\chapter{Bac blanc 03}

%\pagestyle{coursstyle}

\tcbstartrecording

% proba

\begin{exobb}{5 points}
Un sondage est réalisé à la sortie d'un lycée. La question suivante est posée à chaque élève:
\begin{quote}
\og Avez-vous apprécié votre journée de cours ? \fg{} 
\end{quote}
Les résultats de ce sondage montrent que 350 élèves sur les 500 interrogés ont répondu \og Oui \fg, et parmi eux, $\dfrac{9}{10}$ affirment aimer leurs enseignants, contre $\dfrac{1}{5}$ de ceux qui ont répondu \og Non \fg.

On interroge au hasard un élève à la sortie de ce même lycée un mois plus tard.
On note:
\begin{itemize}
\item $O$ l'événement: \og l'élève interrogé a aimé son journée \fg;
\item $A$ l'événement: \og l'élève interrogé aime ses enseignants \fg. 
\end{itemize}

\textit{Les questions suivantes n'étant pas guidées, vous veillerez à développer vos réponses.}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(A) = 0,69$.
\item On choisit au hasard et de manière indépendante 20 élèves à la sortie de ce lycée. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre d'élèves appréciant leurs enseignants.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance et la variance de $X$.
\item Calculer $P(X \geqslant 10)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\item On considère maintenant un échantillon de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel non nul) d'élèves interrogés de manière indépendante. 

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre d'élèves aimant leurs enseignants dans cet échantillon.

\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev , déterminer en fonction de $n$ un intervalle $I_n$ tel que $P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n\right) \geqslant 0,95$.
\item Application: pour $n=100$, calculer explicitement l'intervalle $I_{100}$ et interpréter le résultat dans le contexte du sondage.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
			level 1/.style = { 
					level distance=2.5cm,
					sibling distance=3cm,
					color=courbe2},
			level 2/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=1.5cm,
					color=courbe}]
					
\node (omega) {$\Omega$} [grow=right]
	child {
		node[black] (O2) {$\overline{O}$}
			child {
				node[black] (O2A2) {$\overline{A}$}
			}
			child {
				node[black] (O2A1) {$A$}
			}
	}
	child {
		node[black] (O1) {$O$}
			child {
				node[black] (O1A2) {$\overline{A}$}
			}
			child {
				node[black] (O1A1) {$A$}
			}
	};
\node[above left, courbe2] at ($0.5*(omega)+0.5*(O1)$) {0,7};
\node[below left, courbe2] at ($0.5*(omega)+0.5*(O2)$) {0,3};

\node[above , courbe] at ($0.5*(O1)+0.5*(O1A1)$) {0,9};
\node[below , courbe] at ($0.5*(O1)+0.5*(O1A2)$) {0,1};
\node[above , courbe] at ($0.5*(O2)+0.5*(O2A1)$) {0,2};
\node[below , courbe] at ($0.5*(O2)+0.5*(O2A2)$) {0,8};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour réaliser cet arbre, on a considéré que la probabilité de l'événement $O$ est égale à la fréquence des élèves qui ont répondu \og Oui \fg{} à la question du sondage, soit:
\[
P(O)=\dfrac{350}{500}=\dfrac{7}{10}=0,7.
\]
D'après la formule des probabilités totales, on a:
\begin{align*}
P(A) & = P(O \cap A) + P(\overline{O} \cap A)\text{ car $O$ et $\overline{O}$ forment une partition de l'univers}\\
& = P(O)\times P_O(A) + P\big(\overline{O}\big)\times P_{\overline{O}}(A)\\
& = 0,7\times0,9 + 0,3\times0,2\\
\Aboxed{P(A) & = 0,69}
\end{align*}

\item L'expérience consistant à voir si un élève aime ses enseignants, expérience de Bernoulli de probabilité\linebreak$p=P(A)=0,69$, est répétée de manière indépendante 20 fois.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,69$.
\begin{enumerate}
\item On en déduit alors que $\esp{$X$}=n \times p = 20 \times 0,69$, d'où:
\[
\boxed{ \esp{$X$} = 13,8 }
\]
De plus, la variance est:
\[
\var{$X$} = np(1-p) = 20\times0,69\times(1-0,69) \implies \boxed{ \var{$X$} = 4,278 }
\]

