\chapter{Suites numériques}

\pagestyle{coursstyle}

\section{Raisonnement par récurrence}

\begin{prop}[principe de récurrence]
Soit $\mathcal {P}_n$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$. Si:
\begin{itemize}
\item pour un entier $n_0$, $\mathcal {P}_{n_0}$ est vraie (initialisation),
\item pour tout entier naturel $k \geqslant n_0$, le fait que $\mathcal {P}_k$ soit vraie implique que $\mathcal {P}_{k+1}$ est vraie (hérédité),
\end{itemize}
alors $\mathcal {P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur à $n_0$.
\end{prop}

\begin{rem}
si $\mathcal {P}_k \Rightarrow \mathcal {P}_{k+1}$ alors on dira que la propriété est héréditaire.
\end{rem}

\begin{defin}
Une \textit{démonstration par récurrence} est une démonstration dans laquelle on utilise le principe de récurrence.
\end{defin}

\begin{exemple}
Démontrons par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$ :
\[
1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation :} comme :
\[ 1^2=\dfrac{1\times2\times3}{6}\;, \]
la propriété est vraie au rang $1$.

\item \emph{Hérédité :} soit $k$ un entier non nul arbitrairement fixé ; supposons la propriété vraie au rang $k$ : 
\[ 1^2+2^2+3^2+\cdots+(k-1)^2+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \]
On veut montrer que la propriété est vraie au rang $k+1$, soit : 
\begin{align*}
1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 & =\dfrac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]}{6}\\
& =\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.
\end{align*}
En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a :
\begin{align*}
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
&=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 \\%\displaybreak[0]\\
&=\dfrac{k+1}{6}\big[k(2k+1)+6(k+1)\big] \\
&=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.
\end{align*}

La propriété est donc vraie au rang $k+1$. \par
Ainsi, on a montré que si la propriété est vraie au rang $k$, alors elle est vraie au rang $k+1$. \par
La propriété considérée est donc vraie pour tout rang $n\geqslant1$ en vertu du principe de récurrence.
\end{itemize}
\end{exemple}

\newpage

\section{Limite d'une suite}


\subsection{Convergence et divergence d'une suite}

\begin{defin} 
\begin{itemize}
\item On dit que la suite $(u_n)$ \textit{converge} vers un réel $\ell$ si:
\[
\forall \varepsilon>0,\ \exists N > 0,\ \forall n \geqslant N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon.
\]
On écrit alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$.

On dira alors que $(u_n)$ \textit{tend vers} $\ell$.

\item On dit que la suite $(u_n)$ \textit{diverge} vers $+\infty$ si:
\[
\forall A\in\R,\ \exists N\in\N, \forall n\geqslant A,\ u_n > A.
\]
On écrit alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

\item On dit que la suite $(u_n)$ \textit{diverge} vers $-\infty$ si la suite $(-u_n)$ diverge vers $+\infty$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n}$ converge vers 0. En effet, pour un $\varepsilon$ donné (strictement positif),
\begin{align*}
|u_n-0|<\varepsilon & \iff \dfrac{1}{n}<\varepsilon\\
& \iff n > \dfrac{1}{\varepsilon}.
\end{align*}
Il existe donc bien un $N=\dfrac{1}{\varepsilon}$ tel que $|u_n-0|<\varepsilon$.

\item La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2$ diverge vers $+\infty$. En effet, pour tout nombre réel $A>0$,
\begin{align*}
u_n > A & \iff n^2 > A\\
& \iff n > \sqrt{A}.
\end{align*}
Il existe donc bien un entier $N=\left\lceil \sqrt{A} \right\rceil$ (partie entière supérieure de $\sqrt{A}$) tel que $u_n>A$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{rem}
Si $A=10$ alors $\sqrt{10}\approx3,16$ et donc $\left\lceil \sqrt{A} \right\rceil=4$.
\end{rem}

\newpage

\subsection{Suites non convergentes et non divergentes}

\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ \textit{n'admet pas de limite} quand elle ne converge pas et quand elle ne diverge pas.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-1)^n$ n'admet pas de limite.

En effet, pour tout entier naturel $k$, $\begin{cases}
u_{2k}&=(-1)^{2k} = \big[(-1)^2\big]^k = 1^k = 1\\
u_{2k+1}&=(-1)^{2k+1} = (-1)^{2k}\times(-1)= 1 \times (-1) = -1
\end{cases}$

On dit ici que la suite est \textit{alternée}.

\medskip


\item La suite $(v_n)$ définie par $v_n=\cos(n)$ n'admet pas de limite (admis).

\item La suite $(w_n)$ définie par $w_n=\sin(n)$ n'admet pas de limite (admis).
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Limites de référence}


\begin{prop}
Soit $p$ un entier strictement positif. Alors,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0
\qquad\text{et}\qquad 
\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}n^p=+\infty.
\]
\end{prop}

\subsection{Opérations sur les limites}

\begin{prop}[somme, produit et quotient de limites]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\ell$ et $\limite{n}{+\infty}{(v_n)}=\ell'$, où $\ell$ et $\ell'$ sont deux nombres réels. Alors,
\begin{itemize}
\item $\limite{n}{+\infty}{(-u_n)}=-\ell$
\item $\limite{n}{+\infty}{(u_n+v_n)}=\ell+\ell'$
\item $\limite{n}{+\infty}{(u_n \times v_n)}=\ell \times\ell'$
\item $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}=\dfrac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq0$)
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{defin}[forme indéterminée]
On appellera \textit{forme indéterminée} une expression dont on ne peut pas calculer la limite directement.
\end{defin}

\newpage

\begin{prop}[formes indéterminées sur les limites]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\ell$ et $\limite{n}{+\infty}{(v_n)}=\ell'$. Alors,
\begin{itemize}
\item Si $\ell=+\infty$ et $\ell'=-\infty$, alors $\limite{n}{+\infty}{(u_n+v_n)}$ est une forme indéterminée. 

On notera alors: F.I. du type \og $\infty-\infty$ \fg.

\medskip

\item Si $\ell=0$ et $\ell'=\pm\infty$, alors $\limite{n}{+\infty}{(u_n \times v_n)}$ est une forme indéterminée.

On notera alors: F.I. du type \og $0 \times \infty$ \fg.

\medskip

\item Si $\ell=\pm\infty$ et $\ell'=\pm\infty$, alors $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ est une forme indéterminée.

On notera alors: F.I. du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg.

\item Si $\ell=0$ et $\ell'=0$, alors $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ est une forme indéterminée.

On notera alors: F.I. du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item \textbf{Indétermination du type \og $\boldmath{\infty-\infty}$ \fg:}

Si $u_n=n^2$ et $v_n=-3n+1$ alors $\limite{n}{+\infty}{(u_n+v_n)}=\limite{n}{+\infty}{(n^2-3n+1)}$ est une forme indéterminée.

\medskip

\item \textbf{Indétermination du type \og $\boldmath{0\times\infty}$ \fg:}

Si $u_n=\e^{-n}$ et $v_n=3n+1$ alors $\limite{n}{+\infty}{(u_n \times v_n)}=\limite{n}{+\infty}{\left((3n+1)\e^{-n}\right)}$ est une forme indéterminée.

\medskip

\item \textbf{Indétermination du type \og $\boldmath{\dfrac{\infty}{\infty}}$ \fg:}

Si $u_n=\e^{n}$ et $v_n=3n+1$ alors $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right)}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^{n}}{3n+1}\right)}$ est une forme indéterminée.

\medskip

\item \textbf{Indétermination du type \og $\boldmath{\dfrac{0}{0}}$ \fg:}

Si $u_n=\e^{-n}$ et $v_n=\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)$ alors $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right)}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^{-n}}{\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)}\right)}$ est une forme indéterminée.
\end{itemize}
\end{exemple}

%Lorsque nous avons affaire à une forme indéterminée, nous devons \textit{lever l'indétermination}, c'est-à-dire transformer l'expression de la suite de sorte à ne plus avoir de formes indéterminées.

\begin{prop}[lever une indétermination]
Dans le cas d'une forme indéterminée du type \og $\infty-\infty$ \fg{} ou \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg , on factorise par le terme qui croît le plus vite vers l'infini.
\end{prop}


\begin{exemple}[polynôme]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^2-3n+1$. Pour lever l'indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg, on factorise par $n^2$ (le terme dominant):
\[
u_n=n^2\left(\dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{3n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)= n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right).
\]
De plus, $\left\{\begin{array}{l}
\limite{n}{+\infty}{(n^2)}=+\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left(-\frac{3}{n}\right)}=\limite{n}{+\infty}{\left(\frac{1}{n^2}\right)}=0\text{ donc, par limite d'une somme, }\limite{n}{+\infty}{\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}=1
\end{array}
\right. $

Ainsi, par produit des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=+\infty$.
\end{exemple}



\subsection{Limite et comparaison}

\subsubsection{Théorèmes fondamentaux}

\begin{thm}[théorème de comparaison]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.
\begin{itemize}
\item \textbf{Théorème de minoration:}
\[
\begin{cases}
\exists N\in\N,\ \forall n>N,\ v_n \geqslant u_n\\
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty
\end{cases} \Longrightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty.
\]

\item \textbf{Théorème de majoration:}
\[
\begin{cases}
\exists N\in\N,\ \forall n>N,\ v_n \leqslant u_n\\
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty
\end{cases} \Longrightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty.
\]
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item Soit $(v_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant n^2$. 

$\limite{n}{+\infty}{\big(n^2\big)}=+\infty$ donc, d'après le théorème de minoration, $\lim\limits_{n\to+\infty} (v_n)=+\infty$.

\item Soit $(v_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant-n^2$. 

$\limite{n}{+\infty}{\big(-n^2\big)}=-\infty$ donc, d'après le théorème de majoration, $\lim\limits_{n\to+\infty}(v_n) =-\infty$.
\end{itemize}
\end{exemple}


\begin{thm}[théorème d'encadrement]
On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ et un réel $\ell$.
\[
\begin{cases}
\exists N\in\N,\ \forall n > N,\ v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\\
\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=\ell
\end{cases}
\Longrightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell.
\]
\end{thm}

\begin{rem}
Ce théorème est aussi appelé \og théorème des gendarmes \fg.
\end{rem}


\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[
\dfrac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}.
\]
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.
\]
\end{exemple}

\newpage

\subsubsection{Comportement à l'infini de (q$^\text{n}$)}

\begin{prop}[inégalité de Bernoulli]
Pour tout réel $x>-1$ ($x\neq0$) et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
\[ 
(1+x)^n > 1 + nx.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
Elle se fait par récurrence (voir partie exercices).
\end{demo}

\begin{prop}
Soient $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.
\begin{itemize}
\item Si $q > 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty}\big( q^n \big) = +\infty$.
\item Si $q = 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} \big( q^n \big) = 1$.
\item Si $-1 < q < 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} \big( q^n \big) = 0$.
\item Si $q < -1$, alors $(q^n)$ n'a pas de limite (admis).
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Si $q>1$ alors $q=1+x$, avec $x>0$. Ainsi, d'après l'inégalité de Bernoulli,
\[
q^n = (1+x)^n > 1+nx,\ x>0.
\]
Or, $\limite{n}{+\infty}{(1+nx)}=+\infty$ donc, d'après le théorème de minoration, $\limite{n}{+\infty}{\big(q^n\big)}=+\infty$.

\item Si $q=1$ alors $q^n=1$ pour tout entier naturel $n$, donc $\limite{n}{+\infty}{\big( q^n \big)} = \limite{n}{+\infty}{(1)}=1$.

\item Si $0<q<1$ alors $\dfrac{1}{q}>1$ et donc, d'après le premier point de cette démonstration, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{q}\right)^n}=+\infty$. On peut aussi écrire: $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{q^n}\right)}=+\infty$.

Ainsi, par inverse de la limite, $\limite{n}{+\infty}{\big(q^n\big)}=\limite{N}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{N}\right)}=0$.

