
\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec $\begin{aligned}[t]
u(x) = 3x+1 & \qquad v(x)=\e^{-x}\\
u'(x) = 3 & \qquad v'(x)=-\e^{-x}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = 3\e^{-x} + (3x+1)\big(-\e^{-x}\big)\\
      & = (3 - 3x - 1)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = (-3x+2)\e^{-x}}
\end{aligned}$

\item Sur \R, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-3x+2$.
\begin{align*}
-3x+2 \geqslant 0 & \iff -3x \geqslant -2\\
& \iff x \leqslant \dfrac{2}{3}.
\end{align*}
D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
