
\begin{enumerate}
\item On peut compter entre 138 et 140 petits carreaux dans le domaine colorié.

Or, 1 petit carreau correspond à $0,1\times0,1=0,01$ unité d'aire.

$140\times0,01=1,4$ donc on peut écrire que $\boxed{\dint_{-2}^1 f(x)\dx\approx1,4}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^x-\dfrac{\e^x}{1+\e^x} & =\dfrac{\e^x\big(1+\e^x\big)}{1+\e^x}-\dfrac{\e^x}{1+\e^x}\\
& = \dfrac{\e^x+\e^{2x}-\e^x}{1+\e^x}\\
& = \dfrac{\e^{2x}}{1+\e^x}\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dint_{-2}^1 f(x)\dx & = F(1)-F(-2),\ \text{avec }F(x)=\e^x-\ln\big(1+\e^x\big)\\
& = \e^1-\ln\big(1+\e^1\big)-\left[\e^{-2}-\ln\big(1+\e^{-2}\big) \right]\\
& = \e-\ln(1+\e)-\e^{-2}+\ln\big(1+\e^{-2}\big)\\
\Aboxed{\dint_{-2}^1 f(x)\dx& = \e-\e^{-2}+\ln\left(\dfrac{1+\e^{-2}}{1+\e}\right)}
\end{aligned}$

À la calculatrice, on trouve:
\[
\boxed{\dint_{-2}^1 f(x)\dx\approx1,3966}
\]
\end{enumerate}
