\chapter[Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale]{Succession d'épreuves\\indépendantes et loi binomiale}

\pagestyle{coursstyle}

\section{\mbox{Succession d'épreuves indépendantes}}

\subsection{\'Epreuve de Bernoulli}

\begin{defin}
Une \textit{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire où seules 2 issues sont possibles : le \textit{succès} (S) et l'\textit{échec} (\evcont{S}).
\end{defin}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
\node (S) at (2,1) {$S$};
\node (SB) at (2,-1) {$\evcont{S}$};
\draw[courbe] (O.east) -- (S.west);
\draw[courbe] (O.east) -- (SB.west);
\draw[->,>=latex] (S.east) -- ($(S.east)+(1,0)$) node[right] {Succès};
\draw[->,>=latex] (SB.east) -- ($(SB.east)+(1,0)$) node[right] {Echec};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Sur une chaîne de production de smartphones, on en choisit un au hasard. L'épreuve consistant à regarder s'il est défectueux est une épreuve de Bernoulli: il est défectueux (S) ou non défectueux (\evcont{S}).
\item Dans une trousse, on choisit au hasard un stylo. L'épreuve consistant à regarder s'il est rouge est une épreuve de Bernoulli : soit il l'est (S), soit il ne l'est pas (\evcont{S}).
\end{enumerate}
\end{exemple}


\subsection{Schéma de Bernoulli}

\begin{defin}
On répète $n$ fois une même épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions (on dit : \textit{de façon indépendante}). Cette succession d'épreuves est appelée un \textbf{schéma de Bernoulli}.
\end{defin}

On représente un schéma de Bernoulli de la manière suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, draw=black, very thick, rounded corners] (img) {
\begin{tikzpicture}[
			level 1/.style = { 
					level distance=2.5cm,
					sibling distance=3cm,
					color=courbe2},
			level 2/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=1.5cm,
					color=courbe},
			level 3/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=0.5cm,
					color=courbe3}]
\node {$\Omega$} [grow=right]
	child {
		node[black] {\evcont{S}}
			child {
				node[black] {\evcont{S}}
					child {
						node[black] {\evcont{S}}
					}
					child {
						node[black]{$S$}
					}
			}
			child {
				node[black] {$S$}
					child {
						node[black]{\evcont{S}}
					}
					child {
						node[black]{$S$}
					}
			}
	}
	child {
		node[black] {$S$}
			child {
				node[black] {\evcont{S}}
					child {
						node[black]{\evcont{S}}
					}
					child {
						node[black]{$S$}
					}
			}
			child {
				node[black] {$S$}
					child {
						node[black]{\evcont{S}}
					}
					child {
						node[black]{$S$}
					}
			}
	};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}

\textit{Exemple de 3 successions d'épreuves de Bernoulli}
\end{center}

\section{Loi Binomiale}

\subsection{Loi de Bernoulli}

\begin{defin}
On considère une épreuve de Bernoulli dont le succès est de probabilité $p$.

On note $X$ la variable aléatoire représentant l'issue de cette épreuve: $X(\Omega) = \{ 0 ; 1 \}$.

La loi de probabilité de $X$ est appelée \textit{loi de Bernoulli} et est donnée par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{defin!60!black}\color{white}}Sl|Sc|Sc|}
\hline
$X = k$ & 0 & 1\\
\hline
$P(X = k)$  & $1-p$ & $p$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{defin}


\begin{rem}
L'épreuve de Bernoulli et la loi de Bernoulli tirent leur nom du mathématicien Jacques Bernoulli (1654 -- 1705).
\end{rem}

\subsection{Loi binomiale}

\begin{defin}
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est $p$. On répète $n$ fois de façon indépendante cette épreuve, et on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves. 

On dit que la loi de probabilité de $X$ est la \textbf{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$, et on note $X \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{n}{p}$.
\end{defin}

À l'issue de ces $n$ épreuves, $X$ peut valoir 0, 1, 2, ... jusqu'à $n$:
\[
X(\Omega) = \{ 0;1;2;\cdots; n-1; n\}
\]

\begin{prop}[nombre de chemins à k succès]
Si on répète $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli alors il y a $\dbinom{n}{k}$ chemins comportant exactement $k$ succès.
\end{prop}

En effet, on regarde combien de \og mots \fg{} de $n$ lettres (prises dans l'alphabet \{S;\evcont{S}\}) comportent exactement $k$ lettres \og S \fg{} : l'ordre compte et les lettres peuvent se répéter. Il s'agit donc d'une combinaison, d'où un nombre égal à $\dbinom{n}{k}$.


\begin{prop}[formule de Bernoulli]
Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{n}{p}$.

Alors, pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, 
\[
\probavar{X}{k}=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
\end{prop}

Dans la pratique, les calculatrices permettent de donner une valeur approchée de \probavar{X}{k} très facilement.

\newpage

Par exemple, sur la Numworks, pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{30}{0,12}$:

\bigskip

\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-01.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-02.png}

\medskip

\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-03.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-04.png}
\enlargethispage*{2cm}


En cliquant sur \og Suivant \fg{}, on peut calculer par exemple:

\begin{itemize}
\item $\probavar[\leqslant]{X}{5}$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-05.png}
\end{center}
\end{itemize}

\newpage

Mais en bougeant le curseur vers la gauche et en cliquant sur l'icône, puis en descendant tout en bas:

\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-06.png}
\end{center}

\begin{itemize}
\item on peut calculer par exemple $\probavar{X}{5}$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-07.png}
\end{center}

\item En sélectionnant, parmi les choix proposés en cliquant sur l'icône à gauche, le deuxième en partant du haut, on peut calculer par exemple $P(3 \leqslant X \leqslant 6)$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-08.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{numworks-09.png}
\end{center}
\end{itemize}

\newpage

\begin{prop}[espérance, variance et écart-type]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{n}{p}$. Alors,
\begin{itemize}
\item son espérance mathématique est : 
\[
\esp{X}=n \times p;
\]
\item sa variance mathématique est : 
\[
\var{X}= n \times p \times (1-p);
\]

\item son écart-type est : 
\[
\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)}.
\]
\end{itemize}
\end{prop}


\begin{exemple}
Dans une urne, il y a 7 boules bleues et 3 rouges.

