
\begin{enumerate}
\item % 1
\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$\ln(5x-1)$ est défini pour tout réel $x$ tel que $5x-1>0$, soit $x>\dfrac{1}{5}$.

Le domaine de définition de l'équation est donc: $\mathcal{D} = \intervOO{\dfrac{1}{5}}{+\infty}$.

\item \textbf{Résolution.}
\begin{align*}
\ln(5x-1)=2 & \iff \e^{\ln(5x-1)}=\e^2\\
& \iff 5x-1=\e^2\\
& \iff 5x= \e^2+1\\
& \iff x=\dfrac{\e^2+1}{5}\in\mathcal{D}.
\end{align*}
Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation est:
\[
\boxed{S = \left\{ \dfrac{\e^2+1}{5} \right\}}.
\]
\end{itemize}

\item % 2
\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$\e^{-x}$ est défini quel que soit le réel $x$, donc le domaine de définition de l'équation est $\mathcal{D}=\R$.

\item \textbf{Résolution.}
\begin{align*}
\e^{-x}=5 & \iff \ln\big( \e^{-x} \big) = \ln(5)\\
& \iff -x = \ln(5)\\
& \iff x = -\ln(5)\in\mathcal{D}.
\end{align*}
Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation est:
\[
\boxed{ S = \{ -\ln 5 \} }
\]
\end{itemize}

\item % 3
\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$\ln(3x-1)$ est défini pour tout réel $x$ tel que $3x-1>0$, soit $x>\dfrac{1}{3}$.

Ainsi, le domaine de définition de l'équation est $\mathcal{D}=\intervOO{\dfrac{1}{3}}{+\infty}$.

\item \textbf{Résolution.}
\begin{align*}
\ln(3x-1)<0 & \iff \e^{\ln(3x-1)} < \e^0\\
& \iff 3x-1 < 1\\
& \iff 3x < 2\\
& \iff x < \dfrac{2}{3}.
\end{align*}

L'intersection de l'intervalle \intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}} et de $\mathcal{D}$ est l'ensemble solution de l'inéquation. On trouve:
\[
\boxed{S = \intervOO{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}} }
\]
\end{itemize}

\item  %4
\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$e^{5-x}$ est défini quel que soit le réel $5-x$, donc que que soit le réel $x$. Le domaine de définition de l'inéquation est donc $\mathcal{D}=\R$.

\item \textbf{Résolution.}
\begin{align*}
\e^{5-x}\leqslant2 & \iff  \ln\big( \e^{5-x} \big) \leqslant \ln(2)\\
& \iff 5-x \leqslant \ln(2)\\
& \iff -x \leqslant \ln(2)-5\\
& \iff x \geqslant 5-\ln(2).
\end{align*}
Par conséquent, l'ensemble solution de l'inéquation est:
\[
\boxed{ S = \intervFO{5-\ln(2)}{+\infty} }
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