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve ensuite:
\[
\boxed{ P(X \geqslant 10) \approx 0,978}
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-\esp{$\dfrac{X_n}{n}$} \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\var{$\dfrac{X_n}{n}$}}{\delta^2}
\]
D'après ce qui précède, $\esp{$X_n$}=0,69n$ et $\var{$X_n$}=0,2139n$ donc, par linéarité de l'espérance et propriété de la variance,
\[
\esp{$\dfrac{X_n}{n}$}=\dfrac{0,69n}{n}=0,69\qquad\text{et}\qquad
\var{$\dfrac{X_n}{n}$}=\dfrac{0,2139n}{n^2}=\dfrac{0,2139}{n}.
\]
On a alors:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{0,2139}{\delta^2 n}
\]
d'où:
\[
\forall \delta>0,\quad 1-P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| < \delta \right) \leqslant \dfrac{0,2139}{\delta^2 n}.
\]
On en déduit alors:
\[
\forall \delta>0,\quad P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| < \delta \right) \geqslant 1-\dfrac{0,2139}{\delta^2 n}.\tag{*}
\]
Ainsi, en choisissant $n$ tel que $1-\dfrac{0,2139}{\delta n} \geqslant 0,95$, on se dirigera vers une solution à notre problème.
\begin{align*}
1-\dfrac{0,2139}{\delta^2 n} \geqslant 0,95 & \iff \dfrac{0,2139}{\delta^2 n} \leqslant 0,05\\
& \iff \dfrac{\delta^2 n}{0,2139} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff \dfrac{\delta^2 n}{0,2139} \geqslant 20\\
& \iff \delta^2 n \geqslant 20 \times 0,2139\\
& \iff \delta^2 \geqslant \dfrac{4,278}{n}\\
& \iff \delta \geqslant \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}.
\end{align*}

On peut alors prendre $\delta = \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}$, et l'inégalité $(*)$ donne:
\[
P\left( \left| \dfrac{X_n}{n}-0,69 \right| <  \sqrt{\dfrac{4,278}{n}} \right)) \geqslant 0,95
\]
ce qui se traduit par:
\[
P\left(-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}} < \dfrac{X_n}{n}-0,69 < \sqrt{\dfrac{4,278}{n}}\right) \geqslant 0,95
\]
ou encore
\[
P\left(0,69-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}} < \dfrac{X_n}{n}  < 0,69+\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}\right) \geqslant 0,95.
\]
Ainsi, un intervalle $I_n$ possible est:
\[
\boxed{ I_n = \intervOO{0,69-\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}}{0,69+\sqrt{\dfrac{4,278}{n}}} }
\]

\item En prenant $n=100$, on trouve $I_n=\intervOO{0,4832}{0,8968}$. Ainsi, Avec une probabilité d'au moins 0,95, la proportion d'élèves aimant leurs enseignants dans un échantillon de 100 élèves se situe entre 48,32\% et 89,68\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exobb}

% fonctions

\newpage

\begin{exobb}{4 points}
À la suite d'un incident dans une centrale nucléaire, un élément radioactif est introduit dans un cours d'eau. 

Des mesures sont effectuées à partir du moment de l'incident.
 
On modélise le taux de radioactivité (en becquerels par litre, Bq/L) au bout de $t$ jours par la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :
\[
f(t) = (2 + t)\e^{-t/3}.
\]
 Les autorités considèrent que l'eau est potable lorsque le taux de radioactivité est strictement inférieur à 1 Bq/L.
 
\begin{enumerate}
 
\item Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)$ et interpréter ce résultat. 
 
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 0$ :
\[
f'(t) = \frac{1-t}{3}\,\e^{-t/3}.
\]
 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
    
\item Justifier que l'équation $f(t) = 1$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur $]6\,;\,7[$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate} 
 
\item On admet que $f''(t) = \dfrac{t-4}{9}\,\e^{-t/3}$ pour tout $t \geqslant 0$.
 
Étudier la convexité de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$. On précisera les éventuels points d'inflexion ainsi que leur interprétation dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

\tcblower %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item $f(0)=(2+0)\e^{-0/3}=2$.