On choisit au hasard une boule de cette urne puis on la remet, et on répète cette expérience 10 fois de façon indépendante.

La probabilité de choisir une boule bleue lors d'un tirage est $p = 0,7$.

Si $X$ représente le nombre de boules bleues obtenues à l'issue de ces 10 tirages au sort, alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$ et son espérance est :
\[
E(X) = 10 \times 0,7 = 7.
\]
\end{exemple}

\subsection{Simulation de la planche de Galton en Python}

Je vous encourage à regarder la page de mon site :
\begin{center}
\url{https://www.mathweb.fr/euclide/simulation-de-la-planche-de-galton-en-python/}
\end{center}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotype
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{reconnaître une succession d'épreuves indépendantes}{}
On dispose d'une urne contenant 10 boules indiscernables au toucher: 7 rouges et 3 jaunes.

On effectue un tirage aléatoire de 5 boules de cette urne, et on regarde leur couleur.

Parmi les méthodes suivantes, quelle est celle qui correspond à une succession d'épreuves indépendantes ?
\begin{itemize}
\item Méthode A: on tire 5 boules simultanément.
\item Méthode B: on tire 5 boules les unes après les autres sans les remettre.
\item Méthode C: on tire 5 boules les unes après les autres en les remettant au fur et à mesure.
\end{itemize}

\tcblower

Il s'agit de la méthode C: en effet, en choisissant une boule et en la remettant, on conserve l'univers (constitué des 10 boules de l'urne).

L'épreuve de Bernoulli qui est répétée 5 fois de manière indépendante est ici:
\begin{center}
\og On tire une boule de l'urne et on regarde sa couleur. \fg{} 
\end{center}

\end{exercicetype}

%%%

\begin{exercicetype}{justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale}{}
On dispose d'une urne contenant 10 boules indiscernables au toucher: 7 rouges et 3 jaunes.

On effectue un tirage aléatoire avec remise de 5 boules de cette urne, et on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules jaunes obtenues à l'issue de cette expérience.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$?
\item Calculer $P(X=3)$.
\item Calculer $P(X \geqslant 1)$.
\item Dans cette question, on tire $n$ boules (et non plus 5).

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,999$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'expérience consistant à tirer une boule au hasard dans l'urne est une expérience de Bernoulli (deux issues: la boule est jaune ou elle ne l'est pas) dont la probabilité d'un succès est $p=\dfrac{3}{10}$ (car il y a 3 boules jaunes sur les 10 boules de l'urne).

Elle est répétée de manière indépendante donc l'expérience globale est un schéma de Bernoulli. 

Ainsi, la variable aléatoire $X$ représentant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,3$.

\item $P(X=3) = \dbinom{5}{3} \times 0,3^3 \times (1-0,3)^{5-3} = \numprint{0,1323}$.

\item $P(X \geqslant 1) = 1-P(X<1) = 1-P(X=0) = 1-(1-0,3)^5 = 1-0,7^5 = \numprint{0,83193}$.

\item $P(X \geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1-0,7^n$.

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
P(X \geqslant 1) \geqslant 0,999 & \iff 1-0,7^n \geqslant 0,999\\
& \iff 0,7^n \leqslant 0,001\\
& \iff \ln\big(0,7^n\big) \leqslant \ln(0,001)\\
& \iff n \times \ln(0,7) \leqslant \ln(0,001)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,7)}\text{ (car $0<0,7<1$ donc $\ln(0,7)<0$)}\\
& \iff n \geqslant 19,36.
\end{aligned}$

Le premier entier $n$ tel que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,999$ est donc $n=20$.
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercices
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%

\begin{exocor}{QCM}[1]
Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi les propositions faites.
\begin{enumerate}
\item L'espérance mathématique de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,2$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $0,02$ 
\item $0,2$ 
\item $2$
\item $20$
\end{multicols}
\end{enumerate}


\item La variance de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,15$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $3$ 
\item $2,55$ 
\item $17$ 
\item $0,1275$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Réponse \textbf{(c)}. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $E(X)=np$. 

Donc ici, $E(X)=10\times0,2=2$.

\item Réponse \textbf{(b)}. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $V(X)=np(1-p)$. 

Donc ici, $V(X)=20\times0,15\times(1-0,15)=2,55$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%

\begin{exocor}{tirage dans une urne}[1]
Une urne contient 3 boules bleues et 7 boules vertes. On tire successivement au hasard et de façon indépendante 5 boules de cette urne en les remettant dans l'urne après avoir regardé leur couleur.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules bleues tirées à la fin de cette expérience.

\begin{enumerate}
\item Décrire $X$ (donner la valeurs possibles de X).
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer alors :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item \probavar{X}{0}
\item \probavar{X}{3}
\item \probavar[\geqslant]{X}{1}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\text{X}=\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\,;5\}$. En effet, sur 5 tirages successifs avec remise de la boule tirée, on peut n'avoir aucune boule bleue comme en avoir 1, 2, 3, 4 ou 5.

\item L'expérience consistant à choisir au hasard une boule de l'urne est une épreuve de Bernoulli dont le succès est S : \og avoir une boule bleue \fg, dont la probabilité est $p=\dfrac{3}{10}=0,3$.

Ainsi, si l'on répète de façon indépendante 5 fois cette expérience, cela constitue un schéma de Bernoulli ; ainsi, la variable aléatoire représentant le nombre de succès obtenus à l'issue de ce schéma suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{5}{0,3}$.

\item $\text{X}\hookrightarrow\mathcal{B}\coord{5}{0,3}$ donc $\probavar{X}{k}=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, avec $p=0,3$. Ainsi :
\begin{enumerate}
\item $\probavar{X}{0}=\dbinom{5}{0}\times 0,3^0\times(1-0,3)^{5-0}=1\times1\times0,7^5=\numprint{0,16807}$.
\item $\probavar{X}{3}=\dbinom{5}{3}\times0,3^3\times0,7^2=\numprint{0,1323}$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{1}=1-\probavar[<]{X}{1}=1-\probavar{X}{0}=1-\numprint{0,16807}=\numprint{0,83193}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{au tennis}[1]
Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu'Alain gagne une rencontre est 0,6. Ils décident de jouer trois matches dans l'année (les résultats des matches sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s'offrir un repas en fin d'année. À la fin de chaque match, le perdant versera 20 \euro.

