
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1} & = \dfrac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x-1}\\
& = \dfrac{\sqrt{(x-1)}\times\sqrt{(x+1)}}{\big(\sqrt{x-1}\big)^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}\\
& = \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}.
\end{aligned}$

\medskip

Notons que le domaine de définition de la fonction $x\longmapsto\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ est $\intervOF{-\infty}{-1}\cup\intervOO{1}{+\infty}$ donc quand on parle de la limite de $\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ en 1, il est sous-entendu que $x>1$.

\medskip

$
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{1}{(x+1)}=2\\[10pt]
\limite[x>1]{x}{1}{(x-1)}=0^+
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{ par quotient des limites, }\limite{x}{1}{\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)}=+\infty
$

Or, $\limite{X}{+\infty}{\sqrt{X}}=+\infty$ donc $\boxed{\limite{x}{1}{\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)}=+\infty}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{\sqrt{x^2+x-2}-2}{x-2}&=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x-2}-2\right)\left(\sqrt{x^2+x-2}+2\right)}{(x-2)\left(\sqrt{x^2+x-2}+2\right)}\\
& = \dfrac{x^2+x-2-4}{(x-2)\left(\sqrt{x^2+x-2}+2\right)}\\
& = \dfrac{x^2+x-6}{(x-2)\left(\sqrt{x^2+x-2}+2\right)}\\
& = \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+3)}{\cancel{(x-2)}\left(\sqrt{x^2+x-2}+2\right)}\\
& = \dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+x-2}+2}.
\end{aligned}$

\begin{itemize}
\item $\limite{x}{2}{(x+3)}=5$
\item $\limite{x}{2}{\big(\sqrt{x^2+x-2}+2\big)}=\sqrt{2^2+2-2}+2=4$
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{2}{\left(\dfrac{\sqrt{x^2+x-2}-2}{x-2}\right)} = \dfrac{5}{4} }
\]
\end{enumerate}