\medskip

Si $-1<q<0$ alors $0<-q<1$ et le résultat précédent donne: $\limite{n}{+\infty}{(-q)^n}=0$, soit $\limite{n}{+\infty}{\big(q^n\big)}=0$.
\end{itemize}
\end{demo}

\begin{prop}
Toute suite géométrique de raison $q$ telle que $\lvert q \rvert < 1$ converge vers 0.
\end{prop}

\begin{demo}
Cette propriété découle de la propriété précédente.
\end{demo}


\newpage


\subsection{Suite majorée, suite minorée}


\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{majorée} s'il existe un réel $M$ tel que : 
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant M$.
\end{center}

\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{minorée} s'il existe un réel $m$ tel que :
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $m\leqslant u_n$.
\end{center}

\item Une suite est dite \textit{bornée} si elle est majorée et minorée.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$.
\begin{itemize}
\item  Pour tout entier  naturel $n$ non nul, $\dfrac{1}{n}\leqslant1$ donc $u_n\leqslant1+1$, soit $u_n\leqslant2$.

\medskip


La suite $(u_n)$ est donc majorée par 2.

\item De plus, $\dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul donc $u_n>1$.

\medskip

La suite $(u_n)$ est donc minorée par 1.

\item La suite $(u_n)$ est minorée et majorée; elle est donc bornée.
\end{itemize}
\end{exemple}


\begin{thm}[théorème de convergence des suites monotones]
\begin{itemize}
\item Toute suite croissante et majorée converge.

\item Toute suite décroissante et minorée converge.

\item Toute suite monotone et bornée converge.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3.
\]
Alors, la suite est \textit{croissante} (car $u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée (par 3).

Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.

\begin{attention}
La limite n'est pas nécessairement égale à 3.
\end{attention}
~\par 
\end{exemple}

\newpage

\section{Algorithmique}

\subsection{Calcul des premiers termes d'une suite en Python}

Pour calculer les $k$ premiers termes d'une suite dont on connaît la relation de récurrence, on utilisera une \textit{boucle itérative}: \texttt{for n in range(k)}.

\begin{prop}[fonction range de Python]
\begin{itemize}
\item \texttt{range(k)} désigne la liste des entiers de 0 à $k-1$: il y a donc $k$ termes dans la liste.
\item \texttt{range(a,b+1)} désigne la liste des entiers $n$ tels que $a \leqslant n \leqslant b$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 7\\
u_{n+1}=0,9u_n+2
\end{cases}
\]
Calculons les premiers termes de cette suite jusqu'à $u_{10}$. Pour cela, utilisons le programme suivant:

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{python*}
u = 7

for n in range(10):
    u = 0.9*u + 2 # relation de récurrence de la suite
    print(u)
\end{python*}

\medskip

Les résultats affichés sont donnés ci-contre.

Pour des raisons de représentation des nombres réels en Python, certains résultats (qui se terminent par \og 000X \fg) ne sont que des valeurs approchées.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{console}
8.3
9.47
10.523000000000001
11.4707
12.323630000000001
13.091267000000002
13.782140300000002
14.403926270000001
14.963533643000002
15.467180278700003
\end{console}
\end{minipage}
\end{center}
\end{minipage}
\end{exemple}

\begin{rem}
L'instruction \og \texttt{u = 0.9*u + 2} \fg{} est construite à partir de la relation de récurrence: $u_{n+1} = 0,9u_n+2$.

Dans cette instruction, il faut comprendre que le \texttt{u} \textit{avant} le signe \og \texttt{=} \fg{} représente le terme que l'on veut calculer ($u_{n+1}$), alors que le \texttt{u} \textit{après} le signe \og \texttt{=} \fg{} représente le terme déjà en mémoire, donc le terme qui précède celui que l'on veut calculer (donc $u_n$).
\end{rem}

\subsection{Algorithme de seuil}

\begin{defin}
Soit $(u_n)$ une suite numérique.

On appelle \textit{algorithme de seuil} tout programme permettant d'obtenir la plus petite valeur de $n$ pour laquelle une condition sur $u_n$ est remplie.
\end{defin}

\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $
\begin{cases}
u_0 = 7\\
u_{n+1}=0,9u_n+2
\end{cases}$

Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \geqslant 19,98$ peut être fait à l'aide d'un algorithme de seuil.
\end{exemple}

En général, on utilise une \textit{boucle conditionnelle} (\texttt{while <contraire de la condition>}) dans un algorithme de seuil.

\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 7\\
u_{n+1}=0,9u_n+2
\end{cases}
\]
On souhaite déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \geqslant 19,98$ (condition).

On calcule donc tous les premiers termes de la suite \textit{tant que} la condition n'est pas remplie, c'est-à-dire tant que $u_n<19,98$. On utilise alors le programme suivant:

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{python*}
u = 7 # premier terme de la suite
n = 0 # indice du premier terme

while u < 19.98:
    u = 0.9*u + 2 # relation de récurrence de la suite
    n = n+1 # on augmente de 1 l'indice
    
print(n)
\end{python*}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{console}
62
\end{console}

\bigskip

Ce résultat nous dit que pour tout\linebreak
entier naturel $n<62$, $u_n<19,98$ et que\linebreak 
$u_{62}\geqslant19,98$.
\end{minipage}
\end{exemple}  

On peut aussi utiliser une \textit{fonction} dont le paramètre est le seuil.

\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 7\\
u_{n+1}=0,9u_n+2
\end{cases}
\]
On souhaite déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \geqslant 19,98$ (condition).

On calcule donc tous les premiers termes de la suite \textit{tant que} la condition n'est pas remplie, c'est-à-dire tant que $u_n<19,98$. On utilise alors le programme suivant:

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{python*}
def seuil(k):
    u = 7 # premier terme de la suite
    n = 0 # indice du premier terme

    while u < k:
        u = 0.9*u + 2 # relation de récurrence de la suite
        n = n+1 # on augmente de 1 l'indice
    
    return n
\end{python*}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{console}
>>> seuil(19)
25
\end{console}

\bigskip

Ce résultat nous dit que le plus petit\linebreak
entier $n$ tel que $u_n \geqslant 19$ est $n=25$.
\end{minipage}
\end{exemple}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercices types
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exotype

\begin{exercicetype}{démonstration par récurrence}{}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 5\\
u_{n+1} = 0,2u_n + 2
\end{cases}
\]
Démontrer par récurrence la propriété suivante:
\[
(\mathcal{P}_n)\,:\, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5.
\]

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

On vérifie que la propriété à démontrer est vraie pour la première valeur de $n$ possible (ici, $n=0$).
\[
u_1=0,2\times u_0 + 2 = 0,2 \times 5 + 2 = 1 + 2 = 3.
\]
Ainsi, 
\[
0 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 5.
\]
$(\mathcal{P}_0)$ est donc vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

On suppose que, pour un entier $k \geqslant 0$ fixé, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie, c'est-à-dire:
\[
(\mathcal{P}_k)\,:\, 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k \leqslant 5.
\]
C'est l'\textit{hypothèse de récurrence} (notée: HR).

On veut alors démontrer que $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie, c'est-à-dire:
\[
(\mathcal{P}_{k+1})\,:\, 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 5.
\]

D'après HR,
\begin{align*}
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k \leqslant 5 & \Longrightarrow 0\times0,2 \leqslant 0,2u_{k+1} \leqslant 0,2u_k \leqslant 5\times0,2\\
& \text{ (car $0,2>0$ donc on ne change pas le sens des inégalités)}\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant 0,2u_{k+1} \leqslant 0,2u_k \leqslant 1\\
& \Longrightarrow 0+2 \leqslant 0,2u_{k+1}+2 \leqslant 0,2u_k+2 \leqslant 1+2\\
& \Longrightarrow 2 \leqslant \underbrace{0,2u_{k+1}+2}_{=u_{k+2}} \leqslant \underbrace{0,2u_k+2}_{=u_{k+1}} \leqslant 3\\
& \Longrightarrow 2 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 3\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 5\\
& \text{ (car si des nombres sont compris entre 2 et 3, ils sont compris entre 0 et 5)}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$(\mathcal{P}_0)$ est vraie et, pour un entier $k\geqslant0$, $(\mathcal{P}_k)\implies (\mathcal{P}_{k+1})$ donc, d'après le principe de récurrence, $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant0$.
\end{itemize}
\end{exercicetype}

%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{Calcul de limites}{}
Calculer la limite des suites ci-dessous.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n^2+2n-1$
\item $v_n=\dfrac{n^2+3n-2}{2n^2+5n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{cases}
\limite{n}{+\infty}{(3n^2)}=+\infty\\
\limite{n}{+\infty}{(2n-1)}=+\infty
\end{cases}$ donc, par somme des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=+\infty$.

\item En s'inspirant de ce qui a été fait à la question précédente, on peut écrire:
\[
\begin{cases}
\limite{n}{+\infty}{(n^2+3n-2)}=+\infty
\limite{n}{+\infty}{(2n^2+5n+1)}=+\infty
\end{cases}
\]
Ainsi, par quotient des limites, nous avons une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg. Nous allons donc lever cette indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par les termes dominants:
\[
v_n = \dfrac{ n^2 \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2} \right) } { n^2 \left( 2+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2} \right)} = \dfrac{  1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}  } {  2+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2} }.
\] 
Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n^k}\right)}=0$ pour tout entier $k>0$ donc, par somme:
\[
\begin{cases}
\limite{n}{+\infty}{\left( 1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2} \right)} = 1\\
\limite{n}{+\infty}{\left( 2+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2} \right)} = 2
\end{cases}
\]
et ainsi, par quotient des limites,
\[
\limite{n}{+\infty}{(v_n)}=\dfrac{1}{2}.
\] 
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{Utilisation du théorème de comparaison}{}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
u_n=\dfrac{n^2+2\sin(n)}{n+1}.
\]
Déterminer sa limite.

\tcblower

Dans la mesure où un sinus intervient dans l'expression de $u_n$ (il en serait de même pour un cosinus ou un $(-1)^n$), il faut encadrer $u_n$ en partant de:
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad -1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 
& \iff -2 \leqslant 2\sin(n) \leqslant 2\\
& \iff n^2-2 \leqslant n^2+2\sin(n) \leqslant n^2+2\\
& \iff \dfrac{n^2-2}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{n^2+2}{n+1}\text{ (car $n+1>0$)}
\end{align*}
Or, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{n^2-2}{n+1} \right)}=+\infty$ (voir exercice précédent pour la méthode) et, de même, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{n^2+2}{n+1} \right)}=+\infty$. 

On ne garde alors que la partie de l'encadrement qui nous intéresse: $\dfrac{n^2-2}{n+1} \leqslant  u_n$. 

Ainsi, d'après le théorème de minoration, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=+\infty$.
\end{exercicetype}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{Utilisation du théorème des gendarmes}{}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
u_n=\dfrac{n+2\times(-1)^n}{n^2+3}.
\]
Déterminer sa limite.

\tcblower

Dans la mesure où un $(-1)^n$ intervient dans l'expression de $u_n$ (il en serait de même pour un cosinus ou un sinus), il faut encadrer $u_n$ en partant de:
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad -1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1 
& \iff -2 \leqslant 2(-1)^n \leqslant 2\\
& \iff n-2 \leqslant n+2(-1)^n \leqslant n+2\\
& \iff \dfrac{n-2}{n^2+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{n+2}{n^2+1}\text{ (car $n^2+1>0$)}
\end{align*}
Or, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{n-2}{n^2+1} \right)}=0$ (voir exercice précédent pour la méthode) et, de même, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{n+2}{n^2+1} \right)}=0$. 