Benjamin s'interroge sur sa dépense éventuelle en fin d'année.

On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de matches gagnés par Benjamin et D la variable aléatoire
correspondant à la dépense de Benjamin.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de X ? Exprimer D en fonction de X et en déduire les valeurs possibles de D.

\item Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense 40 \euro{} est 0,432.

\item Calculer l'espérance de dépense en fin d'année de Benjamin. 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\text{X}=\{0\,;1\,;2\,;3\}$.

$\text{D} = 20(3-\text{X})$ donc $\text{D}=\{0\,;20\,;40\,;60 \}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\probavar{D}{40} & = \probavar{60-20X}{40}\\
& = \probavar{-20X}{-20}\\
& = \probavar{X}{1}\\
& = \dbinom{3}{1}\times0,4^1\times0,6^2\\
& = 0,432.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\esp{D} & =\esp{60-20X}\\
& =60-20\esp{X}\text{ par linéarité de l'espérance}\\
& =60-20\times(3\times0,4)\\
& = 36.
\end{aligned}$

Benjamin peut donc s'attendre à dépenser en moyenne 36 \euro{} par an.
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{jeu radiodiffusé}[1]
Lors d'un jeu radiodiffusé, on estime que le candidat, quelle que soit la question posée, a deux chances sur trois de donner la bonne réponse. Il gagne 50~euros par réponse exacte.

L'animateur du jeu lui pose successivement cinq questions.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le candidat ait cinq bonnes réponses.
\item Quelle est la probabilité que le candidat gagne 250 euros ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes au bout des cinq questions. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui compte le gain total du joueur.
\item Calculer l'espérance de gain du joueur.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le jeu est une succession de 5 expériences identiques et indépendantes.

\og Donner cinq bonnes réponses \fg{} correspond à la liste de cinq résultats \og Donner la bonne réponse \fg, et a donc pour probabilité:
\[
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5\strut}= \dfrac{32}{243}.
\]

\item Le candidat gagne 250 euros lorsqu'il a cinq bonnes réponses, donc la probabilité qu'il gagne 250 euros est:
\[
\dfrac{32}{243}.
\]

\item Chaque question correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Donner la bonne réponse \fg, et a pour probabilité $\dfrac{2}{3}$. 

Comme il y a 5 répétitions indépendantes, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5~; \dfrac{2}{3}\right)$.

\item Comme chaque réponse exacte fait gagner 50 euros, si on note $y_i$ les valeurs prises par $Y$, on a $y_i=50 x_i$. Connaissant la loi de $X$, on en déduit la loi de $Y$ dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|>{\columncolor{corrigepage}\color{corrigenumbg}\raggedleft\arraybackslash}m{15mm}|*6{>{\centering\arraybackslash}S{m{9mm}}|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4&5\\
\hline
$y_i$&0&50&100&150&200&250\\
\hline
$P(X~=~x_i)$ $P(Y~=~y_i)$&$\dbinom{5}{0}\dfrac{1}{3^5}$&$\dbinom{5}{1}\dfrac{2}{3^5}$&$\dbinom{5}{2}\dfrac{2^2}{3^5}$&$\dbinom{5}{3}\dfrac{2^3}{3^5}$&$\dbinom{5}{4}\dfrac{2^4}{3^5}$&$\dbinom{5}{5}\dfrac{2^5}{3^5}$\\
\hline
Valeurs\linebreak approchées&0,004 &0,041 &0,165 & 0,329& 0,329&0,132 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour calculer l'espérance de $Y$, on peut prendre les valeurs numériques du tableau et appliquer la formule, mais il est plus rapide de constater que comme $y_i=50x_i$, alors :
\[ p_1y_1+\cdots+p_5y_5=50(p_1x_1+\cdots+p_5x_5)=50 E(X).\]
Or, on sait que si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, son espérance vaut $np$. Par conséquent,
\[
E(Y)=50 \times 5\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{500}{3}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{lancers d'une pièce}[1]
Un joueur lance trois fois de suite une pièce équilibrée. Chaque fois que le joueur obtient Face, il gagne 2 points, sinon il perd 1 point.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$.

\tcblower

Le lancer d'une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,5$ dont le succès est \og Obtenir Face \fg. Si on répète le lancer trois fois, de façon indépendantes, la variable $Y$ qui donne le nombre de fois $y_i$ où Face est obtenu suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,5)$.

\medskip

En notant $x_i$ les valeurs de la variable aléatoire $X$, on peut dresser le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{corrigepage}\color{corrigenumbg}}l|*4{Sc|}}
\hline
$y_i$&0&1&2&3\\
\hline
$P(Y=y_i)$&$ \dbinom{3}{0}0,5^3$&$\dbinom{3}{1}0,5^3$&$\dbinom{3}{2}0,5^3$&$\dbinom{3}{3}0,5^3$\\
\hline
$x_i$&$-3$&0&3&6\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,125$&$0,375$&$0,375$&$0,125$\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
 
L'espérance de $X$ est donc : 
\[
E(X)=-3\times 0,125+3\times 0,375+6\times 0,125=1,5.
\]
\end{exocor}

%%% 2026

\begin{exocor}{quel drone choisir ?}[1]
Un drone A est muni de deux moteurs et un drone B est doté de quatre moteurs. Chaque moteur a la probabilité $p$ de tomber en panne. Les pannes surviennent de façon indépendante.

Chaque drone arrive à destination si et seulement si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne.

Quel drone doit-on choisir (en fonction de la valeur de $p$)?

\tcblower

Le nombre de pannes $X_{\{A/B\}}$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale car \og les pannes surviennent de façon indépendante \fg.

\begin{itemize}
\item \textbf{Drone A:} $X_A \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{2}{p}$ (car il y a 2 moteurs).

La probabilité qu'il y ait strictement moins de la moitié de ses moteurs qui tombe en panne est:
\[
P_A=P(X_A=0)=(1-p)^2.
\]

\item \textbf{Drone B:} $X_B \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{4}{p}$ (car il y a 4 moteurs).

