
Nous savons (par croissance comparée) que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
\limite{X}{+\infty}{\left(\dfrac{\ln(X)}{X^n}\right)}=0.
\]
Posons $X=\sqrt{x^2-1}$. Alors,
\[
\limite{x}{-\infty}{(X)}=+\infty.
\]
Donc,
\[
\limite{x}{-\infty}{\left( \dfrac{ \ln \big( \sqrt{x^2-1} \big) } {x^2-1} \right) } = \limite{X}{+\infty}{ \left(\dfrac{\ln(X)}{X^2}\right)}=0.
\]
