
Le taux d'accroissement de $f$ entre 0 et $x$ est:
\[
\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\ln(1+x)}{x}.
\]
Ainsi, par définition,
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)}=f'(0).
\]
Or, $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}$ donc:
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)}=\dfrac{1}{1+0}
\]
soit:
\[
\boxed{ \limite{x}{0}{\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)}=1}
\]
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