La probabilité qu'il y ait strictement moins de la moitié de ses moteurs qui tombe en panne est:
\[
P_B=P(X_A\leqslant1)=P(X_B=0)+P(X_B=1)=(1-p)^4 + 4p(1-p)^3 = (1-p)^3(1+3p).
\]
\end{itemize}
Ainsi,
\begin{align*}
P_B-P_A & = (1-p)^3(1+3p) - (1-p)^2\\
& = (1-p)^2\big[(1-p)(1+3p)-1\big]\\
& = (1-p)^2p(2-3p).
\end{align*}
$P_B-P_A$ est du signe de $2-3p$ donc:
\begin{itemize}
\item $P_B-P_A>0 \iff p < \dfrac{2}{3}$, auquel cas le drone B doit être choisi;
\item $P_B-P_A<0 \iff p > \dfrac{2}{3}$, auquel cas le drone A doit être choisi;
\item si $p=\dfrac{2}{3}$, le choix du drone est indifférent.
\end{itemize}

\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{chaîne de fabrication}[1]
Le responsable de fabrication de l'usine ELECTOP est chargé de contrôler une chaîne de production fabriquant un composant électronique. Sur \numprint{10000} composants pris au hasard, il constate que 7 sont défectueux. Il suppose donc que la probabilité d'avoir un composant défectueux fabriqué par cette chaîne de production est égale à \numprint{0,0007}.

Le mois suivant, il choisit au hasard sur cette chaîne de production 20 composants.

On note X la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux.

\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer \probavar[\geqslant]{X}{2}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'expérience consistant à choisir au hasard un composant électronique est une épreuve de Bernoulli dont le succès est : \og le composant est défectueux \fg{} et donc la probabilité est $p=\numprint{0,0007}$.

Ainsi, répéter 20 fois de façon indépendante cette expérience constitue un schéma de Bernoulli et le nombre de succès obtenus est représenté par une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{20}{\numprint{0,0007}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\probavar[\geqslant]{X}{2} & = 1-\probavar[\leqslant]{X}{1}\\
& = 1-\big(\probavar{X}{0}+\probavar{X}{1}\big)\\
& = 1-\left[\dbinom{20}{0}\times\numprint{0,0007}^0\times(1-\numprint{0,0007})^{20}+\dbinom{20}{1}\times\numprint{0,0007}^1\times(1-\numprint{0,0007})^{19} \right]\\
& \approx 1-(\numprint{0,986092710141}+\numprint{0,0138149684199})\\
& \approx \numprint{0,00009}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage

%%%

\begin{exocor}{trajet à vélo}[2]
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3 km de son domicile à une vitesse supposée constante de 15 km/h.

Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est $\dfrac{2}{3}$.

\medskip

Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours et T la variable aléatoire égale au temps (en minute) mis par l'élève pour aller au lycée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilités de X.
\item Exprimer T en fonction de X.
\item Déterminer l'espérance mathématique \esp{T} de T et interpréter ce résultat.
\item L'élève part 17 minutes avant le début des cours.

Calculer la probabilité que l'élève soit en retard au lycée. 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item X suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{6}{\dfrac{2}{3}}$. En effet, l'expérience consistant à arriver à un feu tricolore et à regarder sa couleur est une épreuve de Bernoulli dont le succès est ici S : \og le feu est vert \fg{} et dont la probabilité est égale à $\dfrac{2}{3}$ d'après l'énoncé.

\item Sans feu tricolore, le temps nécessaire pour parcourir 3 km avec une vitesse de 15 km/h est $60\div5=12$ minutes (en effet, si on fait 15 km en 60 minutes, 3 km seront faits en $\frac{1}{5}$ de 60 minutes).

À ces 12 minutes, il faut ajouter 1,5 minute par feu rouge ou orange. La variable aléatoire représentant le nombre de feux rouges ou oranges est ($6-\text{X}$) donc :
\[
\text{T}=12+1,5(6-\text{X})\qquad\text{soit :}\qquad\text{T}=21-1,5\text{X}.
\]
\item D'après une propriété du cours, $\esp{T}=\esp{21$-$1,5X}=21-1,5\esp{X}$.

Or, $\esp{X}=6\times\dfrac{2}{3}=4$. Ainsi, $\esp{T}=21-1,5\times4$, soit $\esp{T}=15$.

L'élève peut donc s'attendre à arriver au lycée 15 minutes en moyenne après son départ.

\item On cherche \probavar[>]{T}{17}.
\begin{align*}
\probavar[>]{T}{17} & = \probavar[>]{21-1,5X}{17}\\
& = \probavar[>]{-1,5X}{17-21}\\
& = \probavar[>]{-1,5X}{-4}\\
& = \probavar[<]{X}{\dfrac{4}{1,5}}\\
& = \probavar[<]{X}{\dfrac{8}{3}}\\
& = \probavar[\leqslant]{X}{2}\quad\text{car X est un nombre entier}\\
& = \probavar{X}{0}+\probavar{X}{1}+\probavar{X}{2}\\&=\dfrac{73}{729}\approx0,1.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}