\medskip

Les deux bornes de l'encadrement ayant une limite \underline{commune et finie}, d'après le théorème des gendarmes, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=0$.
\end{exercicetype}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercices 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\exercices

\sectionnn{Raisonnement par récurrence sans suite}

%%%

\begin{exocor}{une somme avec factorielles}[1]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

Vérifier que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}. \]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $S_1=\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2!}$.
\item $S_2=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}=\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{6}=1-\dfrac{1}{3!}$.
\item $S_3=S_2+\dfrac{3}{4!}=\dfrac{23}{24}=1-\dfrac{1}{24}=1-\dfrac{1}{4!}$.
\end{itemize}
On constate alors que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

\item Démontrons par récurrence cette dernière conjecture. Nous avons réalisé l'initialisation dans la question précédente.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $S_k=1-\dfrac{1}{(k+1)!}$ (HR). Alors,
\begin{align*}
S_{k+1} & = S_k + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!}\times\dfrac{k+2}{k+2} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{k+2}{(k+2)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+2)!}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{somme des premiers carrés}[2]
On considère la somme :
\[ S_n= \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2. \]
Montrer par récurrence que :
\[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

\tcblower

Posons $P(n)$ la propriété : 
\[ (P_n)\: :\: 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\begin{enumerate}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$S_1=1^2=1$ et $\dfrac{1\times(1+1)(2\times1+1)}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.\\
Donc $P(1)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, la propriété $P(k)$ est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]
Par hypothèse de récurrence, on a :
\begin{align*}
1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 & = S_k+(k+1)^2\\[8pt]
& = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1) \right]\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6} \right]\\[8pt]
& = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}
\end{align*}
\og $k_1=-2$ \fg{} est une racine évidente du polynôme $2k^2+7k+6$ donc la seconde racine $k_2$ est telle que $k_1k_2=\dfrac{c}{a}$, donc $k_2=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{6}{2}=-\dfrac{3}{2}$.\\
Donc $2k^2+7k+6=2\left(k+2\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)=(k+2)(2k+3)$.\\
Finalement, on a :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. \]
L'hérédité est donc vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k \geqslant 1$, $P(k) \Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{inégalité de Bernoulli}[2]
Montrer par récurrence l'inégalité suivante, appelée \textit{inégalité de Bernoulli}:
\[
\forall x > -1,\ x\neq0, \forall n>1,\ (1+x)^n > 1+nx.
\]

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=2$, $\begin{aligned}[t]
(1+x)^n & = (1+x)^2 = 1+2x+x^2\\
1+nx & = 1+2x
\end{aligned}$

Or, $x^2>0$ donc $1+2x+x^2>1+2x$; ainsi, $(1+x)^2 > 1+2x$.

\medskip

L'in\'egalit\'e est donc vraie au rang $n=2$.

\medskip

\item \textbf{H\'er\'edit\'e.}


On suppose que l'in\'egalit\'e est vraie au rang $n$, c'est-\`a-dire que l'on suppose que pour un entier $n$ quelconque sup\'erieur strictement \`a 1 :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^n>1+nx\qquad {\rm(HR)}
\]
et on souhaite d\'emontrer que :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^{n+1} > 1+(n+1)x.
\]
$\forall x \geqslant-1,\ x\neq0$, on a :
\begin{align*}
(1+x)^{n+1} & = (1+x)^n \times (1+x)\\
& > (1+nx)\times(1+x)\qquad\text{par HR}\\
& > 1+nx+x+x^2\qquad\text{en d\'eveloppant}\\
& > 1+(n+1)x+x^2.
\end{align*}
Or, $x^2>0$ donc $1+(n+1)x+x^2>1+(n+1)x$, d'o\`u:
\[
(1+x)^{n+1}>1+(n+1)x.
\]
Ainsi, si l'in\'egalit\'e est vraie \`a un rang $n$ quelconque, elle l'est aussi au rang $n+1$ : l'h\'er\'edit\'e est d\'emontr\'ee.
\end{itemize}

Par cons\'equent, l'in\'egalit\'e de Bernoulli est vraie pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur strictement \`a 1.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{factorielle et inégalité}[2]
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 4, $n! > n^2$.

\textit{Il faudra faire preuve d'initiative dans cet exercice.}

On rappelle que $n! = 2\times3\times4\times\cdots\times(n-1)\times n$.

\tcblower

Posons:
\[
\mathcal{P}_n\quad:\quad \forall n \geqslant 4, n\in\N, n! > n^2.
\]
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$4!=2\times3\times4=24$ et $4^2=16$ donc pour $n=4$, $n!>n^2$.

\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un certain entier $k$ fixé supérieur ou égal à 4, $\mathcal{P}_k$ est vraie, c'est-à-dire que $k!>k^2$ (HR).

Démontrons alors que $(k+1)! > (k+1)^2$, soit $(k+1)! > k^2+2k+1$.
\begin{align*}
(k+1)! & = k! \times (k+1)\\
& > k^2 \times (k+1)\qquad\text{ d'après (HR)}
\end{align*} 
Il faudrait démontrer maintenant que $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

On calcule alors:
\begin{align*}
k^2(k+1) - (k+1)^2 & = (k+1)\big[k^2 - (k+1) \big]\\
& = (k+1)(k^2-k-1)\\
& = (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big].
\end{align*}

$\forall k \geqslant 4$,
\[
\left.\begin{array}{r} k(k-1)-1 \geqslant 4\times3-1, \text{ soit }k(k-1)-1 \geqslant 11\\
k+1 \geqslant 5
\end{array}\right\}\Rightarrow (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big] \geqslant 55>0.
\]

\medskip

Donc $k^2(k+1) - (k+1)^2 \geqslant0$, soit $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

Ainsi, $(k+1)! > (k+1)^2$. La propriété $\mathcal{P}_n$ est donc héréditaire.
\end{itemize}

D'après le principe de récurrence, on en déduit que $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 4.
\end{exocor}

%%%% 2025

\begin{exocor}{inégalité}[2]
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans \N l'inéquation: $4n > 2(n+1)$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 3$, $2^n > 2n$. 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Résolvons dans \N l'inéquation:
\begin{align*}
4n > 2(n+1) & \iff 4n > 2n + 2\\
& \iff 2n > 2\\
& \iff n > 1.
\end{align*}

\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 3$, 
\[
\mathcal{P}(n):\qquad 2^n > 2n.
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} pour $n=3$, $2^n=2^3=8$ et $2n=2\times3=6$.

$8 > 6$ donc $2^3 > 2\times3$.

$\mathcal{P}(3)$ est donc vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que $2^{k+1} > 2(k+1)$.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 2^k > 2k\\
& \Rightarrow 2\times2^k > 2 \times 2k\\
& \Rightarrow 2^{k+1} > 4k \,{\color{red} > 2(k+1) \text{ (d'après la question précédente car $k>1$)}}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}
L'hérédité est alors prouvée.

\item \textbf{Conclusion:} d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 3$.
\end{itemize} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%% 2025

\begin{exocor}{de l'importance de l'initialisation}[2]
Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété:
\begin{center}
\og $4^n+1$ est divisible par 3. \fg{} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On suppose que $\mathcal{P}(k)$ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.

Montrer que $\mathcal{P}(k+1)$ est alors vraie.

\item $\mathcal{P}(n)$ est-elle vraie pour tout entier naturel  $n$ ? 

\item Que cela vous inspire-t-il ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Supposons que pour un entier $k$ fixé, $4^k+1$ est divisible par 3. Alors, il existe un entier naturel $p$ tel que:
\[
4^k+1=3p.
\]

On a alors les implications suivantes:
\begin{align*}
& 4^k+1=3p\\
\Rightarrow & 4\times(4^k+1) = 4 \times 3p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 = 12p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 - 3 = 12p - 3\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 1 = 3(4p-1).
\end{align*}
Ainsi, $4^{k+1}+1$ est un multiple de 3, et donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

\medskip

On dit que la propriété $\mathcal{P}$ est \textit{héréditaire}.

\item $\mathcal{P}(0)$ stipule que $4^0+1=2$ est un multiple de 3, ce qui est loin d'être vrai.

De même, $\mathcal{P}(1)$ stipule que $4^1+1=5$ est un multiple de 3, ce qui n'est pas le cas.

\medskip

Donc $\mathcal{P}(n)$ n'est pas vraie pour tout entier naturel $n$.

\item Ce qui précède nous permet de constater que ce n'est pas parce qu'une propriété est héréditaire qu'elle est tout le temps vraie.

Le principe de récurrence s'appuie d'ailleurs sur le fait qu'il est nécessaire de vérifier que la propriété est vraie pour un entier (généralement, le plus petit possible: c'est l'initialisation).

Donc il faut veiller à faire l'initialisation lors d'un raisonnement par récurrence sans quoi, le raisonnement est faux.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{en arithmétique}[3]
Montrer par récurrence les propriétés suivantes.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, $4^n-3n-1$ est divisible par 9.
\item Pour tout entier naturel $n$, $7\times3^{5n}+4$ est divisible par 11.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n): 4^n-3n-1=9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} 

Pour $n=0$, on a:
\[
4^n-3n-1=4^0-3\times0-1=1-1=0 = 9\times 0.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip


\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:

$4^{k+1} - 3(k+1) - 1 = 9p$, soit $4^{k+1} - 3k - 4 = 9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k) \text{ vraie} & \Rightarrow 4^k-3k-1=9p\\
& \Rightarrow 4\times(4^k-3k-1) = 4\times 9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}-12k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}- 3k - 9k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 4\times9p +9k\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 9(4p+k)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}
En effet, $4p+k$ est un entier relatif (car c'est une combinaison linéaire de deux entiers relatifs).

\newpage
\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4^n-3n-1 \text{ est un multiple de 9}.
\]
\end{itemize}


\item Posons $\mathcal{P}(n):7\times3^{5n}+4=11p$, où $p$ est un entier naturel (non nul).
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, on a:
\[
7\times3^{5n}+4=7\times3^0+4=7+4=11=11\times1.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:
\[
7\times3^{5(k+1)}+4=11p.
\]
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 7\times3^{5k}+4=11p\\
& \Rightarrow 3^5\times\big(7\times3^{5k}+4\big)=3^5\times11p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k}\times3^5 + 4\times3^5 = 11\times3^5p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k+5} + {\color{red}972} = 11\times3^5p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + {\color{red}4 + 968} = 11\times3^5p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5p-{\color{blue}968}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5p-{\color{blue}11\times88}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times\big(3^5p-88\big)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\quad 7\times3^{5n}+4\text{ est un multiple de 11}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%


\bigskip

\sectionnn{Raisonnement par récurrence avec une suite}

%%%%

\begin{exocor}{conjecturer une formule et la démontrer}[1]
On considère la suite $\suite{u}{n}{}$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fraction irréductible.
\item Conjecturer la formule qui donne $u_n$ puis la montrer par récurrence.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons :\vspace{-2em}
\begin{multicols}{3}
\begin{align*}
u_1 & = \frac{1}{2-u_0}\\
\Aboxed{u_1& = \frac{1}{2}}\\
~ & ~
\end{align*}

\columnbreak


\begin{align*}
u_2 & = \frac{1}{2-u_1}\\
u_2& = \frac{1}{2-\tfrac{1}{2}}\\
\Aboxed{u_2& = \frac{2}{3}}
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
u_3 & = \frac{1}{2-u_2}\\
u_3& = \frac{1}{2-\tfrac{2}{3}}\\
\Aboxed{u_3& = \frac{3}{4}}
\end{align*}
\end{multicols}

\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite dans la question 1.

\newpage

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = \frac{1}{2-u_k} = \frac{1}{2-\tfrac{k}{k+1}}\quad\text{(H.R.)}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2(k+1)-k}{k+1}} = \frac{k+1}{k+2}.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%% 

\begin{exocor}{avec une fonction croissante}[1]
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{$0$,$5$}
\tkzTabVar{-/$1$,+/$5$,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On définit alors la suite \suite{u}{n}{} par son premier terme $u_0=0$ et par l'égalité $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 5$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 5$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

$u_0=1$ donc $0 \leqslant u_0 \leqslant 5$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $0\leqslant u_k \leqslant 5$.

