\sigma$ sont positifs.}
\end{align*}
\end{enumerate}