%%%

% proba cond et suites...
%\begin{exocor}{au basket-ball}[2]
%Un joueur de basket-ball effectue une succession de $n$ tirs en direction du panier. Les statistiques de ce joueur nous informent que:
%\begin{itemize}
%\item le 1\ier lancer est réussi avec une probabilité de 0,95;
%\item si un tir est réussi, le tir suivant est réussi avec une probabilité de 0,85;
%\item si un tir a échoué, le tir suivant est réussi avec une probabilité de 0,75.
%\end{itemize}
%
%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
%\begin{itemize}
%\item $A_n$ l'événement : \og le $n$-ième tir est réussi \fg{};
%\item $p_n$ la probabilité que le $n$-ième tir soit réussi.
%\end{itemize}
%On a donc $p_1=0,95$.
%\begin{enumerate}
%\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pour $n=2$, et vérifier que $p_2=0,845$.
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,1p_n+0,75$.
%\item On pose $u_n=p_n-\dfrac{5}{6}$.
%
%Montrer que $(u_n)$ est géométrique et en déduire une expression de $u_n$, puis de $p_n$, en fonction de $n$.
%
%\item Calculer $\limite{n}{+\infty}{(p_n)}$ et interpréter ce résultat.
%\end{enumerate}
%
%\tcblower
%
%\begin{enumerate}
%\item On peut représenter la situation pour $n=2$ avec l'arbre suivant:
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\node[fill = white, very thick, draw = black , rounded corners] (img) {
%\begin{tikzpicture}[scale=01, every node/.style={scale=1}]
%\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
%\node (A) at (3,2) {$A_1$};
%\node (Z) at (3,-2) {$\evcont{A_1}$};
%%
%\node (AB) at (7,3) {$A_2$};
%\node (ABB) at (7,1) {$\evcont{A_2}$};
%\node (ZB) at (7,-1) {$A_2$};
%\node (ZBB) at (7,-3) {$\evcont{A_2}$};
%%
%\draw[courbe2] (O.east) -- (A.west) node[midway,fill=white] {$p_1=0,95$};
%\draw[courbe2] (O.east) -- (Z.west) node[midway,fill=white] {$1-p_1=0,05$};
%\draw[courbe] (A.east) -- (AB.west) node[midway,fill=white] {$0,85$};
%\draw[courbe] (A.east) -- (ABB.west) node[midway,fill=white] {$0,15$};
%%
%\draw[courbe] (Z.east) -- (ZB.west) node[midway,fill=white] {$0,75$};
%\draw[courbe] (Z.east) -- (ZBB.west) node[midway,fill=white] {$1-0,75=0,25$};
%\end{tikzpicture}};
%\drawshadow{img}{black}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%
%Ainsi, 
%\begin{align*}
%p_2 & = 0,95\times0,85 + 0,05\times0,75\\
%\Aboxed{p_2 & = 0,845}
%\end{align*}
%
%\item Sur le même modèle, quel que soit l'entier naturel $n$ non nul,
%\begin{align*}
%p_{n+1} & = 0,85p_n + 0,75(1-p_n)\\
%\Aboxed{p_{n+1} & = 0,1p_n+0,75}
%\end{align*}
%
%\item $\begin{aligned}[t]
%u_{n+1} & = p_{n+1}-\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{10}p_n + \dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}\\
%& = \dfrac{1}{10}p_n - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{10}\left(p_n - \dfrac{1}{12}\times\dfrac{10}{1}\right)\\
%& = \dfrac{1}{10}\underbrace{\left(p_n-\dfrac{5}{6}\right)}_{=u_n} = 0,1u_n.
%\end{aligned}$
%
%Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,1$ et de premier terme:
%\[
%u_1=p_1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{95}{100}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{7}{60}.
%\]
%On en déduit alors que $u_n=u_1\times q^{n-1} = \dfrac{7}{60}\times0,1^{n-1}$ et donc:
%\begin{align*}
%u_n=p_n-\dfrac{5}{6} & \iff p_n = u_n+\dfrac{5}{6}\\
%& \iff \boxed{p_n=\dfrac{7}{60}\times0,1^{n-1}+\dfrac{5}{6}}
%\end{align*}
%
%\item On déduit que $\limite{n}{+\infty}{(p_n)}=\dfrac{5}{6}$. Ainsi, à longs termes, le joueur réussira 5 tirs sur 6.
%\end{enumerate}
%\end{exocor}
%


%%%

\begin{exocor}{dans un hôpital}[2]
Dans un hôpital, lors d'une pandémie d'une maladie appelée \og STAS-3 \fg, \pourcent{63} des patients qui arrivent aux urgences présentent les symptômes de cette maladie, dont \pourcent{78} sont réellement atteints par la STAS-3.

Parmi les autres patients, \pourcent{7} s'avèrent atteints de cette maladie.

\medskip

On choisit au hasard parmi tous les patients du service des urgences une personne. 

On note:
\begin{itemize}
\item S l'événement: \og la personne choisie présente des symptômes de la STAS-3 \fg,
\item M l'événement:  \og la personne est réellement atteinte de la STAS-3 \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités représentant cette situation.
\item Quelle est la probabilité que la personne choisie présente des symptômes de la STAS-3 et soit réellement atteinte de cette maladie ?
\item Montrer que la probabilité que la personne choisie soit réellement atteinte de la STAS-3 est égale à 0,5173.
\item La personne choisie n'est pas atteinte de la STAS-3. Quelle est la probabilité qu'elle ait présenté des symptômes lors de son arrivée aux urgences.
\end{enumerate}

L'hôpital reçoit 100 \euro{} de prime pour chaque patient atteint de la STAS-3 en plus de \numprint{100000} \euro{} de forfait pour faire face à cette pandémie. On choisit au hasard 20 personnes aux urgences. Il y a tellement de personnes que l'on peut assimiler ceci à un tirage aléatoire avec remise. On note :
\begin{itemize}
\item X la variable aléatoire représentant le nombre de personnes réellement atteintes par la STAS-3,
\item G la variable aléatoire qui représente la prime gagnée par l'hôpital.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[start=5]
\item Quelle est la loi de probabilité de X ?
\item Exprimer G en fonction de X. Calculer alors la prime moyenne que pourrait recevoir l'hôpital sur ces 20 patients.
\item Calculer $\probavar{X}{5}$, $\probavar[\leqslant]{X}{5}$ et $\probavar[\geqslant]{X}{10}$. On arrondira les résultats à $10^{-4}$ près.
\item Déterminer le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, very thick, draw = black , rounded corners] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
\node (A) at (3,2) {$S$};
\node (Z) at (3,-2) {$\evcont{S}$};
%
\node (AB) at (7,3) {$M$};
\node (ABB) at (7,1) {$\evcont{M}$};
\node (ZB) at (7,-1) {$M$};
\node (ZBB) at (7,-3) {$\evcont{M}$};
%
\draw[courbe2] (O.east) -- (A.west) node[midway,fill=white] {$0,63$};
\draw[courbe2] (O.east) -- (Z.west) node[midway,fill=white] {$0,37$};
\draw[courbe] (A.east) -- (AB.west) node[midway,fill=white] {$0,78$};
\draw[courbe] (A.east) -- (ABB.west) node[midway,fill=white] {$0,22$};
%
\draw[courbe] (Z.east) -- (ZB.west) node[midway,fill=white] {$0,07$};
\draw[courbe] (Z.east) -- (ZBB.west) node[midway,fill=white] {$0,93$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On nous demande ici de calculer $P(S \cap M)$:
\begin{align*}
P(S \cap M) & = P(S) \times \probacond{M}{S}\\
& = 0,63 \times 0,78\\
\Aboxed{P(S \cap M) & = 0,4914}
\end{align*}

\item On a :
\begin{align*}
P(M) & = P(S \cap M) + P(\evcont{S} \cap M)\\
& = 0,4914 + 0,37\times0,07\\
\Aboxed{P(M) = 0,5173}
\end{align*}

\underline{La probabilité pour que la personne choisie au hasard soit réellement atteinte de la STAS-3 est donc de 0,5173.}

\item $\begin{aligned}[t]
\probacond{S}{\evcont{M}} & = \dfrac{\proba{S \cap \evcont{M}}}{\proba{\evcont{M}}}\\
& = \dfrac{0,63 \times 0,22}{1-0,5173}\\
\Aboxed{\probacond{S}{\evcont{M}} & \approx 0,2871}
\end{aligned}$

\item L'épreuve consistant à regarder si une personne est réellement atteinte de la STAS-3 est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est 0,5173 (calculée à la question précédente).