Alors, puisque $f$ est croissante sur \intervFF{0}{5}, on peut prendre l'image de chaque membre de cet encadrement sans changer le sens des inégalités: les images de 0, $u_k$ et 5 sont rangées dans le même ordre:
\[ f(0) \leqslant f(u_k) \leqslant f(5) \]
soit:
\[ 1 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5\qquad\text{et donc:}\qquad
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5. \]
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $0\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%% NEW 2025

\begin{exocor}{suite définie par récurrence}[1]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 2\\
u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}\quad,\quad \forall n \geqslant0.
\end{cases}
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_n \leqslant 2$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

$u_0=2$ donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $1\leqslant u_k \leqslant 2$.

Alors,on a:
\begin{align*}
1\leqslant u_k \leqslant 2 & \Rightarrow 1+1\leqslant 1+u_k \leqslant 1+2\\
& \Rightarrow 2 \leqslant 1+u_k \leqslant 3\\
& \Rightarrow \sqrt2 \leqslant \sqrt{1+u_k} \leqslant \sqrt3\\
& \Rightarrow {\color{red} 1 \leqslant} \sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \sqrt{3}\ {\color{red} \leqslant 2}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $1\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize} 
\end{exocor}

%%% NEW 2025

\begin{exocor}{suite définie par récurrence}[1]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par:
\[
\begin{cases}
u_0 = \frac{1}{2}\\
u_{n+1} = \dfrac{1}{1+u_n}\quad,\quad \forall n \geqslant0.
\end{cases}
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant 1$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

\medskip

$u_0=\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant 1$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\medskip

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1$.

Alors,on a:
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1 & \Rightarrow 1+\dfrac{1}{2}\leqslant 1+u_k \leqslant 1+1\\
& \Rightarrow \dfrac{3}{2} \leqslant 1+u_k \leqslant 2\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1+u_k} \leqslant \dfrac{2}{3}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\ {\color{red} \leqslant 1}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\end{exocor}


\sectionnn{Limites de suites}

%%%% 

\begin{exocor}{fractions rationnelles}[1]
Déterminer la limite des suites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $a_n=\dfrac{3n+2}{4n-1}$
\item $b_n=\dfrac{n^2-3n+1}{n+7}$
\item $c_n=\dfrac{3n-7}{n^2+1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $a_n=\dfrac{3n+2}{4n-1}=\dfrac{n\left(3+\frac{2}{n}\right)}{n\left(4-\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{3+\frac{2}{n}}{4-\frac{1}{n}}$, pour $n>0$.

Or, d'après le cours, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$ donc, par somme, produit et quotient de limites,
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{a_n}=\dfrac{3}{4} }
\]

\item $b_n=\dfrac{n^2-3n+1}{n+7}=\dfrac{n^2\left(1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\frac{7}{n}\right)}=\dfrac{n\left(1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{1+\frac{7}{n}}$, pour $n>0$.

Or, pour $k\in\N*$, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n^k}}=0$ donc, par somme produit et quotient de limites:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{b_n}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n\times1}{1}}=+\infty}
\]

\item $c_n=\dfrac{3n-7}{n^2+1}=\dfrac{n\left(3-\frac{7}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{3-\frac{7}{n}}{n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$, pour $n>0$.

Or, pour $k\in\N*$, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n^k}}=0$ donc, par somme, produit et quotient de limites,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{c_n}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{3}{n}}=0}
\]
\end{enumerate}
\newpage
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{avec racines carrées}[1]
Déterminer les limites des suites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $u_n=\dfrac{n^2+3n-2}{\sqrt{n}+1}$
\item $v_n=\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}}$
\item $w_n=\dfrac{2\sqrt{n}+n-3}{\sqrt{n}+1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour cette question, on aura besoin de voir que $n^2=n \times n = n \times \sqrt{n} \times \sqrt{n}$. 

Ainsi, $\dfrac{n^2}{\sqrt{n}}=n\sqrt{n}$. 

$u_n=\dfrac{n^2+3n-2}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n^2\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{n\sqrt{n}\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, pour $k\in\N*$, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=0$ donc, par somme, produit et quotient de limites,
\[ \boxed{ \limite{n}{+\infty}{u_n} = \limite{n}{+\infty}{\big(n\sqrt{n}\big)}=+\infty} \]

\item $v_n=\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}}=\sqrt{\dfrac{4+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}$, pour $n>0$.

Or, pour $k\in\N*$, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n^k}}=0$ donc, par somme, produit et quotient de limites,
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{v_n} = \sqrt{\dfrac{4}{1}} = 2 }
\]

\item $w_n=\dfrac{2\sqrt{n}+n-3}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n\left(\frac{2\sqrt{n}}{n}+1-\frac{3}{n}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{\sqrt{n}\left(\frac{2}{\sqrt{n}}+1-\frac{3}{n}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, pour $k\in\N*$, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=0$ donc, par somme, produit et quotient de limites,
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{w_n} = \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\sqrt{n}}{1}}=+\infty}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{théorème des gendarmes}[1]
Déterminer la limite de la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} où $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n^2}$.

\tcblower

Pour tout entier naturel $n\neq0$, on a :
\[ 
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1. 
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
& n-1 \leqslant n+\cos(n)\leqslant n+1\\[6pt]
\iff & \frac{n-1}{n^2}\leqslant\frac{n+\cos(n)}{n^2}\leqslant\frac{n+1}{n^2}
\end{align*}
De plus, 
\[
\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n-1}{n^2} \right) =\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n\left(1-\frac{1}{n} \right)}{n^2}\right) = \lim_{n\to+\infty}\left( \frac{1-\frac{1}{n}}{n} \right) =0.
\]
De même, 
\[ 
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n^2}\right)=0.
\]
Les limites des bornes étant finies et communes, d'après le théorème des gendarmes,
\[ 
\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0} 
\]
\end{exocor}

%%%%

\newpage

\begin{exocor}{limite d'une somme avec factorielles}[2]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $k$, $\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$.
\item Calculer alors $\limite{n}{+\infty}{S_n}$.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$, 
\begin{align*}
\dfrac{k}{(k+1)!} & =\dfrac{k+1}{(k+1)!} - \dfrac{1}{(k+1)!} = \dfrac{\cancel{(k+1)}}{k!\times\cancel{(k+1)}}-\dfrac{1}{(k+1)!} = \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \right)\\
& = \left( \dfrac{1}{1!} - \dfrac{1}{2!}\right) + \left( \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!}\right) + \left( \dfrac{1}{3!} - \dfrac{1}{4!}\right) + \cdots + \left( \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{(n+1)!}\right)\\
& = \dfrac{1}{1!} - \cancel{\dfrac{1}{2!}}  +  \cancel{\dfrac{1}{2!}} - \cancel{\dfrac{1}{3!}}  +  \cancel{\dfrac{1}{3!}} - \cancel{\dfrac{1}{4!}}  + \cdots +  \cancel{\dfrac{1}{n!}} - \dfrac{1}{(n+1)!} \\
& = 1 - \dfrac{1}{(n+1)!}.
\end{aligned}$


\item $\limite{n}{+\infty}{(n+1)!}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{(n+1)!}}=0$.

Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{S_n}=1}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{théorème de comparaison}[2]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}$
\item $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \iff n^2-1 \leqslant n^2+\sin(n) \leqslant n^2+1\\
& \iff \dfrac{n^2-1}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+1}{n+1}\text{ car }n+1>0.
\end{align*}
Or, $\dfrac{n^2-1}{n+1}=\dfrac{\cancel{n}\left(n-\frac{1}{n}\right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)}$.

De plus, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$ donc:
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left(n-\frac{1}{n}\right)} = +\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2-1}{n+1}}=+\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\underbrace{\dfrac{n^2-1}{n+1}}_{\color{red} \to +\infty} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}=+\infty}
\]

\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1 & \iff (-1)-n^3 \leqslant (-1)^n-n^3 \leqslant 1-n^3\\
& \iff \dfrac{-1-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{1-n^3}{1+n^2}
\end{align*}
Or,
\[
\dfrac{1-n^3}{1+n^2}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}-n\right)}{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}+1\right)}=\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}.
\]
De plus, 
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}-n \right)} = -\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}+1 \right)} = 1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}}=-\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \underbrace{\dfrac{1-n^3}{1+n^2}}_{\color{red}\to-\infty}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}=-\infty}
\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
Quand on a un encadrement de la forme $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que l'on souhaite déterminer la limite de $u_n$, il suffit de prendre une partie de cet encadrement quand $\limite{n}{+\infty}{v_n}$ et/ou $\limite{n}{+\infty}{w_n}$ est infinie, car le théorème des gendarmes ne fonctionne pas avec une limite infinie.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%% 

\begin{exocor}{théorème des gendarmes}[3]
Soit $a\neq\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z$. Calculer $\limite{n}{+\infty}u_n$ dans les cas suivants.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=\dfrac{n+\sin(n)}{n+\cos(n)}$
\item $u_n=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^n\sin^p(a)$. 
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+\sin(n)}{n+\cos(n)}=\dfrac{\cancel{n}\left(1+\frac{\sin(n)}{n} \right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}$.

Or, pour tout entier naturel $n$,
\[
\begin{cases}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\sin(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}\\[8pt]
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\cos(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}
\end{cases}
\]
donc, d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\limite{n}{+\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\limite{n}{+\infty}\frac{\cos(n)}{n}=0
\]
et donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}u_n=\dfrac{1}{1}=1}
\]

\item $u_n=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^n\sin^p(a)=\dfrac{1}{n}\big(1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)\big)=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)}$.

En effet, nous pouvons voir la somme:
\[
1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)
\]
comme étant la somme :
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
\]
avec $q=\sin(a)$ ($a\neq\dfrac{\pi}{2}\mod2\pi$ donc $\sin(a)\neq1$).

\medskip

De plus,
\begin{align*}
-1\leqslant\sin(a)\leqslant1 & \Rightarrow -1\leqslant\sin^{n+1}(a)\leqslant1\\
& \Rightarrow -1 \leqslant -\sin^{n+1}(a) \leqslant 1\\
& \Rightarrow 0 \leqslant 1-\sin^{n+1}(a) \leqslant 2\\
& \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)} \leqslant \dfrac{2}{1-\sin(a)}\\
& \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}.
\end{align*}
Or,
\[
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}=0
\]
donc d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


\bigskip

\sectionnn{\'Etude complète d'une suite}


%%%

\begin{exocor}{étude d'une suite}[1]
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n+2n+3.
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la monotonie de $\suite{u}{n}{}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
\item Déterminer alors la limite de $\suite{u}{n}{}$.
\end{enumerate}
\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.
\end{enumerate}

\tcblower 

\begin{enumerate}
\item On a : $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n+2n+3-u_n\\
& = 2n+3 > 0
\end{aligned}$

Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est croissante.


\item
\begin{enumerate}
\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n \geqslant n^2$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$u_0=1\geqslant 0$ donc $P(0)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$ positif, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}\geqslant(k+1)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k+2k+3\\
& \geqslant k^2+2k+3 \quad \text{(H.R.)}\\
& \geqslant k^2+2k+1+2\\
& \geqslant (k+1)^2+2\\
& \geqslant (k+1)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item D'après le théorème de comparaison des suites et d'après la question précédente, on a :
\[ 
\lim_{n\to+\infty} u_n \geqslant \lim_{n\to+\infty} n^2
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$ ; donc  \[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty}\]
\end{enumerate}

\item Calculons les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :
\begin{align*}
u_0 & =1\\
u_1 & = u_0+2\times 0+3 = 4\\
u_2 & = u_1+2\times 1+3=9\\
u_3 & = u_2+2\times 2+3=16\\
u_4 & = u_3+2\times 3+3=25
\end{align*}
On peut alors conjecturer que $u_n=(n+1)^2$. Montrons cela par récurrence.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite précédemment.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
On suppose que pour un entier naturel $k$, $u_k=(k+1)^2$ (qui constitue la propriété $P(k)$). Montrons que $u_{k+1}=(k+2)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & =u_k+2k+3\\
& = (k+1)^2+2k+3\\
& = k^2+4k+4\\
& = (k+2)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%

\begin{exocor}{construction graphique des premiers termes}[1]
Dans un repère orthonormé, construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=10$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.

