
\begin{enumerate}
\item Soit $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$. Alors, $P(1)=1^3-2\times 1^2-5\times 1+6=0$.

Ainsi, $\alpha=1$ est une racine de $P$.


\item De la question précédente, on peut conclure que $P(x)=(x-1)(x^2+bx+c)$.

En développant, on a :
\begin{align*}
P(x) & = x^3+bx^2+cx-x^2-bx-c\\
& =x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c.
\end{align*}
Par identification, on a alors :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b-1=-2\\
c-b=-5\\
-c=6
\end{array}
\right.
\]

Soit $b=-1$ et $c=-6$. Ainsi, $P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$.

\medskip

Le discriminant du second facteur est $\Delta=25$, d'où les racines suivantes :
\[
\beta = \dfrac{1-\sqrt{\Delta}}{2}=-2 \qquad \textrm{et} \qquad \gamma=\dfrac{1+\sqrt{\Delta}}{2}=3.
\]

Les trois racines de $P$ sont donc:
\[
\boxed{ \alpha=1,\ \beta=-2,\ \gamma=3.}
\]

\item Déterminons les réels $A$, $B$ et $C$ tels que :
\[
f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{x-3}.
\]

\begin{itemize}
\item  $(x-1)f(x)=\dfrac{1}{(x+2)(x-3)}=A+\dfrac{B(x-1)}{x+2}+\dfrac{C(x-1)}{x-3}$.

Si $x=1$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{-6}=A}$.

\item  $(x+2)f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{A(x+2)}{x-1}+\dfrac{C(x+2)}{x-3}$.

Si $x=-2$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{15}=B}$.

\item $(x-3)f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A(x-3)}{x-1}+\dfrac{B(x-3)}{x+2}+C$.

Si $x=3$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{10}=C}$.
\end{itemize}

Ainsi :
\[
\boxed{f(x)=\dfrac{-1}{6(x-1)}+\dfrac{1}{15(x+2)}+\dfrac{1}{10(x-3)}}
\]

\item  On peut écrire $f(x)$ sous la forme: $f(x) = \dfrac{1}{30}\left( \dfrac{3}{x-3} + \dfrac{2}{x+2} - \dfrac{5}{x-1} \right)$.

Ainsi, une primitive de $f(x)$ est:
\[
F(x) = \dfrac{1}{30}\big[ 3\ln(x-3) + 2\ln(x+2) - 5\ln(x-1) \big].
\]
Donc, $\begin{aligned}[t]
\int_4^5 f(x) \dx & = F(5) - F(4)\\
				  & = \dfrac{1}{30} \big[ 3\ln(2)+2\ln(7)-5\ln(4) \big] - \dfrac{1}{30}\big[ 3\ln(1)+2\ln(6)-5\ln(3) \big]\\
				  & = \dfrac{1}{30}\big[ 3\ln(2)+2\ln(7)-10\ln(2)-2\ln(2)-2\ln(3)+5\ln(3) \big]\\
\Aboxed{\int_4^5 f(x) \dx  & = \dfrac{1}{30}
\big[ -9\ln(2)+3\ln(3)+2\ln(7) \big]}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