On répète ici de manière indépendante 20 fois cette épreuve donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,5173$.

\item D'après l'énoncé, $G = \numprint{100000}+100X$. En effet, l'hôpital reçoit \numprint{100000} \euro{} quel que soit le nombre de personne atteinte de la STAS-3, auxquels s'ajoutent 100 \euro{} par personnes atteintes, soit $100X$ \euro.

\medskip

Par conséquent,
\begin{align*}
E(G) = & E(\numprint{100000}+100X)\\
& = \numprint{100000}+100E(X)\text{ (par linéarité de l'espérance mathématique)}\\
& = \numprint{100000}+100\times(20\times0,5173)\\
& = \numprint{101034,6}
\end{align*}

L'hôpital peut alors espérer recevoir \numprint{101034,60} \euro{} sur ces 20 personnes. 

\item À la calculatrice, on a :
\begin{itemize}
\item $\probavar{X}{5}\approx 0,0103$.
\item $\probavar[\leqslant]{X}{5}\approx 0,0141$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{10}\approx 0,6478$.
\end{itemize}

\item Pour déterminer le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$, on peut calculer pour commencer :
\[
\probavar[\leqslant]{X}{10} \approx 0,5263.
\]
On prend $k=10$ car il y a en tout 20 patients. On voit que la probabilité n'est pas supérieure à 0,95; on peut alors prendre $k=15$ (à mi-chemin entre 10 et 20):
\[
\probavar[\leqslant]{X}{15} \approx 0,9970 \geqslant 0,95.
\]
On prend alors $k=14$:
\[
\probavar[\leqslant]{X}{14} \approx 0,9703 \geqslant 0,95.
\]
On prend alors $k=13$:
\[
\probavar[\leqslant]{X}{13} \approx 0,9222 < 0,95.
\]
\underline{Le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$ est donc $k=14$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\newpage


\sectionnn{Approfondissements}

\begin{exocor}{avec une suite et une dérivée}[3]
Le jeu des petits chevaux nécessite un dé. Dans ce jeu, un joueur doit faire un \og 6 \fg{} pour sortir de son enclos et commencer la partie. Tant qu'il n'a pas fait de \og 6 \fg, il continue de lancer le dé (à tour de rôle avec les autres joueurs) jusqu'à ce qu'il en obtienne un.

\medskip

On note X la variable aléatoire représentant le nombre de lancers de dé jusqu'à obtention d'un \og 6 \fg.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un \og 6 \fg{} au premier lancer. En déduire \probavar{X}{1}.

\item Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un \og 6 \fg{} au second lancer. En déduire \probavar{X}{2}.

\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $k$, $\probavar{X}{k}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\times\dfrac{1}{6}$.

\item On pose $u_n=\probavar{X}{n}$. et $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\probavar{X}{k}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression simplifiée de $S_n$.
\item Montrer que $\limite{n}{+\infty}{S_n}=1$.
\end{enumerate}

\item On admet que l'espérance mathématique de X est $\esp{X}=\dfrac{1}{6}\limite{n}{+\infty}{\sum\limits_{k=1}^nk\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}}$.

On pose alors $f_k(x)=x^k$, où $k\in\N*$, et $F_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nf_k(x)$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_k'(x)$, la dérivée de $f_k(x)$, en fonction de $k$.
\item En déduire que $F_n'(x)=\dfrac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$ pour tout $x\neq1$.

On admettra que $\limite{n}{+\infty}{n\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$.
\item En déduire $\esp{X}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} au premier lancer est $\dfrac{1}{6}$ (en supposant que le dé est équilibré). Donc $\probavar{X}{1}=\dfrac{1}{6}$.

\item Obtenir un \og 6 \fg{} au second lancer sous-entend que l'on a obtenu une autre face que \og 6 \fg{} au premier lancer, de probabilité $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.

La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} au second lancer est donc égale à $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36}$.

Ainsi, $\probavar{X}{2}=\dfrac{5}{36}$.

\newpage

\item Obtenir un \og 6 \fg{} au $k$-ième lancer signifie avoir obtenu $(k-1)$ autres faces que \og 6 \fg{} avant, dont la probabilité est égale à $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}$.

Ainsi, $\probavar{X}{k}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\times\dfrac{1}{6}$.

\item
\begin{enumerate}
\item $u_n=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}\times\dfrac{1}{6}$.

Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\times\frac{1}{6}}{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\times\frac{1}{6}}\\
& = \dfrac{5}{6}.
\end{align*}

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{5}{6}$ et de premier terme $u_1=\dfrac{1}{6}$.

\item D'après le cours, la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est égale à : 
\begin{center}
1\ier{} terme $\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes dans la somme}}}{1-\text{raison}}$.
\end{center}
$S_n$ représente la somme des $n$ premiers termes de \suite{u}{n}{n\geqslant1} donc :
\begin{align*}
S_n & = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}{1-\frac{5}{6}}\\
& = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}{\frac{1}{6}}\\
\Aboxed{S_n & = 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}
\end{align*}

\item $0<\dfrac{5}{6}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{S_n}=1$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $f_k(x)=x^k$ donc $f_k'(x)=kx^{k-1}$.
\item $\begin{aligned}[t]
F_n(x) & =f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)\\
       & = x+x^2+x^3+\cdots+ x^n\\
       & = x\big(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}\big)\\
       & = x\times\dfrac{1-x^n}{1-x}\\
       & = \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}
\end{aligned}$ 

Donc $F_n'(x)=\left(\dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}\right)^\prime$.