Cela signifie qu'à l'instant où l'élément radioactif est introduit dans l'eau, le taux de becquerels par litre est égal à 2 Bq/L.

\item $f(t)=2\e^{-t/3} + t\e^{-t/3} = 2\e^{-t/3} + 3 \times \dfrac{1}{3}t\e^{-t/3} = 2\e^{-t/3} + 3 \times \dfrac{\frac{1}{3}t}{\e^{\frac{1}{3}t}}$.

Or,
$
\left.
\begin{array}{r}
\limite{t}{+\infty}{\left(-\dfrac{t}{3}\right)}=-\infty\\
\limite{T}{-\infty}{\big(\e^T\big)}=0
\end{array}
\right\} \implies \limite{t}{+\infty}{\big( 2\e^{-t-3} \big)} = 0
$

et

$\limite{T}{+\infty}{\left(\dfrac{T}{\e^T}\right)}=0$ (croissances comparées) donc $\limite{t}{+\infty}{\left(\dfrac{\frac{1}{3}t}{\e^{\frac{1}{3}t}} \right)}=0$.

Ainsi, par somme et produit de limites, 
\[
\boxed{ \limite{t}{+\infty}{f(t)}=0 }
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec $\begin{aligned}[t]
u(t) = 2+t & \qquad v(t) = \e^{-t/3}\\
u'(t) = 1 & \qquad v'(t) = -\dfrac{1}{3}\e^{-t/3}
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v + v'u)(t)\\
	  & = 1\times\e^{-t/3} -\dfrac{1}{3}\e^{-t/3} \times (2+t)\\
	  & = \left[ 1-\dfrac{1}{3}(2+t) \right]\e^{-t/3} \\
	  & = \left[ \dfrac{3-2-t}{3} \right]\e^{-t/3} \\
\Aboxed{f'(t) & = \dfrac{1-t}{3}\e^{-t/3}}
\end{align*}

\item Pour tout réel $t$ positif, $\e^{-t/3}>0$ et $3>0$ donc $f'(t)$ est du signe de $1-t$. Or,
\[
1-t \geqslant 0 \iff t \leqslant 1.
\]
De plus,
\[
f(1) = 3\e^{-1/3}.
\]
On en déduit le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {fill=pagebb}]
\colorlet{white}{pagebb}
\tkzTabInit[espcl=4,deltacl=1]{$t$/0.5,$f'(t)$/0.5,$f(t)$/1}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$2$,+/$3\e^{-1/3}$,-/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Sur \intervOO{6}{7},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement décroissante;
\item $f(6) = 8\e^{-2} \approx 1,08$ et $f(7) = 9\e^{-7/2} \approx 0,27$ donc $1\in\intervOO{f(7)}{f(6)}$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha\in\intervOO{6}{7}$ tel que $f(\alpha)=1$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve: $\alpha \approx6,38$.

Cela signifie qu'après $6,38$ jours (soit à peu près 6 jours et 9 heures), l'eau redevient potable.
\end{enumerate}

\item $f''(t) = \dfrac{t-4}{9}\e^{-t/3}$.

Pour tout réel $t$ positif, $\e^{-t/3}>0$ et $3>0$ donc $f''(t)$ est du signe de $t-4$. Ainsi,
\begin{itemize}
\item pour $0 \leqslant t < 4$, $f''(t)<0$ donc $f$ est \textit{concave};
\item pour $t>4$, $f''(t)>0$ donc $f$ est convexe;
\item en $t=4$, la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion.
\end{itemize}

En $t=4$, la dérivée $f'$ atteint donc son minimum: c'est le moment où la vitesse de décroissance du taux est la plus grande. Concrètement, c'est le quatrième jour après l'incident que le taux de radioactivité baisse le plus vite. Avant ce jour, bien que le taux diminue, la décroissance ralentit; après ce jour, la décroissance s'accélère à nouveau.
\end{enumerate}
\end{exobb}


\newpage

% espace

\begin{exobb}{5 points}
Un architecte souhaite concevoir un bâtiment tétraédrique. Il considère ensuite le centre de gravité des faces $ACD$, $BCD$ et $ABC$ qu'il nomme respectivement $P$, $Q$ et $R$. Il le modélise par le tétraèdre $ABCD$ ci-dessous.

\medskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{tikzpicture}
    % Définition des coordonnées
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (7,0);
    \coordinate (C) at (4,1);
    \coordinate (D) at (2,4);

    % Arêtes visibles
    \draw (A) node[below left] {$A$}
       -- (B) node[below right] {$B$}
       -- (D) node[above] {$D$}
       -- cycle;

    % Arêtes cachées
    \draw[dashed] (A) -- (C) node[above right] {$C$} -- (B);
    \draw[dashed] (C) -- (D);

    % Centre de gravité de ABC
    \fill (barycentric cs:A=1,B=1,C=1) circle (1pt) node[right] {$R$};
    \fill (barycentric cs:A=1,D=1,C=1) circle (1pt) node[right] {$P$};
    \fill (barycentric cs:D=1,B=1,C=1) circle (1pt) node[right] {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8cm}
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\big(A;\vv{i},\vv{j},\vv{k}\big)$ dans lequel:
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $B\coordEsp{6}{0}{0}$
\item $C\coordEsp{4}{3}{0}$
\item $D\coordEsp{2}{2}{4}$
\end{multicols}
\end{itemize}
On admet que:
\begin{align*}
\vv{RA} + \vv{RB} + \vv{RC} = \vv{0}\\
\vv{PA} + \vv{PC} + \vv{PD} = \vv{0}\\
\vv{QB} + \vv{QC} + \vv{QD} = \vv{0}
\end{align*}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Montrer que les coordonnées de $Q$ sont $\coordEsp{4}{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{4}{3}}$.

On admet que $P\coordEsp{2}{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{4}{3}}$ et $R\coordEsp{\dfrac{10}{3}}{1}{0}$.

\item Une équation du plan $(ABD)$ est: $2y - z = 0$.

Montrer que le plan $(PQR)$ est parallèle au plan $(ABD)$.

\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(DR)$ est:
\[
(DR)\quad:\quad
\begin{cases}
x = 2+\dfrac{4}{3}t\\[6pt]
y = 2 - t\\
z = 4 - 4t
\end{cases},\ t\in\R.
\]

\item On admet que $(BP)$ et $(AQ)$ ont les représentations paramétriques suivantes:
\[
(BP)\,:\,\begin{cases}
x = 6 + 4k\\
y = - \dfrac{5}{3}k \\[6pt]
z = -\dfrac{4}{3}k
\end{cases},\ k\in\R
\qquad ; \qquad
(AQ)\,:\,\begin{cases}
x = 4\lambda\\
y = \dfrac{5}{3}\lambda\\[6pt]
z = \dfrac{4}{3}\lambda
\end{cases}
\]

Montrer que $(DR)$, $(AQ)$ et $(BP)$ sont concourantes en un point que l'on nommera $G$ et dont on donnera les coordonnées.

\item Montrer que la distance du point $G$ au plan $(ABD)$ est égale à $\dfrac{\sqrt5}{20}$.
\end{enumerate}

\tcblower %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\vv{QB} + \vv{QC} + \vv{QD} = \vv{0} 
& \iff \big(\vv{QA}+\vv{AB}\big) + \big(\vv{QA} + \vv{AC}\big) + \big(\vv{QA}+\vv{AD}\big) = \vv{0}\\
& \iff 3\vv{QA} = -\vv{AB}-\vv{AC}-\vv{AD}\\
& \iff 3\vv{AQ} = \vv{AB}+\vv{AC}+\vv{AD}.
\end{aligned}$

Ainsi,
\[
3\vv{AQ}\begin{pmatrix}x_B+x_C+x_D \\ y_B+y_C+y_D \\ z_B+z_C+z_D\end{pmatrix} \text{ soit }3\vv{AQ}\begin{pmatrix}6+4+2 \\ 0+3+2 \\ 0+0+4\end{pmatrix}\text{ et donc} 3\vv{AQ}\begin{pmatrix}12 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}.
\]
On en déduit alors que:
\[
\vv{AQ}\begin{pmatrix} \frac{12}{3} \\[6pt] \frac{5}{3} \\[6pt] \frac{4}{3} \end{pmatrix}\text{ soit }
\boxed{ \vv{AQ}\begin{pmatrix} 4 \\[6pt] \frac{5}{3} \\[6pt] \frac{4}{3} \end{pmatrix} }
\]
Les coordonnées de $G$ sont donc $\coordEsp{4}{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{4}{3}}$.

