
\begin{enumerate}
\item Calcul de $u_1$ et $u_2$.
\begin{itemize}
\item $u_1 = \dfrac{4 \times 2 - 1}{2 \times 2 + 1} = \dfrac{7}{5}$.

\item $u_2 = \dfrac{4 \times \frac{7}{5} - 1}{2 \times \frac{7}{5} + 1} = \dfrac{\frac{28}{5} - 1}{\frac{14}{5} + 1} = \dfrac{\frac{23}{5}}{\frac{19}{5}} = \dfrac{23}{19}$.
\end{itemize}

\item Pour tout entier naturel $n$,
\[
4u_n - 1 = 2(2u_n + 1) - 3,
\]

donc :
\[
u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{2u_n + 1} = \frac{2(2u_n+1) - 3}{2u_n + 1} = 2 - \frac{3}{2u_n + 1}.
\]

\item Montrons par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leqslant u_{n+1} < u_n \leqslant 2$ ».

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n = 0$ : $u_0 = 2$ et $u_1 = \dfrac{7}{5}$. On a bien $1 \leqslant \dfrac{7}{5} < 2 \leqslant 2$. $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\medskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que $1 \leqslant u_{k+1} < u_k \leqslant 2$ pour un certain entier $k \geqslant 0$.

Montrons que $1 \leqslant u_{k+2} < u_{k+1} \leqslant 2$.

\medskip

D'après la question 2, $u_{k+2} = 2 - \dfrac{3}{2u_{k+1}+1}$.

Par hypothèse de récurrence,
\begin{align*}
1 \leqslant u_{k+1} < u_k \leqslant 2 & \Longrightarrow 2 \leqslant 2u_{k+1} < 2u_k < 4\\
& \Longrightarrow 3 \leqslant 2u_{k+1}+1 < 2u_k+1 \leqslant 5\\
& \Longrightarrow 1 \geqslant \frac{3}{2u_{k+1}+1} > \frac{3}{2u_k+1} \geqslant \frac{3}{5} \\
& \Longrightarrow -1 \leqslant -\frac{3}{2u_{k+1}+1} < -\frac{3}{2u_k+1} \leqslant -\frac{3}{5} \\
& \Longrightarrow 1 \leqslant 2-\frac{3}{2u_{k+1}+1} < 2-\frac{3}{2u_k+1} \leqslant \frac{7}{5} \\
& \Longrightarrow 1 \leqslant u_{k+2} < u_{k+1} \leqslant 2
\end{align*}

\medskip

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et, pour un entier $k\geqslant0$,  $\mathcal{P}(k) \Rightarrow \mathcal{P}(k+1)$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}


\item  La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (d'après la question précédente). Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 1$.

\item  On pose $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}}$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Calculons $v_{n+1}$ :
\[
v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} - \frac{1}{2}} = \frac{\dfrac{4u_n-1}{2u_n+1} - 1}{\dfrac{4u_n-1}{2u_n+1} - \dfrac{1}{2}}.
\]

\textit{Numérateur :}
\[
\frac{4u_n - 1}{2u_n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - (2u_n+1)}{2u_n+1} = \frac{2u_n - 2}{2u_n+1} = \frac{2(u_n-1)}{2u_n+1}.
\]

\textit{Dénominateur :}
\[
\frac{4u_n-1}{2u_n+1} - \frac{1}{2} = \frac{2(4u_n-1) - (2u_n+1)}{2(2u_n+1)} = \frac{6u_n - 3}{2(2u_n+1)} = \frac{3(2u_n-1)}{2(2u_n+1)}.
\]
Donc :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \frac{2(u_n-1)}{\cancel{2u_n+1}} \times \frac{2\cancel{(2u_n+1)}}{3(2u_n-1)}\\
& = \frac{2\times2(u_n-1)}{3(2u_n-1)}\\
& = \frac{2}{3} \times \frac{2(u_n-1)}{2\left(u_n-\frac12\right)}\\
& = \frac{2}{3} \times \frac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}} \\
& = \frac{2}{3} v_n.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$.

Son premier terme est :
\[
v_0 = \frac{u_0 - 1}{u_0 - \frac{1}{2}} = \frac{2 - 1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}.
\]

\item  $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{2}{3}$, donc :
\[
v_n = v_0\times q^n = \frac{2}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
\]
On a:
\begin{align*}
v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}}
& \iff v_n \left(u_n - \frac{1}{2}\right) = u_n - 1\\
& \iff u_nv_n - \dfrac{1}{2}v_n = u_n-1\\
& \iff u_nv_n-u_n = \dfrac{1}{2}v_n-1\\
& \iff u_n(v_n-1) = \dfrac{1}{2}v_n - 1\\
& \iff u_n = \frac{\frac{1}{2}v_n - 1}{v_n - 1}\\
& \iff u_n = \frac{v_n - 2}{2(v_n - 1)}.
\end{align*}
En substituant $v_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$, on a:
\[
\boxed{u_n = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 2}{2\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 1\right)}}.
\]

\item $0 < \dfrac{2}{3} < 1$, donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=0$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)} = \frac{0 - 2}{2(0 - 1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.

\textit{Interprétation :} la population de bactéries tend vers 1 (millier), soit \numprint{1000} bactéries. L'antibiotique ne détruit pas complètement la colonie, mais régule sa taille vers un seuil d'équilibre de \numprint{1000} bactéries.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
