
\begin{enumerate}
\item On a : $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n+2n+3-u_n\\
& = 2n+3 > 0
\end{aligned}$

Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est croissante.


\item
\begin{enumerate}
\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n \geqslant n^2$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$u_0=1\geqslant 0$ donc $P(0)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$ positif, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}\geqslant(k+1)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k+2k+3\\
& \geqslant k^2+2k+3 \quad \text{(H.R.)}\\
& \geqslant k^2+2k+1+2\\
& \geqslant (k+1)^2+2\\
& \geqslant (k+1)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item D'après le théorème de comparaison des suites et d'après la question précédente, on a :
\[
\lim_{n\to+\infty} u_n \geqslant \lim_{n\to+\infty} n^2
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$ ; donc  \[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty}\]
\end{enumerate}

\item Calculons les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :
\begin{align*}
u_0 & =1\\
u_1 & = u_0+2\times 0+3 = 4\\
u_2 & = u_1+2\times 1+3=9\\
u_3 & = u_2+2\times 2+3=16\\
u_4 & = u_3+2\times 3+3=25
\end{align*}
On peut alors conjecturer que $u_n=(n+1)^2$. Montrons cela par récurrence.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite précédemment.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
On suppose que pour un entier naturel $k$, $u_k=(k+1)^2$ (qui constitue la propriété $P(k)$). Montrons que $u_{k+1}=(k+2)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & =u_k+2k+3\\
& = (k+1)^2+2k+3\\
& = k^2+4k+4\\
& = (k+2)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