Conjecturez alors la limite de la suite $(u_n)$.

\tcblower

Le fait que $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ nous dit que $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\sqrt{2+x}$. Il faut donc tracer la courbe représentative de la fonction $f$ (en rouge ci-dessous) ainsi que la droite d'équation $y=x$ (en orange ci-dessous) pour transformer les images (en ordonnées) en abscisses.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=3.8cm,xscale=1,yscale=1]
\draw[dotted,gray,opacity=0.5] (-1,-1) grid[step=0.2] (15,4);
\draw[gray,opacity=0.5] (-1,-1) grid (15,4);
\draw[thick,->,>=latex] (-1,0) -- (15,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,4);
\clip (-1,-1) rectangle (15,4);
\draw[thick,orange] plot[domain=-1:15] (\x,\x) node[below left,rotate=45.0,scale=0.7,outer xsep=3mm] {$y=x$};
\draw[thick,red] plot[domain=0:13,samples=100] (\x,{sqrt(\x+2)});
% Graduation des axes
\draw[thick] (-1,0.1/1) -- (-1,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {-1};
\draw[thick] (1,0.1/1) -- (1,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {1};
\draw[thick] (2,0.1/1) -- (2,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {2};
\draw[thick] (3,0.1/1) -- (3,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {3};
\draw[thick] (4,0.1/1) -- (4,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {4};
\draw[thick] (5,0.1/1) -- (5,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {5};
\draw[thick] (6,0.1/1) -- (6,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {6};
\draw[thick] (7,0.1/1) -- (7,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {7};
\draw[thick] (8,0.1/1) -- (8,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {8};
\draw[thick] (9,0.1/1) -- (9,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {9};
\draw[thick] (10,0.1/1) -- (10,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {10};
\draw[thick] (11,0.1/1) -- (11,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {11};
\draw[thick] (12,0.1/1) -- (12,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {12};
\draw[thick] (13,0.1/1) -- (13,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {13};
\draw[thick] (14,0.1/1) -- (14,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {14};
\draw[thick] (15,0.1/1) -- (15,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {15};
\draw[thick] (0.1/1,-1) -- (-0.1/1,-1) node[left] {-1};
\draw[thick] (0.1/1,1) -- (-0.1/1,1) node[left] {1};
\draw[thick] (0.1/1,2) -- (-0.1/1,2) node[left] {2};
\draw[thick] (0.1/1,3) -- (-0.1/1,3) node[left] {3};
\draw[thick] (0.1/1,4) -- (-0.1/1,4) node[left] {4};
\draw[dashed,purple,inner ysep=0pt, outer ysep=2pt] (10,0) node[above right,outer ysep=3mm] {$u_{0}$} -- (10,3.4641016151377544);
\draw[dashed,purple] (10,3.4641016151377544) -- (3.4641016151377544,3.4641016151377544);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,3.4641016151377544) -- (3.4641016151377544,0);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,0) node[below,outer ysep=3mm] {$u_{1}$} -- (3.4641016151377544,2.3375417889607353);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,2.3375417889607353) -- (2.3375417889607353,2.3375417889607353);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,2.3375417889607353) -- (2.3375417889607353,0);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,0) node[below,outer ysep=3mm] {$u_{2}$} -- (2.3375417889607353,2.0826765925031987);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,2.0826765925031987) -- (2.0826765925031987,2.0826765925031987);
\draw[dashed,purple] (2.0826765925031987,2.0826765925031987) -- (2.0826765925031987,0);
\node[below left,outer ysep=2pt,purple] at (2.0826765925031987,0) {$u_{3}$};
%
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors conjecturer que la limite de cette suite est l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec la droite, soit la solution de l'équation :
\begin{align*}
x=\sqrt{2+x} & \iff x^2 = 2+x\\
& \iff x^2-x-2=0\qquad,\qquad\Delta=9\\
& \iff x = 2.
\end{align*}

\begin{attention}
Ce n'est qu'une conjecture... On pourra le démontrer à l'aide du théorème du point fixe (voir chapitre sur la continuité).
\end{attention}
\end{exocor}




%%%%

\begin{exocor}{récurrence et théorème de convergence}[2]
Soit la fonction $f$ définie sur \intervFF{0}{2} par : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur \intervFF{0}{2}.\\
Montrer alors l'implication suivante : \[x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}.\]
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\in\intervFF{1}{2}$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite \suite{u}{n}{} converge.

\textit{On ne demande pas de déterminer la limite de la suite.}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a : 
\[ 
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0. 
\]
Donc $f$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{2}.

On en déduit alors :
\[ 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow f(1)\leqslant f(x) \leqslant f(2)\]
Or, $f(1)=\dfrac{3}{2}>1$ et $f(2)=\dfrac{5}{3}<2$.

Ainsi, 
\[
\boxed{x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}}
\]

\item Soit $P(n)$ la propriété : $1\leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 2$. 

Démontrons qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$ par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

$u_0=1$ et $u_1=\dfrac{2\times1+1}{1+1}=1,5$ donc $1\leqslant u_n < u_1 \leqslant 2$.

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que $P(k)$ soit vraie, où $k$ est un entier naturel. Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi.

D'après la question précédente, on a : 
\begin{align*}
1 \leqslant u_k < u_{k+1} \leqslant 2 & \implies f(1) \leqslant f\left(u_k\right) < f(u_{k+1}) \leqslant f(2)\\
& \implies {\color{red}1 } \leqslant 1,5 \leqslant u_{k+1} < u_{k+2} \leqslant \frac{5}{3} {\color{red} \leqslant 2}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion}.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire donc,  d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item De la question précédente, on peut conclure que la suite \suite{u}{n}{} est croissante et bornée, donc majorée. Or, \textit{toute suite croissante et majorée converge}. 

Donc \suite{u}{n}{} est convergente.
%\medskip
%
%Posons alors $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$. Nous savons que $u_n\in[1;2]$ pour tout entier naturel $n$, donc $\ell\in\intervFF{1}{2}$.
%
%On a alors :
%\begin{align*}
%u_{n+1}=f\left(u_n\right) & \iff \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = \lim\limits_{n\to+\infty} f\left(u_n\right)\\
%& \iff \ell = f(\ell)\quad\text{car }f\text{ est continue}\\
%&\iff \ell = \frac{2\ell+1}{\ell+1}\\
%& \iff \ell^2+\ell=2\ell+1\\
%&\iff\ell^2-\ell-1=0.
%\end{align*}
%Le discriminant du polynôme $\ell^2-\ell-1$ est $\Delta=5$ donc il possède deux racines :\\$\ell_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ et $\ell_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\in\intervFF{1}{2}$. Ainsi, $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{suite homographique et suite géométrique}[2]
Soit la suite \suite{u}{n}{} définie par : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.$

On admet que pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_n \leqslant 2,5$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$. Alors :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+3} = \frac{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}-2}{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}+3}  = \frac{u_n+6-2u_n-4}{u_n+2}\times\frac{u_n+2}{u_n+6+3u_n+6}\\
& = \frac{-u_n+2}{4u_n+12} = -\frac{1}{4}\times\frac{u_n-2}{u_n+3} = -\frac{1}{4}v_n\;.
\end{align*}
Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-2}{u_0+3}=-\dfrac{1}{4}$ et de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.

\item La suite $\left(v_n\right)$ converge vers \og 0 \fg{} comme suite géométrique de raison strictement comprise entre $-1$ et $1$. Ainsi :
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n-2}{u_n+3}=0 & \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-2\right)=0\\
& \Rightarrow \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=2}\\
& \text{(car $1\leqslant u_n \leqslant 2,5$ donc $\limite{n}{+\infty}{(u_n+3)}\neq\pm\infty$)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\newpage
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{suite homographique \& suite arithmétique}[2]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
$ 
et la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par : $ v_n=\dfrac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & = \frac{1}{u_{n+1}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{2u_n}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2u_n-1}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{4u_n}{2u_n-1}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2u_n}{u_n-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2\left(u_n-\tfrac{1}{2}\right)}{u_n-\tfrac{1}{2}} = 2.
\end{aligned}$

La suite \suite{v}{n}{} est donc arithmétique de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$ et de raison $r=2$.


\item D'après ce qui précède, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ car $r>0$ d'où :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}=+\infty\;,\]
ce qui signifie que :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-\frac{1}{2}\right)=0. \]
D'où :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{2}} \]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\newpage
\begin{exocor}{étude se ramenant à une suite géométrique}[2]
On définit la suite \suite{u}{n}{} pour tout entier naturel $n$ par :
$
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1
\end{array}
\right.
$

\begin{enumerate}
\item Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.

Que peut-on conjecturer quant au sens de variation de \suite{u}{n}{}?

\item On pose $v_n=u_n-4n+10$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique que l'on caractérisera.
\item En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
\item On pose :
$ S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.$

Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On trouve :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $u_1=-0,5$
\item $u_2=0,75$
\item $u_3=3,375$
\item $u_4=6,6875$
\item $u_5=10,34375$
\item $u_6=14,171875$
\item $u_7=18,0859375$
\item $u_8=22,04296875$
\item $u_9=26,021484375$
\end{itemize}
\end{multicols}
On peut alors conjecturer que \suite{u}{n}{} est strictement croissante à partir de $n=1$.

\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =u_{n+1}-4(n+1)+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n+2n-1-4n-4+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n-2n+5\\
& = \dfrac{1}{2}\left(u_n-4n+10\right)\\
& = \dfrac{1}{2}v_n\;.
\end{aligned}$

\columnbreak

On déduit alors que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-4\times0+10=11$.
\end{multicols}

\item On a alors : $v_n=11\times\dfrac{1}{2^n}$ et donc: $u_n=v_n+4n-10=\dfrac{11}{2^n}+4n-10$.

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{11}{2^k}+4k-10\right)\\
& = 11\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{2^k}+4\sum_{k=0}^n k-10\sum_{k=0}^n 1\\
& = 11\left(\dfrac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}\right)+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-10(n+1)\\
& = 22\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)+2(n-5)(n+1).
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%% 2025

\begin{exocor}{une suite arithmético-géométrique}[2]
On définit la suite \suite{u}{n}{} par:
\[
\begin{cases}
u_0=4\\
u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+12 \qquad \forall n\in\N.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[
4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est convergente.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est géométrique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n):4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.$

Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_1=\dfrac{1}{4}u_0+12=1+12=13$.

On a alors: $4 \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 20$.

Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 4 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 20\\
& \Rightarrow \frac{1}{4}\times 4 \leqslant \frac{1}{4} u_k \leqslant \frac{1}{4}\times u_{k+1} \leqslant \frac{1}{4}\times 20\\
& \Rightarrow 1+12 \leqslant \frac{1}{4} u_k+12 \leqslant \frac{1}{4} u_{k+1}+12 \leqslant 5+12\\
& \Rightarrow 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17\\
& \Rightarrow {\color{red}4 \leqslant} 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17 {\color{red} \leqslant 20}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1)\text{ vraie}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie }\Rightarrow\mathcal{P}(k+1) \text{ vraie }$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\end{itemize}

\item D'après la question précédente, \suite{u}{n}{} est croissante et majorée (par 20) donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, \suite{u}{n}{} converge.

\item
\begin{enumerate}
\item $v_0=u_0-16=4-16=-12$.
\item Pour tout entier naturel $n$, 
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-16\\
& = \frac{1}{4}u_n+12-16\\
& = \frac{1}{4}u_n-4\\
& = \frac{1}{4}\left(u_n - \frac{4}{\tfrac{1}{4}}\right)\\
& = \frac{1}{4}(u_n-16)\\
& = \frac{1}{4}v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{4}$.

