On se propose dans cet exercice de démontrer l'inégalité de concentration qui stipule que si $X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n$ sont $n$ variables aléatoires discrètes réelles indépendantes ayant
toutes la même loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ alors,
\[
P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
\]
On pose $M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $\mu$, $n$ et $\sigma^2$.
\item Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$, puis conclure.
\end{enumerate}

