
\medskip

\partie{A: conjecture}

\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c*{6}{|c}|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{5}{32}$ \\ [7pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\item En dressant un tableau de valeurs de la suite $(u_n)$, on constate qu'elle semble décroissante et que ses termes semblent se rapprocher de 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B : étude d'une suite auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item $w_{0} = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times 0 = \dfrac{1}{2}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
	w_{n+1} &= u_{(n+1) + 1} - \dfrac{1}{2} u_{(n+1)} \quad \text{(définition de $w$ au rang }n+1)\\
	&= u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
	&=\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\right)	- \dfrac{1}{2}u_{n+1}\quad\text{(relation de récurrence de }(u_n)). \\
	&=\dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\right) \\
	&=\dfrac{1}{2}w_n\quad \text{(définition de $w$ au rang }n).
\end{align*}
Ainsi, $\forall n \in \N,\quad w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n$.

Cela prouve que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{2}$.

\item La suite $(w_n)$ est géométrique, donc d'après le cours:
\begin{align*}
\forall n \in \N,\quad w_n & = w_0 \times q^n\\
                           & = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
                           & = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
\end{align*}

\item Soit $n$ un entier naturel. D'après l'énoncé,
\begin{align*}
w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n & \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\\
	&\iff u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}.
\end{align*}

\newpage

\item Pour tout $n$ entier naturel, posons:
\[
P_n \quad : \quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:}  $u_0 = 0$ et $0\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 0\times 1 = 0$.

$P_0$ est donc vraie.

\item \textbf{Hérédité:} pour un entier naturel $k$ donné, on suppose que la propriété $P_k$ est vraie, c'est-à-dire : $u_k = k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$. Alors,
\begin{align*}
u_{k+1} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}u_k \quad \text{(relation de récurrence de la question B. 4)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}\times k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\quad\text{(par hypothèse de récurrence)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\times\big(1 +k\big)\\
u_{k+1}&=(k+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}.
\end{align*}
Ainsi, l'hérédité est vérifiée.

\item \textbf{Conclusion:} $P_0$ est vraie, et, pour un entier naturel $k$ fixé, $P_k \text{vraie} \Rightarrow P_{k+1}$ vraie. Ainsi, d'après le principe de récurrence,
\[
\forall n \in \N,\quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}

\partie{C: étude de la suite \boldmath$(u_{n})$\unboldmath}

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
\begin{align*}
u_{n+1} - u_n &= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\quad \text{(question B. 5.)}\\
	&= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times 2\\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big((n+1) -2n \big) \\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big(1-n\big).
\end{align*}
Or,
\begin{itemize}
\item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ est positif strictement;
\item $(1 - n) \leqslant 0$ car $n\geqslant1$.
\end{itemize}
Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ pour tout entier naturel $n\geqslant1$.  On en déduit alors que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $n=1$.

\item L'expression de $u_n$ permet de dire que la suite $(u_n)$ est minorée par 0, car pour tout entier naturel $n$, $n\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geqslant 0$.

De plus, la suite est décroissante à partir du rang $n= 1$ d'après la question précédente.

La suite est donc décroissante (à partir du rang $n=1$) et minorée par 0. Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.

\item On admet ici que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Résolvons cette équation :
\begin{align*}
	\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell
	&\iff \ell = \dfrac{3}{4}\ell\\
	&\iff \ell - \dfrac{3}{4}\ell = 0\\
	&\iff \dfrac{1}{4}\ell = 0\\
	&\iff \ell = 0\quad \text{car } \dfrac{1}{4}\neq 0.
\end{align*}
Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers 0.
\end{enumerate}