\item On déduit de la question précédente que:
\[
v_n = v_0 \times q^n = -12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^n
\]
et que:
\[
u_n = v_n+16 = 16-12\times\left(\frac{1}{4}\right)^n.
\]

\item $0 < \frac{1}{4} < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=16$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

%%%%


\begin{exocor}{suites imbriquées}[2]
Soient deux suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} telles que :
\[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l}
u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\
v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n
\end{array} \right.\]

On pose alors pour tout entier naturel $n$ :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{a}{n}{} est constante.
\item Montrer que \suite{b}{n}{} est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer que \suite{u}{n}{} converge et donner sa limite.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
a_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = 0,6u_n+0,3v_n+0,4u_n+0,7v_n\\
& = u_n+v_n\\
& = a_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{a}{n}{} est constante.

Or, $a_0=u_0+v_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ donc $a_n=1$ pour tout entier naturel $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
b_{n+1} & = 4u_{n+1}-3v_{n+1}\\
& = 4(0,6u_n+0,3v_n)-3(0,4u_n+0,7v_n)\\
& = 2,4u_n+1,2v_n-1,2u_n-2,1v_n\\
& = 1,2u_n-0,9v_n\\
& = 0,3\left(4u_n-3v_n\right)\\
& = 0,3b_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{b}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=0,3$ et de premier terme :
\begin{align*}
b_0 & =4u_0-3v_0\\
& = 4\times0,5-3\times0,5\\
b_0 & = 0,5.
\end{align*}

\item D'après la question précédente, on peut écrire :
\[
\forall n\in\N,\ b_n=\dfrac{1}{2}(0,3)^n.
\]
De plus, on a :
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right. & 
\iff\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3a_n=3u_n+3v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.\\
 & \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b_n=4u_n-3v_n\\
3a_n+b_n=7u_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3v_n=4\left(\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n\right)-b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}a_n-\frac{1}{7}b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}-\frac{1}{14}(0,3)^n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}+\frac{1}{14}(0,3)^n
\end{array}
\right.\\
\end{align*}

\item $\limite{n}{+\infty}{(0,3)^n}=0$ car $0<0,3<1$.

Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{3}{7}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les coccinelles}[2]
On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans !

On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique $f$ définie par : \[ f(x) = kx(1-x),\]
$k$ étant un paramètre réel qui dépend de l'environnement.

Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année $n$ par un nombre réel $u_n$ avec $u_n$ compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a \numprint{300000} coccinelles, on prendra $u_0=0,3$.

On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ étant la fonction définie ci-dessus.

Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la suite \suite{u}{n}{} pour différentes valeurs de la population initiale $u_0$ et du paramètre $k$. 

\begin{enumerate}
\item Supposons $u_0 = 0,4$ et $k = 1$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variations de la suite \suite{u}{n}{}.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\item Montrer que la suite \suite{u}{n}{} est convergente. 

\textit{On admet que la limite de la suite est la solution de l'équation $f(x)=x$}.

\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ? 
\end{enumerate}

\item Supposons maintenant $u_0 = 0,3$ et $k = 1,8$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{1} et montrer que  $f\left(\frac{1}{2}\right)\in\intervFF{0}{\frac{1}{2}}$.
\item En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, 
\begin{itemize}
\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{2}$ ;
\item établir que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.
\end{itemize}

\item La suite \suite{u}{n}{} est-elle convergente ? Calculer sa limite $\alpha$ en admettant que $\alpha=f(\alpha)$, puis interpréter ce dernier résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$, $u_0=0,4$.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n-u_n^2-u_n\\
& = -u_n^2\\
& \leqslant 0\text{ car un carré est toujours positif ou nul.}
\end{aligned}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ ; 
la suite \suite{u}{n}{} est donc décroissante.

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=0,4$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant 1$.

\item \textbf{Hérédité.}

On suppose que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.

$u_{n+1}=u_n(1-u_n)$ ; de plus, par hypothèse de récurrence, $0\leqslant u_n\leqslant 1$ et donc:
\[0\leqslant1-u_n\leqslant1.\]

Par produit, $0\leqslant u_n(1-u_n)\leqslant1$. Donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant1$.

L'hérédité est alors vérifiée : $u_n\Rightarrow u_{n+1}$.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\end{itemize}

\item La suite \suite{u}{n}{}étant décroissante et minorée, donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge. 

\item La limite de la suite est la solution de l'équation $f(x)=x$, soit ici:
\begin{align*}
x(1-x) = x & \iff x(1-x)-x=0\\
& \iff x-x^2-x=0\\
& \iff x^2=0\\
& \iff x=0.
\end{align*}

Avec de telles hypothèses, la population de coccinelles tend alors à disparaître.
\end{enumerate}

\item $u_{n+1}=1,8u_n(1-u_n)$, $u_0=0,3$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=1,8x(1-x)=1,8(x-x^2)$ donc $f'(x)=1,8(1-2x)$.

Donc $\begin{aligned}[t]
f'(x)\geqslant0 & \iff 1-2x \geqslant 0\\
& \iff 1 \geqslant 2x\\
& \iff x\leqslant\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

De plus, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1,8\times0,5\times0,5=0,45\in\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$. D'où le tableau:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt,outer sep=0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\frac{1}{2}$,1}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/{0,45},-/0}
\end{tikzpicture}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=0,3$ et $u_1=f(0,3)=1,8\times0,3\times0,7=0,378$.

Donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac{1}{2}$.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$. 
\begin{align*}
& 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}
{2}\\
\iff\ & f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)\quad\text{ car $f$ est croissante sur }\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}\\
\iff\ & 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{1}{2}.\text{ L'hérédité est alors vérifiée.}
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\item De la question précédente, on déduit que \suite{u}{n}{}est croissante ($u_{n+1}\geqslant u_n$) et majorée (par $\dfrac{1}{2}$) donc elle converge. 

Sa limite $\alpha$ vérifie :
\begin{align*}
\alpha=f(\alpha) & \iff \alpha = 1,8\alpha(1-\alpha) \iff 1=1,8(1-\alpha)\qquad\text{car }\alpha\neq0\\
& \iff \dfrac{1}{1,8} = 1-\alpha \iff \alpha = 1-\dfrac{1}{1,8}\\
& \iff \alpha = \dfrac{4}{9} \approx 0,444444
\end{align*}
Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\dfrac{4}{9}$.

On conclut de la question précédente qu'à long terme, la population de coccinelles se rapprochera de \numprint{444444}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{les états du manchot: avec des probabilités}[2]
Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.

\medskip
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement : 
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
On considère alors la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} définie par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'événement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right)$, $p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right)$, $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 

\newpage

\item  Recopier et compléter l'arbre suivant:	

\begin{center} 
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item Démontrer que pour tout entier $n~\geqslant~1, u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1.e. ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5.$

D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à\linebreak $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Toujours d'après l'énoncé $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3$.

\item  D'après la formule des probabilités totales :

$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$

\item  L'arbre est le suivant :
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$1-u_n$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$0,3$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$0,7$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$0,2$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item Toujours d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
u_{n+1} &= p\left(T_{n+1}\right)\\
& = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) \\
&= u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2\\
& = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n}\\
& = 0,1u_{n} + 0,2.
\end{align*}

\item La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;\:u_{5} = 0,2225$.

Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
\end{enumerate} 

\item 
\begin{enumerate}
\item  $\begin{aligned}[t]
		v_{n+1} &= u_{n+1} - \dfrac{2}{9}\\
		& = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45}\\
		& = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{10}v_{n}.
\end{aligned}$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est :
\[
v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}.
\]

\item On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.

Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  

\item Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.

Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{probabilités et mouvement d'une puce}[3]
On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit $n$ un entier naturel. \`A l'instant initial $n=0$, la puce se trouve en A.

\begin{itemize}
\item  Si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$, soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.
\end{itemize}

On désigne par A$_n$ (resp. B$_n$ et C$_n$) l'événement :\\ \og \`A l'instant $n$, la puce est en A (resp. B et C). \fg

On pose $a_n=\proba{A_n}$, $b_n=\proba{B_n}$, et $c_n=\proba{C_n}$.

On a donc $a_0=1$, $b_0=c_0=0$.

Pour traiter cet exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

\begin{enumerate}
\item \'Etude du mouvement pour $1\leqslant n \leqslant 3$.

\begin{enumerate}
\item Donner $a_1$ , $b_1$ et $c_1$. Calculer $a_1+b_1+c_1$.
\item \`A l'instant $n=2$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? Déterminer $a_2$, $b_2$ et $c_2$.
\item \`A l'instant $n=3$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? En déduire $a_3$. Calculer $b_3$ et vérifier que $c_3=\dfrac{17}{18}$.
\end{enumerate}

\item \'Etude du cas général.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l'instant $n$ lorsque l'entier $n$ est pair ($n=2k$ avec $k\in\N$), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l'entier $n$ est impair ($n=2k+1$ avec $k\in\N$).

En déduire (sans autre justification) la valeur de $a_{2k+1}$.

\item Démontrer que :
\[
\left\{
\begin{array}{l@{=}l}
b_{2k+1}&\dfrac{1}{3}a_{2k}\\[10pt]
a_{2k+2}&\dfrac{1}{2}b_{2k+1}
\end{array}
\right.
\]

\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $a_{2k}=\dfrac{1}{6^k}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel N tel que :
\[
\forall n\in\N,\quad n\geqslant N \Rightarrow a_n\leqslant 10^{-6}.
\]

\item Montrer que la suite \suite{a}{n}{} est convergente et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Faisons un bel arbre de probabilités pour nous aider :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.4]
\node (A0) at (0,0) {A$_0$};
\node (B1) at (2,2) {B$_1$};
\node (C1) at (2,-2) {C$_1$};
\draw (A0.east) -- (B1.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A0.east) -- (C1.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{2}{3}$};
\node (A2) at (4,3.5) {A$_2$};
\node (C2) at (4,0.5) {C$_2$};
\draw (B1.east) -- (A2.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{1}{2}$};
\draw (B1.east) -- (C2.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{1}{2}$};
\node (C2b) at (4,-2) {C$_2$};
\draw (C1.east) -- (C2b.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$1$};
\node (B3) at (6,5.5) {B$_3$};
\node (C3) at (6,2.5) {C$_3$};
\node (C3b) at (6,0.5) {C$_3$};
\node (C3t) at (6,-2) {C$_3$};
\draw (A2.east) -- (B3.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A2.east) -- (C3.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$\frac{2}{3}$};
\draw (C2.east) -- (C3b.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$1$};
\draw (C2b.east) -- (C3t.west) node[midway,fill=corrigepage!20] {$1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $a_1=\proba{A_1}=0$ ; $b_1=\dfrac{1}{3}$ et $c_1=\dfrac{2}{3}$ d'après l'énoncé.

$a_1+b_1+c_1=1$, ce qui est normal car la somme des probabilités d'événements formant une partition de l'univers est toujours égale à 1.

\item \`A l'instant $n=2$, la puce peut se trouver en A ou C car à l'instant $n=1$, elle se trouve en B ou C uniquement.

\newpage

On a alors les valeurs de $a_2$, $b_2$ et $c_2$ suivantes.

\begin{itemize}
\item $a_2=\probacond{A_2}{B_1}\times\proba{B_1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$.

\item $b_2=0$.

\item $c_2=1\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
\end{itemize}


\item Pour $n=3$, la puce se trouve en B ou C.

\begin{itemize}
\item $a_3=0$.

\item $b_3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$.

\item $c_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{17}{18}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On s'inspire de ce qui a été fait pour conjecturer que $a_{2k+1}=0$. En effet, pour les rangs impairs, la puce ne peut pas être en A car pour les rangs pairs, elle se trouve en A ou C.

\item $b_{2k+1}=\probacond{B_{2k+1}}{A_{2k}}\times\proba{A_{2k}}=\dfrac{1}{3}a_{2k}$.

$a_{2k+2}=\probacond{A_{2k+2}}{B_{2k+1}}\times\proba{B_{2k+1}}=\dfrac{1}{2}b_{2k+1}$.