$F_n(x)$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $F_n'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec :

$u(x)=x-x^{n+1}$ donc $u'(x)=1-(n+1)x^{n}$ ;

$v(x)=1-x$ donc $v'(x)=-1$.

On a alors :
\begin{align*}
F_n'(x) & = \dfrac{\big[1-(n+1)x^{n}\big](1-x)-(-1)\big(x-x^{n+1}\big)}{(1-x)^2}\\
& = \dfrac{1-(n+1)x^{n}-x+(n+1)x^{n+1}+x-x^{n+1}}{(1-x)^2}\\
\Aboxed{F_n'(x)& = \dfrac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
F_n'(x) & =f_1'(x)+f_2'(x)+\cdots+f_n'(x) = 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n kx^{k-1}\;.
\end{aligned}$

Donc : $\begin{aligned}[t]
F_n'\left(\dfrac{5}{6}\right) & 
  = \sum\limits_{k=1}^n k\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\\
& = \dfrac{1-\frac{5}{6}-(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{(1-\frac{5}{6})^2}\text{ (d'après la question précédente)}\\
& = \dfrac{\frac{1}{6}-(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{\frac{1}{36}}
\end{aligned}$

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{F_n'\left(\dfrac{5}{6}\right)}=36$.

\medskip

Donc $\esp{X}=\dfrac{1}{6}\limite{n}{+\infty}{\sum\limits_{k=1}^nk\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}}=\dfrac{1}{6}\times36=6$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{simulation d'une variable aléatoire}[3]
Lors d'un jeu, le gain d'un joueur quelconque est modélisé par la variable aléatoire $X$ dont on donne la loi de probabilité ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exercicenumbg}\color{white}}Sl|Sc|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X = k$ & $-20$ & $0$ & $5$ & $100$\\
\hline
$P(X = k)$  & 0,78 & 0,09 & 0,07 & 0,06 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'espérance mathématique de $X$ est $\esp{X}=-9,25$ et que son écart-type est $\sigma(X)\approx28,78$.

\newpage

\item On considère la fonction Python suivante:

\begin{python}
from random import random
# random() retourne un nombre pseudo-aléatoire dans [0;1[

def simul():
    x = random()
    if x <= 0.78:
        return -20
    elif x > 0.78 and x <= 0.87:
        return 0
    elif x > 0.87 and x <= 0.94:
        return 5
    else:
        return 100
\end{python}

Expliquer en quoi cette fonction simule la variable aléatoire $X$.

\item On considère fonction Python suivante:

\begin{python}
def echantillon(n):
    L = [ ]
    for _ in range(n):
        L.append( simul() )
        
    return sum(L)/n
\end{python}

Expliquer à quoi correspond \texttt{echantillon(n)} pour un $n$ assez grand dans le cadre de cet exercice.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, en entrant les données de la loi de probabilité de $X$ dans le menu \og Statistiques \fg, on trouve bien les valeurs données dans l'énoncé. Sur la Numworks, par exemple, cela donne :
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{python-va-01}
\hfill
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{python-va-02}
\end{center}

\newpage

\item Dans la fonction proposée, la variable \texttt{x} contient un nombre pseudo-aléatoire compris entre 0 et 1, qui peut donc représenter une probabilité.

Dans cette fonction Python, on effectue un test sur la valeur contenue dans \texttt{x}:
\begin{itemize}
\item si $x \in\intervFF{0}{0,78}$, la fonction retourne \og $-20$ \fg, c'est-à-dire la valeur de $X$ pour laquelle $\probavar{X}{-20}=0,78$;
\item si $x \in\intervOF{0,78}{0,78+0,09}$, la fonction retourne \og $0$ \fg, c'est-à-dire la valeur de $X$ pour laquelle $\probavar{X}{0}=0,09$;
\item si $x \in\intervOF{0,78+0,09}{0,78+0,09+0,07}$, la fonction retourne \og $5$ \fg, c'est-à-dire la valeur de $X$ pour laquelle $\probavar{X}{5}=0,07$;
\item si $x \in\intervFF{0,78+0,09+0,07}{0,78+0,09+0,07+0,06}$, la fonction retourne \og $100$ \fg, c'est-à-dire la valeur de $X$ pour laquelle $\probavar{X}{100}=0,06$.
\end{itemize}
C'est pourquoi cette fonction Python simule bien notre variable aléatoire $X$.

\medskip

C'est comme si on devait choisir un point sur le segment \intervFF{0}{1} partagé ainsi:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[red,very thick] (0,0) node[below] {0} -- (7.8,0) node[below,scale=0.7] {0,78};
\draw[blue,very thick] (7.8,0) -- (8.7,0) node[below,scale=0.7] {0,87};
\draw[green!50!black,very thick] (8.7,0) -- (9.4,0) node[below,scale=0.7] {0,94};
\draw[purple,very thick] (9.4,0) -- (10,0) node[below] {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La fonction Python \texttt{echantillon(n)} prend un nombre entier $n$ comme argument et appelle $n$ fois la fonction \texttt{simul()} définie précédemment. Elle met tous les résultats dans une liste \texttt{L}.

La boucle étant finie, elle retourne \og \texttt{sum(L)/n} \fg, c'est-à-dire la moyenne de toutes les valeurs contenues dans \texttt{L}.

Pour un $n$ assez grand, cette fonction retourne donc une valeur se rapprochant de l'espérance mathématique de $X$.

Par exemple, on obtient:

\begin{console}
>>> echantillon(10**7)
-9.2495405
\end{console}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{problème de surréservation}[3]
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{n}{p}$.

Soit $a$ un réel strictement positif.

\begin{enumerate}
\item Écrire une fonction Python \texttt{seuil(n,p,a)} retournant le premier entier $k$ tel que\linebreak $\probavar[>]{X}{k} \leqslant a$.

\medskip

Pour cela, on dispose d'un module Python nommé \og probastat \fg, que l'on pourra télécharger sur la page:
\begin{center}
\url{https://www.mathweb.fr/euclide/2021/04/09/probabilites-et-python-au-lycee-loi-binomiale-et-variables-aleatoires/}
\end{center} 
et de son \textit{objet} \og binom \fg, grâce auquel on peut définir une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}\coord{n}{p}$, et de sa méthode \og proba\_cdf(k) \fg{} qui permet de calculer $\probavar[\leqslant]{X}{k}$.
\begin{console}
>>> from probastat import binom
>>> X = binom(50,0.42)
>>> X.proba_cdf(10)
0.0008877309619108356
\end{console}
Cela signifie que $\probavar[\leqslant]{X}{10}\approx8,877\times10^{-4}$.

