
\begin{enumerate}
\item  On sait que $\displaystyle\lim_{t \to +\infty}\big(  t\e^{-t} \big) = 0$ (croissances comparées), donc :
\[
\lim_{t \to +\infty} f(t) = 6 \times 0 = 0.
\]

\textit{Interprétation :} à long terme, la concentration en CO$_2$ tend vers 0. La ventilation finit par évacuer complètement le dioxyde de carbone accumulé dans la serre.



\item La fonction $f$ est le produit de $u(t) = 6t$ et $v(t) = \e^{-t}$, avec $u'(t) = 6$ et $v'(t) = -\e^{-t}$. Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)\\
      & = 6\e^{-t} + 6t \times (-\e^{-t})\\
      & = 6\e^{-t}(1 - t)\\
\Aboxed{f'(t) & = 6(1-t)\e^{-t}}
\end{align*}

\item  $\e^{-t} > 0$ pour tout $t$, le signe de $f'(t)$ est donc celui de $(1 - t)$. D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {fill=pagebb}]
\colorlet{white}{pagebb}
\tkzTabInit[espcl=4,deltacl=1]{$t$/0.5,$f'(t)$/0.5,$f(t)$/1}{0,1,5}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$0$,+/$6\e^{-1}$,-/$30\e^{-5}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On calcule les valeurs aux bornes et au maximum :
\[
f(0) = 0, \qquad f(1) = 6\e^{-1}, \qquad f(5) = 30\e^{-5}.
\]


\item D'après le tableau de variations, $f$ atteint son maximum en $t = 1$ :
\[
f(1) = 6\e^{-1} \approx 2{,}21 \text{ g/m}^3.
\]

La concentration maximale en CO$_2$ dans la serre est d'environ $\mathbf{2,21}$\textbf{ g/m}$^3$, atteinte 1 heure après l'activation de la ventilation.

\item Pour tout réel $t$, $\e^{-t} > 0$ donc le signe de $f''(t)$ est celui de $(t - 2)$ :
\begin{itemize}
    \item $f''(t) < 0$ pour $t \in \intervFO{0}{2}$: la fonction est \textbf{concave}.
    \item $f''(t) > 0$ pour $t \in \intervOF{2}{5}$: la fonction est \textbf{convexe}.
        \item $f''(t) = 0$ pour $t = 2$.
\end{itemize}

$f''$ s'annule en changeant de signe en $t = 2$, donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $t = 2$.

Ses coordonnées sont :
\[
\coord{2}{f(2)} = \coord{2}{12\e^{-2}}.
\]

\textit{Interprétation :} en $t = 2$, soit 2 heures après l'activation de la ventilation, la concentration décroît le plus rapidement. C'est le moment où le système de ventilation est le plus efficace pour évacuer le CO$_2$.

\item
\begin{enumerate}
\item On pose :
\[
u(t) = 6t \quad \text{et} \quad v'(t) = \e^{-t},
\]
d'où :
\[
u'(t) = 6 \quad \text{et} \quad v(t) = -\e^{-t}.
\]
Par intégration par parties :
\[
\int_0^5 6t\e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 - \int_0^5 6 \times (-\e^{-t})\,\mathrm{d}t = \Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 + \int_0^5 6\e^{-t}\,\mathrm{d}t.
\]
On calcule chaque terme :
\[
\Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 = -30\e^{-5} - 0 = -30\e^{-5},
\]
\[
\int_0^5 6\e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Big[-6\e^{-t}\Big]_0^5 = -6\e^{-5} + 6.
\]
Donc :
\[
\int_0^5 f(t)\,\mathrm{d}t = -30\e^{-5} + (-6\e^{-5} + 6) = 6 - 36\e^{-5}.
\]

\item La concentration moyenne sur $\intervFF{0}{5}$ est :
\[
\mu = \frac{1}{5}\int_0^5 f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{6 - 36\e^{-5}}{5} \approx \frac{5{,}76}{5} \approx 1{,}15 \text{ g/m}^3.
\]

\textit{Interprétation :} durant les 5 heures de ventilation, les plantes sont exposées en moyenne à une concentration de CO$_2$ d'environ $1{,}15$ g/m$^3$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On cherche le premier instant $t > 1$ (après le maximum) où $f(t) < 0,5 \times C_{\max} = \dfrac{3}{\e}$.

Le programme dûment complété est le suivant:
\begin{python}
from math import exp

Cmax = 6 * exp(-1)
t = 1
C = 6*t*exp(-t)

while C >= 0.5*Cmax:
    t = t + 0.01
    C = 6*t*exp(-t)

print(t)
\end{python}

\item Le programme affiche $2,68 = 2\text{ h } + 0,68\times60\text{ min} \approx 2\text{ h }41\text{ min}$.

\textit{Interprétation :} environ $2$ heures $41$ minutes après le début de la ventilation, la concentration en CO$_2$ est redescendue à la moitié de sa valeur maximale.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