\item De la question précédente, on déduit: $a_{2k+2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}a_{2k}=\dfrac{1}{6}a_{2k}$.

Donc: $\begin{aligned}[t]
a_{2k} & = \dfrac{1}{6}a_{2(k-1)} =  \dfrac{1}{6^2}a_{2(k-2)} = \dfrac{1}{6^3}a_{2(k-3)} = \cdots\\
& = \dfrac{1}{6^k}a_{2(k-k)} = \dfrac{1}{6^k}a_0\\
\Aboxed{a_{2k} & = \dfrac{1}{6^k}}\quad\text{car }a_0=1. 
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
a_n\leqslant10^{-6} & \Rightarrow a_{2k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{6^k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \ln\dfrac{1}{6^k}\leqslant\ln10^{-6}\\
& \Rightarrow k\ln\dfrac{1}{6}\leqslant-6\ln 10\\
& \Rightarrow k \geqslant\dfrac{-6\ln10}{-\ln6}\\
& \Rightarrow k\geqslant 8 \Rightarrow n \geqslant 2\times8=16.
\end{aligned}$

Le plus petit entier $N$ tel que $a_N\leqslant10^{-6}$ est donc $N=16$.

\item $\limite{k}{+\infty}{a_{2k}}=\limite{k}{+\infty}{\dfrac{1}{6^k}}=0$.

Donc \suite{a}{n}{} converge vers 0.
\end{enumerate}

\vspace*{5cm}
\end{exocor}

%%%%


\begin{exocor}{les suites de Héron}[3]
Pour un réel $a$ strictement positif quelconque, on considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0 & > 0\\
u_{n+1} & = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Compléter la fonction Python (page suivante) afin que l'instruction :

\begin{console}
>>> heron(4,7,20)
\end{console}

retourne les $n+1$ premiers termes de la suite \suite{u(4)}{n}.

\begin{python}
def heron(a,u,n):
    if u <=0:
        return "Le premier terme doit être strictement positif."
    elif a <= 0:
        return "La valeur de 'a' doit être strictement positive."
    else:
        L = [ ... ]
        k = 0
        while k < ...:
            u = ...
            L.append(...)
            k = ...
        return ...
\end{python}

\item L'instruction renvoie alors la liste suivante:
\begin{console}
[7, 3.7857142857142856, 2.4211590296495955, 2.0366301688743387, 2.0003294091613366, 2.0000000271231317, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0]
\end{console}

Faites deux conjectures à partir de ces valeurs.
\end{enumerate}

On se propose d'étudier mathématiquement la suite $\suite{u}{n}{}$ pour une valeur de $a>0$.

Pour cela, on introduit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par :
\[ 
f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Calculer $f'(x)$, puis donner les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty} en fonction de $a$.
\item En déduire que $u_1 \geqslant \sqrt{a}$, quelle que soit la valeur de $u_0 > 0$.
\item Montrer que pour tout réel $x \geqslant \sqrt{a}$, $f(x) \leqslant x$.
\item Montrer alors par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item Déduire que \suite{u}{n}{} converge. On note $\ell$ sa limite.
\item On admet que $\ell=f(\ell)$. Déterminer alors la limite de \suite{u}{n}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La fonction Python complétée est la suivante:
\begin{python}
def heron(a,u,n):
    if u <=0:
        return "Le premier terme doit être strictement positif."
    elif a <= 0:
        return "La valeur de 'a' doit être strictement positive."
    else:
        L = [ u ]
        k = 0
        while k < n:
            u = 0.5 * (u + a / u)
            L.append(u)
            k = k + 1
        return L
\end{python}

\item On peut constater:
\begin{itemize}
\item d'une part que la suite \suite{u(4)}{n}{} semble être décroissante;
\item d'autre part, que la suite \suite{u(4)}{n}{} semble converger vers 2.
\end{itemize}

\item On a : $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{x^2}\right)=\dfrac{x^2-a}{2x^2}$.

$x^2-a$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$, d'où le tableau page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt,outer sep=0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\sqrt{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/{$\sqrt{a}$},+/}
\end{tikzpicture}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après les variations de $f$, si $x\in\intervFO{0}{\sqrt{a}}$ alors $f(x)\geqslant\sqrt{a}$.

Or, $u_1=f(u_0)$ donc si $u0\in\intervOF{0}{\sqrt{a}}$ alors $u_1\geqslant\sqrt{a}$.

De plus, si $u_0\geqslant\sqrt{a}$, d'après les variations de $f$, $f(u_0)\geqslant\sqrt{a}$.

Ainsi, quelle que soit la valeur de $u_0>0$, $u_1\geqslant\sqrt{a}$.


\item Montrer que pour tout réel $x\geqslant\sqrt{a}$, $f(x)\leqslant x$.

Considérons alors la fonction $g(x)=f(x)-x$:
\[
g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{x}-x\right).
\]
Sa dérivée est alors:
\[
g'(x)=\dfrac{1}{2}\left(-\frac{a}{x^2}-1\right)
\]
donc $g'(x)<0$ sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}, ce qui signifie que $g$ est strictement décroissante sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}.

De plus, $g(\sqrt{a})=0$ donc $g(x)\leqslant 0$ sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}. On a alors $f(x)-x \leqslant 0$, soit $f(x) \leqslant x$.

\item Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} 

$u_1>\sqrt{a}$ et $u_2=f(u_1) \leqslant u_1$ d'après la question précédente. 

On a donc bien $\sqrt{a} \leqslant u_2 \leqslant u_1$.

L'initialisation est alors réalisée.


\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k>1$ , $\sqrt{a} \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$.

D'après la question 3., $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{\sqrt{a}}{+\infty}$ donc :
\[
f(\sqrt{a}) \leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(u_k)
\]
soit:
\[
\sqrt{a} \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}.
\]
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant1$, donc $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\end{itemize}


\item La suite \suite{u}{n}{} est, d'après la question précédente, décroissante et minorée. Donc d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

\item On admet que $\ell = f(\ell)$, soit $f(\ell)-\ell=0$. Donc: \begin{align*}
g(\ell)=0 & \iff \dfrac{a}{\ell}-\ell=0\\
& \iff a-\ell^2=0\\
& \iff \ell = -\sqrt{a}\text{ ou }\ell=\sqrt{a}.
\end{align*}
Or, $\ell>0$ car $u_n>0$. Donc $\ell=\sqrt{a}$.

Ainsi, la limite de \suite{u}{n}{} est égale $ \sqrt{a}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{suites imbriquées}[3]
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
\[
\begin{cases}
u_0	= v_0 = 1\\
u_{n+1}	=  u_n +v_n\\
v_{n+1}	=  2u_n + v_n
\end{cases}
\]

Dans toute la suite de l'exercice, on \textbf{admet} que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ \textbf{sont strictement positives}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculez $u_1$ et $v_1$.
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant 1$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant  n + 1$.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ :
\[
r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.
\]

On admet que:

\[r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

\[- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.\]
		\item En déduire :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$,

\[r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

\newpage

		\item On considère le programme suivant écrit en langage Python :
\begin{python}
def seuil():
    n = 0
    r = 1
    while abs( r - sqrt(2) ) > 10**(-4):
        r = (2 + r) / (1 + r)
        n = n + 1
    return n
\end{python}


(\og \texttt{abs} \fg{} désigne la valeur absolue, \texttt{sqrt} la racine carrée et \texttt{10**(-4)} représente $10^{-4}$).

La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $u_1 = u_0 + v_0 = 1+1=2$.

$v_1=2u_0+v_0 = 2\times1 + 1 = 3$.

\item Pour tout entier naturel$n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} - v_n & = 2u_n+v_n-v_n\\
& = 2u_n\\
& > 0\text{ par hypothèses de départ.}
\end{align*}
Ainsi, $v_{n+1}>v_n$ pour tout entier $n$; la suite \suite{v}{n}{} est donc strictement croissante.

\medskip

Or, $v_0=1$ donc pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant1$.


\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} 

$u_0=1 \geqslant 0+1$. L'inégalité est donc vraie pour $n=0$.


\item \textbf{Hérédité.} 

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k \geqslant k+1$ (HR).
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k + v_k\\
& \geqslant (k+1) + 1\text{ par (HR) et car }v_n\geqslant1.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$, donc $u_n \geqslant n+1$.
\end{itemize}

\item $u_n \geqslant n+1$ et $\limite{n}{+\infty}{n+1}=+\infty$ donc, par comparaison, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$.
\end{enumerate}

\newpage


\item
\begin{enumerate}
\item On sait que pour tout entier naturel $n$,
\[
-1 \leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1
\]
donc, en divisant par $u_n^2>0$:
\[
\boxed{-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}}
\]

\item $\limite{n}{+\infty}u_n=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}u_n^2=+\infty$. Ainsi,
\[
\limite{n}{+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=\limite{n}{+\infty}\left(-\dfrac{1}{u_n^2}\right)=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement), on en déduit:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0}
\]

\item D'après la question précédente, par somme,
\[
\limite{n}{+\infty}r_n^2 = 2 + 0
\]
donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}r_n=\sqrt2}
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a d'une part:
\[
r_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}
\]
et d'autre part, 
\begin{align*}
\dfrac{2+r_n}{1+r_n} & = \dfrac{2+\frac{v_n}{u_n}}{1+\frac{v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{\frac{2u_n+v_n}{u_n}}{\frac{u_n+v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}.
\end{align*}

Donc:
\[
\boxed{r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}}
\]

\item La valeur de $n$ renvoyée par le programme correspond à la première valeur de $n$ pour laquelle:
\[
|r-\sqrt2|\leqslant10^{-4}.
\]
Cela signifie que $r_5$ est une valeur approchée de $\sqrt2$ à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%%

\bigskip

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exocor}{des \og vrai/faux \fg{} issus de différents sujets}[2]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée.\\Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}
\begin{enumerate}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par: 
\[
v_n=\dfrac{n}{2+\cos(n)}.
\]

\textbf{Affirmation:} la suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

\item La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
u_n=\dfrac{1+5^n}{2+3^n}.
\]

\textbf{Affirmation:} la suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$.

\item On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par:
\[
u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n.
\]

\textbf{Affirmation:} la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.

\item On considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation précédente.

\textbf{Affirmation:} l'instruction \texttt{suite(50)} ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

\begin{python}
def suite(k):
    S = 0
    for i in range(k):
        S = S + (3/4)**k
    return S
\end{python}

\item \textbf{Affirmation:} toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.


\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $v_n=\dfrac{n}{2+\cos(n)}.$ Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \iff 2-1 \leqslant 2+\cos(n) \leqslant 2+1\\
& \iff 1 \leqslant 2+\cos(n) \leqslant 3\\
& \iff \dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2+\cos(n)} \leqslant 1\\
& \iff \dfrac{n}{3} \leqslant \dfrac{n}{2+\cos(n)} \leqslant n\quad(n\geqslant0).
\end{align*}
Ainsi, $v_n \geqslant \dfrac{n}{3}$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{n}{3}\right)}=+\infty$ donc, d'après le théorème de minoration, $\limite{n}{+\infty}{(v_n)}=+\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & = \dfrac{1+5^n}{2+3^n}\\
    & = \dfrac{5^n\left(1+\dfrac{1}{5^n}\right)}{3^n\left( 1 + \dfrac{2}{3^n} \right)}\\
    & = \left( \dfrac{5}{3} \right)^n \times \dfrac{1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{1+2\times\left( \dfrac{1}{3} \right)^n}.
\end{aligned}$

De plus,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{5}{3}>1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n}=+\infty$;

\item $0 < \dfrac{1}{5} < 1$ et $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n} = \limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme, produit et quotient des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=+\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item $u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}} = 4\left[ 1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1} \right]$.

Or, $0<\dfrac{3}{4}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=4\times(1-0)=4$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item Dans le programme donné, la première valeur de \texttt{i} est 0 (car cette variable varie de 0 à $k-1$).