\item Une compagnie aérienne, dont on taira le nom pour ne pas ternir sa réputation, a l'habitude de vendre plus de billets que de places dans un avion. 

L'avion X555 comporte 300 places. On note $n$ le nombre de billets d'avion vendus, nombre pouvant être supérieur à 300.

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients ayant acheté un billet et se présentant au guichet lors de l'embarquement. On suppose que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{n}{0,9}$.

À l'aide de la fonction Python précédente, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\probavar[>]{X}{300}\leqslant0,05$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Avant toute chose, notons que: $
\probavar[>]{X}{k} \leqslant a \iff \probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 1-a$.

Cela va m'être utile pour ma fonction Python.

En effet, à l'aide du super module \textit{probastat}, on peut définir notre fonction ainsi:
\begin{python}
from probastat import binom
def seuil(n,p,a):
    X = binom(n,p)
    k = 0
    while X.proba_cdf(k) < 1-a:
        k = k + 1    
    return k
\end{python}

Par exemple,
\begin{console}
>>> seuil(50,0.42,0.95)
15
\end{console}

\newpage

\item Il faut ici déterminer le plus petit entier $n$ tel que \texttt{seuil(n,0.9,0.05)} $\geqslant 300$.
\begin{python}
n = 300
while seuil(n,0.9,0.05) < 300:
    n = n + 1
    
print(n)
\end{python}

On trouve alors $n=324$. C'est-à-dire que pour 324 billets vendus, la probabilité pour que le nombre de clients se présentant à l'embarquement soit strictement supérieur à 300 est inférieure à 0,05, soit 5\%.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%


\begin{exocor}{loi géométrique}[3]
On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ nécessaires pour obtenir le premier succès. 

On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\probavar{X}{k}=p(1-p)^{k-1}$, pour tout entier $k \geqslant 1$.
\item On admet que $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$.

Déterminer alors l'espérance mathématique de $X$.
\newpage
\item Dans un urne sont mises 15 boules rouges et 5 boules noires, indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de cette urne en la remettant tant que la boule choisie n'est pas noire.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules tirées à l'issue de cette expérience.

Calculer \esp{X} et en donner une interprétation.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier naturel compris entre 1 et $n$.

L'événement \og $X = k$ \fg{} est obtenu si $k-1$ épreuves se sont terminées par un échec, de probabilité $1-p$, et que la $k$-ième épreuve s'est terminée par un succès.

D'après le principe multiplicatif, on a alors:
\[
P(X = k) = \underbrace{(1-p) \times (1-p) \times \cdots \times (1-p)}_{(k-1)\text{ facteurs}} \times p =p(1-p)^{k-1}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = \sum_{k=1}^{+\infty} k \times P(X=k)\\
& = \sum_{k=1}^{+\infty} kp(1-p)^{k-1}\\
& = p\sum_{k=1}^{+\infty} k(1-p)^{k-1}\\
& = p \times \dfrac{1}{\big[1-(1-p)\big]^2}\qquad\text{car }\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\\
& = p \times\dfrac{1}{p^2}\\
\Aboxed{\esp{X} & = \dfrac{1}{p}}
\end{aligned}$

\begin{rem}
Nous manipulons ici une somme infinie car il se peut que le succès n'arrive jamais, et donc que le nombre d'épreuves soit infini.
\end{rem}

\item $X$ suit clairement une loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{5}{20}=0,25$.

Donc $\esp{X}=\dfrac{1}{p}=4$. Cela signifie qu'il faudra choisir en moyenne 4 boules pour obtenir finalement une noire. 
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

\newpage

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exocor}{Extrait du sujet 2 d'Asie, juin 2025}[2]
Pendant une épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'île de La Réunion est de 0,36.

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre
d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $n$ tirés au sort.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,36$.


Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'événement \og au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus \fg{} est supérieure à 0,99. Expliquer
la démarche.

\tcblower

On cherche ici à résoudre l'inéquation:
\begin{align*}
P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99 & \iff 1-P(X=0) \geqslant 0,99\\
& \iff 1-(1-p)^n \geqslant 0,99\\
& \iff 1-(1-0,36)^n \geqslant 0,99\\
& \iff 1-0,64^n \geqslant 0,99\\
& \iff 0,64^n \leqslant 0,01\\
& \iff n\ln(0,64) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,64)}\text{ car }\ln(0,64)<0\\
& \iff n \geqslant 10,32.
\end{align*}

Ainsi, à partir de 11 individus, la probabilité de l'événement \og au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus \fg{} est supérieure à 0,99.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{Extrait du sujet 2 des Centres étrangers, juin 2025}[1]
On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. 

On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.

\item Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. 

\textit{On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.}

\item Que pensez-vous de l'affirmation suivante : \og La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable  \fg ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=250$ et $p=0,01$. En effet, on répète de manière indépendante 250 fois l'expérience consistant à regarder si un caractère est mal transmis, dont la probabilité du succès est $p=0,01$ d'après l'énoncé.

\item $P(X=0)=\dbinom{250}{0}\times 0,01^0\times (1-0,01)^{250-0}=0,99^{250}\approx 0,081$.

\item On calcule $P(X > 16)= P(X\geqslant 17)$. 

Avec la calculatrice, on trouve:
\[
P(X\geqslant 17)\approx 1,04\times 10^{-9},
\]
ce qui est en effet négligeable.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{Extrait du sujet 1 de Polynésie, juin 2025}[1]
On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

On admet que la probabilité de choisir un enfant atteint d'une allergie alimentaire est égale à 0,09.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire? 

Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On répète 100 fois de manière indépendante l'expérience de Bernoulli consistant à regarder si un enfant est atteint d'allergie alimentaire, dont la probabilité du succès est $p=0,09$.

Ainsi, $X$ (qui représente le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves indépendantes) suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,09$.

\item La probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire est:
\[
P(X \geqslant 10)\approx \numprint{0,4125}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
