
\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
			level 1/.style = {
					level distance=2.5cm,
					sibling distance=3cm,
					color=courbe2},
			level 2/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=1.5cm,
					color=courbe}]
					
\node (omega) {$\Omega$} [grow=right]
	child {
		node[black] (O2) {$\overline{O}$}
			child {
				node[black] (O2A2) {$\overline{A}$}
			}
			child {
				node[black] (O2A1) {$A$}
			}
	}
	child {
		node[black] (O1) {$O$}
			child {
				node[black] (O1A2) {$\overline{A}$}
			}
			child {
				node[black] (O1A1) {$A$}
			}
	};
\node[above left, courbe2] at ($0.5*(omega)+0.5*(O1)$) {0,7};
\node[below left, courbe2] at ($0.5*(omega)+0.5*(O2)$) {0,3};

\node[above , courbe] at ($0.5*(O1)+0.5*(O1A1)$) {0,9};
\node[below , courbe] at ($0.5*(O1)+0.5*(O1A2)$) {0,1};
\node[above , courbe] at ($0.5*(O2)+0.5*(O2A1)$) {0,2};
\node[below , courbe] at ($0.5*(O2)+0.5*(O2A2)$) {0,8};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour réaliser cet arbre, on a considéré que la probabilité de l'événement $O$ est égale à la fréquence des élèves qui ont répondu \og Oui \fg{} à la question du sondage, soit:
\[
P(O)=\dfrac{350}{500}=\dfrac{7}{10}=0,7.
\]
D'après la formule des probabilités totales, on a:
\begin{align*}
P(A) & = P(O \cap A) + P(\overline{O} \cap A)\text{ car $O$ et $\overline{O}$ forment une partition de l'univers}\\
& = P(O)\times P_O(A) + P\big(\overline{O}\big)\times P_{\overline{O}}(A)\\
& = 0,7\times0,9 + 0,3\times0,2\\
\Aboxed{P(A) & = 0,69}
\end{align*}

\item L'expérience consistant à voir si un élève aime ses enseignants, expérience de Bernoulli de probabilité\linebreak$p=P(A)=0,69$, est répétée de manière indépendante 20 fois.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,69$.
\begin{enumerate}
\item On en déduit alors que $\esp{$X$}=n \times p = 20 \times 0,69$, d'où:
\[
\boxed{ \esp{$X$} = 13,8 }
\]
De plus, la variance est:
\[
\var{$X$} = np(1-p) = 20\times0,69\times(1-0,69) \implies \boxed{ \var{$X$} = 4,278 }
\]

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve ensuite:
\[
\boxed{ P(X \geqslant 10) \approx 0,978}
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-\esp{$\dfrac{X_n}{n}$} \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\var{$\dfrac{X_n}{n}$}}{\delta^2}
\]
D'après ce qui précède, $\esp{$X_n$}=0,69n$ et $\var{$X_n$}=0,2139n$ donc, par linéarité de l'espérance et propriété de la variance,
\[
\esp{$\dfrac{X_n}{n}$}=\dfrac{0,69n}{n}=0,69\qquad\text{et}\qquad
\var{$\dfrac{X_n}{n}$}=\dfrac{0,2139n}{n^2}=\dfrac{0,2139}{n}.
\]
On a alors:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{0,2139}{\delta^2 n}
\]
d'où:
\[
\forall \delta>0,\quad 1-P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| < \delta \right) \leqslant \dfrac{0,2139}{\delta^2 n}.
\]
On en déduit alors:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| < \delta \right) \geqslant 1-\dfrac{0,2139}{\delta^2 n}.\tag{*}
\]
Ainsi, en choisissant $n$ tel que $1-\dfrac{0,2139}{\delta n} \geqslant 0,95$, on se dirigera vers une solution à notre problème.
\begin{align*}
1-\dfrac{0,2139}{\delta^2 n} \geqslant 0,95 & \iff \dfrac{0,2139}{\delta^2 n} \leqslant 0,05\\
& \iff \dfrac{\delta^2 n}{0,2139} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff \dfrac{\delta^2 n}{0,2139} \geqslant 20\\
& \iff \delta^2 n \geqslant 20 \times 0,2139\\
& \iff \delta^2 \geqslant \dfrac{4,278}{n}\\
& \iff \delta \geqslant \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}.
\end{align*}

On peut alors prendre $\delta = \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}$, et l'inégalité $(*)$ donne:
\[
P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| <  \sqrt{\dfrac{4,278}{n}} \right)) \geqslant 0,95
\]
ce qui se traduit par:
\[
P\left(-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}} < \dfrac{X_n}{n}-0,69 < \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}\right) \geqslant 0,95
\]
ou encore
\[
P\left(0,69-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}} < \dfrac{X_n}{n}  < 0,69+\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}\right) \geqslant 0,95.
\]
Ainsi, un intervalle $I_n$ possible est:
\[
\boxed{ I_n = \intervOO{0,69-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}}{0,69+\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}} }
\]

\item En prenant $n=100$, on trouve $I_n=\intervOO{0,4832}{0,8968}$. Ainsi, Avec une probabilité d'au moins 0,95, la proportion d'élèves aimant leurs enseignants dans un échantillon de 100 élèves se situe entre 48,32\% et 89,68\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