Ainsi, lors du premier passage dans la boucle, $S$ devient $S + (3/4)^0 = 0+1 = 1$; c'est le terme $u_0$.

Lors du deuxième passage dans la boucle, $S$ devient $S+(3/4)^1 = 1 + 3/4=u_1$.

Mais la dernière valeur de \texttt{i} étant $k-1$, la variable \texttt{S} contiendra $1 + (3/4) + \cdots + (3/4)^{k-1}=u_{k-1}$.

Donc l'instruction \texttt{suite(50)} renvoie $u_{49}$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\item Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.

Elle est bien minorée par 0 car $u_n > 1$, donc $u_n>0$.

De plus, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}<0$ donc $(u_n)$ est décroissante.

Cependant, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n+1}\right)}=0$ donc, par somme des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=1$, ce qui contredit l'affirmation.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{des \og vrai/faux \fg{} issus de différents sujets}[2]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée.\\Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}
\begin{enumerate}
\item On considère une suite $(u_n)$ définie sur \N telle que, pour tout entier $n$, on a:
\[
u_n \leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}.
\]
\textbf{Affirmation:} $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=-\infty$.

\item On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

\begin{python}
def terme(N) :
    U = 1
    for i in range(N):
        U = U+i
    return U
\end{python}

\textbf{Affirmation:} \texttt{terme(4)} renvoie la valeur 7.

\item Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante:
\[
\dfrac{1}{2} < u_n \leqslant \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}.
\]
\textbf{Affirmation:} $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{1}{2}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$, telles que, pour tout entier naturel $n$:
\[
u_n \leqslant v_n \leqslant w_n.
\]
De plus, la suite $(u_n)$ converge vers $-1$ et la suite $(w_n)$ converge vers 1.

\medskip

\textbf{Affirmation:} la suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[-1;1]$.

\item On suppose de plus que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(w_n)$ est décroissante.

\medskip

\textbf{Affirmation:} pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0$.
\end{enumerate}

\item On considère une suite $(S_n)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[
3n-4 \leqslant S_n \leqslant 3n+4.
\]
La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[
u_n=\dfrac{S_n}{n}.
\]
\textbf{Affirmation:} la suite $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{-9^n+3^n}{7^n} & = \dfrac{9^n\left(-1+\dfrac{3^n}{9^n}\right)}{7^n}\\
& = \left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left( -1 + \left(\dfrac{3}{9}\right)^n \right)\\
& = \left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left( -1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \right).
\end{aligned}$

Or, 
\begin{itemize}
\item $\dfrac{9}{7}>1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{9}{7}\right)^n}=+\infty$;
\item $0<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme et produit de limites, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}  \right)} = -\infty$.

Or, $u_n \leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$ donc, d'après le théorème de majoration, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=-\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item La variable \texttt{i} prend ses valeurs entre 0 et 3 inclus. Donc l'instruction \texttt{U = U+i} donnera:
\begin{itemize}
\item Avant d'entrer dans la boucle, $U=1$;
\item Pour $i=0$, $U=U+i=1+0=1$;
\item Pour $i=1$, $U=U+i=1+1=2$;
\item Pour $i=2$, $U=2+i=2+2=4$;
\item Pour $i=3$, $U=4+i=4+3=7$.
\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1} & = \dfrac{n^2\left(3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left( 6 + \dfrac{1}{n^2}\right)}\\
& = \dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6 + \dfrac{1}{n^2}}.
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $k>0$, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n^k}\right)}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6 + \dfrac{1}{n^2}} \right)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

De plus, $\dfrac{1}{2} < u_n \leqslant \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item
\begin{enumerate}
\item Posons $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$, $v_n=(-1)^n$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.

Alors,
\begin{itemize}
\item pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$,
\item $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=-1$, 
\item  $\limite{n}{+\infty}{(w_n)}=1$.
\end{itemize}
Cependant, $(v_n)$ n'a pas de limite.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item $(u_n)$ est croissante donc, pour tout entier naturel $n$, $u_0 \leqslant u_n$.

$(w_n)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, $w_n \leqslant w_0$.

On a alors:
\[
u_0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant w_n \leqslant w_0.
\]
\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
3n-4 \leqslant S_n \leqslant 3n+4 & \iff \dfrac{3n-4}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n} \leqslant \dfrac{3n+4}{n}\\
& \iff 3 - \dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{4}{n}.
\end{aligned}$

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4}{n}}=0$ donc $u_n$ est encadré par deux termes de limite égale à 3.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers 3.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{exocor}{des \og vrai/faux \fg{} issus de différents sujets}[2]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée.\\Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par:
\[
\begin{cases}
v_1 = 2\\
v_{n+1} = 2-\dfrac{1}{v_n}.
\end{cases}
\]
\textbf{Affirmation:} pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{n+1}{n}$.

\item On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.
\begin{python}
def seuil(S) :
    n = 0
    u = 7
    while u < S :
        n = n + 1
        u = 1.05*u + 3
    return(n)
\end{python}
\textbf{Affirmation:} l'instruction \texttt{seuil(100)} renvoie la valeur 18.

\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=10\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2.
\end{cases}
\]
\textbf{Affirmation:} la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0.

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le calcul des 2 ou 3 premiers termes de la suite laisse à penser que l'affirmation est vraie. On peut alors tenter de démontrer cela par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=1$, $\dfrac{n+1}{n}=2=u_1$ donc l'égalité est vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé, $v_k=\dfrac{k+1}{k}$.

Alors, d'après la relation de récurrence de $(v_n)$,
\begin{align*}
v_{k+1} & = 2-\dfrac{1}{v_k}\\
& = 2-\dfrac{k}{k+1}\\
& = \dfrac{2(k+1)-k}{k+1}\\
& = \dfrac{k+2}{k+1}\\
& = \dfrac{(k+1)+1}{(k+1)}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

L'égalité est vraie pour tout entier naturel $n$, et donc \textbf{l'affirmation est vraie.}
\end{itemize}

\newpage

\item Le programme renvoie la première valeur de $n$ pour laquelle le terme $u_n$ la suite définie par:
\[
\begin{cases}
u_0=7\\
u_{n+1}=1,05u_n+3
\end{cases}
\]
est supérieur ou égal à 100.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice pour calculer les premiers termes de cette suite et regarder le premier indice pour lequel $u_n\geqslant100$. Ce tableau de valeurs donne:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \rowcolor{corrigenumbg}
\color{white}$n$ & \color{white}$u_n$\\ \hline
1 & 10.350000000000001 \\ \hline
2 & 13.867500000000001 \\ \hline
3 & 17.560875000000003 \\ \hline
4 & 21.438918750000003 \\ \hline
5 & 25.510864687500003 \\ \hline
6 & 29.786407921875004 \\ \hline
7 & 34.275728317968756 \\ \hline
8 & 38.989514733867196 \\ \hline
9 & 43.938990470560555 \\ \hline
10 & 49.13593999408858 \\ \hline
11 & 54.59273699379301 \\ \hline
12 & 60.322373843482666 \\ \hline
13 & 66.3384925356568 \\ \hline
14 & 72.65541716243965 \\ \hline
15 & 79.28818802056163 \\ \hline
16 & 86.25259742158971 \\ \hline
17 & 93.5652272926692 \\ \hline
18 & 101.24348865730268 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On voit alors que le premier terme tel que $u_n \geqslant100$ est $u_{18}$.

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item Posons $(P_n)$ : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

Montrons qu'elle est vraie pour $n\in\N$ par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=10$ et $u_1=\dfrac{1}{3}\times10+2=\dfrac{16}{3}\approx5,33$.

Alors, $0 \leqslant u_1 \leqslant u_0$. $(P_0)$ est alors vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k\geqslant0$ fixé, $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$. Alors,
\begin{align*}
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k & \Longrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{3} u_{k+1} \leqslant \dfrac{1}{3} u_k\quad\text{car }\dfrac{1}{3}>0\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{3} u_{k+1}+2 \leqslant \dfrac{1}{3} u_k+2\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

$(P_0)$ est vraie et la propriété est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $(P_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}

\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{Amérique du Nord, sujet 2 de secours}[2]
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=0\\
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}
\end{array}\right.\]

\partie{A: conjecture}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous.  
\begin{center}
\begin{tabular}{|c*{6}{|c}|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ &  &  &  \\ [6pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B : étude d'une suite auxiliaire}

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par: $w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $w_{0}$.
\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\quad$ u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{C : étude de la suite \boldmath$\left(u_{n}\right)$\unboldmath}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A: conjecture}

\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant: 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c*{6}{|c}|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{5}{32}$ \\ [7pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\item En dressant un tableau de valeurs de la suite $(u_n)$, on constate qu'elle semble décroissante et que ses termes semblent se rapprocher de 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B : étude d'une suite auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item $w_{0} = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times 0 = \dfrac{1}{2}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
	w_{n+1} &= u_{(n+1) + 1} - \dfrac{1}{2} u_{(n+1)} \quad \text{(définition de $w$ au rang }n+1)\\
	&= u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
	&=\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\right)	- \dfrac{1}{2}u_{n+1}\quad\text{(relation de récurrence de }(u_n)). \\
	&=\dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\right) \\
	&=\dfrac{1}{2}w_n\quad \text{(définition de $w$ au rang }n).
\end{align*}
Ainsi, $\forall n \in \N,\quad w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n$.

Cela prouve que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{2}$.

\item La suite $(w_n)$ est géométrique, donc d'après le cours:
\begin{align*}
\forall n \in \N,\quad w_n & = w_0 \times q^n\\
                           & = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
                           & = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
\end{align*}

\item Soit $n$ un entier naturel. D'après l'énoncé, 
\begin{align*}
w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n & \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\\
	&\iff u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}.
\end{align*}

\newpage

\item Pour tout $n$ entier naturel, posons: 
\[
P_n \quad : \quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:}  $u_0 = 0$ et $0\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 0\times 1 = 0$.

$P_0$ est donc vraie.

\item \textbf{Hérédité:} pour un entier naturel $k$ donné, on suppose que la propriété $P_k$ est vraie, c'est-à-dire : $u_k = k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$. Alors,
\begin{align*}
u_{k+1} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}u_k \quad \text{(relation de récurrence de la question B. 4)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}\times k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\quad\text{(par hypothèse de récurrence)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\times\big(1 +k\big)\\
u_{k+1}&=(k+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}.
\end{align*}
Ainsi, l'hérédité est vérifiée.

\item \textbf{Conclusion:} $P_0$ est vraie, et, pour un entier naturel $k$ fixé, $P_k \text{vraie} \Rightarrow P_{k+1}$ vraie. Ainsi, d'après le principe de récurrence,
\[
\forall n \in \N,\quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}

\partie{C: étude de la suite \boldmath$(u_{n})$\unboldmath}

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
\begin{align*}
u_{n+1} - u_n &= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\quad \text{(question B. 5.)}\\
	&= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times 2\\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big((n+1) -2n \big) \\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big(1-n\big).
\end{align*}
Or,
\begin{itemize}
\item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ est positif strictement;
\item $(1 - n) \leqslant 0$ car $n\geqslant1$.
\end{itemize}
Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ pour tout entier naturel $n\geqslant1$.  On en déduit alors que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $n=1$.

\item L'expression de $u_n$ permet de dire que la suite $(u_n)$ est minorée par 0, car pour tout entier naturel $n$, $n\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geqslant 0$.

De plus, la suite est décroissante à partir du rang $n= 1$ d'après la question précédente.

La suite est donc décroissante (à partir du rang $n=1$) et minorée par 0. Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.

\item On admet ici que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Résolvons cette équation :
\begin{align*}
	\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell
	&\iff \ell = \dfrac{3}{4}\ell\\
	&\iff \ell - \dfrac{3}{4}\ell = 0\\
	&\iff \dfrac{1}{4}\ell = 0\\
	&\iff \ell = 0\quad \text{car } \dfrac{1}{4}\neq 0.
\end{align*}
Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers 0.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%

\corriges

