
Pour cet exercice, nous allons nous placer dans le repère $\big(A;\vv{AB},\vv{AD},\vv{AE}\big)$.
\begin{enumerate}
\item $\vv{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

De plus, $\vv{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vv{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires et forment donc une base du plan $(BDE)$.

\medskip

$\vv{GA}\cdot\vv{BE} = 1\times(-1) + 1\times0 + 1\times1 = 0$;

$\vv{AG}\cdot\vv{BD} = 1\times(-1) + 1\times1 + 1\times0 = 0$.

Ainsi, $\vv{AG}$ est orthogonal aux vecteurs d'une base du plan $(BDE)$; il est donc orthogonal à tous vecteurs de ce plan.

\underline{$(AG)$ est donc orthogonale au plan $(BDE)$.}

\item $\vv{GA}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vv{GH}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ donc:
\[
\vv{GA}\cdot\vv{GH} = (-1)\times(-1) + (-1)\times0 + (-1)\times0 = 1.
\]
De plus,
\[
\underbrace{\vv{GA}\cdot\vv{GH}}_{=1} = GA \times GH \times \cos(\alpha) = \sqrt3 \times 1 \times \cos(\alpha).
\]
Ainsi,
\[
\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt3}\qquad\text{d'où}\qquad \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx55^\circ.
\]
\end{enumerate}