\item Une équation du plan $(ABD)$ est: $2y - z = 0$.

Donc un vecteur normal au plan $(ABD)$ est $\vv{u}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$.
\begin{itemize}
\item $\vv{PQ}\begin{pmatrix}4-2 \\ \frac{5}{3}-\frac{5}{3} \\[6pt] \frac{4}{3}-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$ soit $\vv{PQ}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$. Donc:
\[
\vv{u}\cdot\vv{PQ} = 0\times2 + 2\times0 - 1\times0 = 0.
\]
Ainsi, $\vv{u}$ et $\vv{PQ}$ sont orthogonaux.

\item $\vv{PR}\begin{pmatrix}\frac{10}{3}-2 \\[6pt] 1-\frac{5}{3} \\[6pt] 0-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$ soit $\vv{PR}\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[6pt] -\frac{2}{3}\\[6pt] -\frac{4}{3}\end{pmatrix}$. Donc:
\[
\vv{u}\cdot\vv{PR} = 0\times\frac{4}{3} + 2\times\left(-\frac{2}{3}\right) - 1\times\left(-\frac{4}{3}\right) = 0.
\]
Ainsi, $\vv{u}$ et $\vv{PR}$ sont orthogonaux.
\end{itemize}

De plus, $\vv{PQ}$ et $\vv{PR}$ ne sont pas colinéaires, ce qui permet d'affirmer que $\big(\vv{PQ},\vv{PR}\big)$ est une base du plan $(PQR)$.

\medskip

Ainsi, $\vv{u}$ est orthogonal à toute combinaison linéaires de $\vv{PQ}$ et $\vv{PR}$, et donc à tout vecteur du plan $(PQR)$, et donc $\vv{u}$ est un vecteur normal à $(PQR)$.

\medskip

Or, si deux plans distincts ont un même vecteur normal, ils sont parallèles.

\underline{Ainsi, $(PQR)$ et $(ABD)$ sont parallèles.}

\item $\vv{DR}\begin{pmatrix}\dfrac{10}{3}-2 \\[6pt] 1-2 \\ 0-4\end{pmatrix}$, soit $\vv{DR}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}\\[6pt]-1\\-4\end{pmatrix}$. Ainsi, comme $D\in(DR)$, une représentation paramétrique de $(DR)$ est:
\[
\begin{cases}
x = x_D + x_{\vv{DR}}t\\
y = y_D + y_{\vv{DR}}t\\
z = z_D + z_{\vv{DR}}t\\
\end{cases},\ t\in\R \iff
\boxed{ \begin{cases}
x = 2+\dfrac{4}{3}t\\[6pt]
y = 2 - t\\
z = 4 - 4t
\end{cases},\ t\in\R }
\]

\item 
\begin{itemize}
\item Intersection de $(DR)$ et $(AQ)$: on résout le système suivant, formé à partir des représentations paramétriques des deux droites.
\[
\begin{cases}
2+\dfrac{4}{3}t = 4 \lambda\\[6pt]
2-t= \dfrac{5}{3}\lambda\\[6pt]
4-4t=\dfrac{4}{3}\lambda
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
\lambda = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}t\quad(1)\\[6pt]
\lambda = \dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}t\quad(2)\\[6pt]
\lambda = 3-3t\quad(3)
\end{cases}
\]
De (2) et (3), on déduit:
\[
\dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}t = 3-3t \iff \dfrac{6}{5}-3 = \dfrac{3}{5}t-3t \iff \dfrac{9}{5} = \dfrac{12}{5}t \iff t = \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}. 
\]
De (1) et (2), on déduit:
\[
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}t=\dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}t \iff \dfrac{1}{3}t + \dfrac{3}{5}t=\dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{14}{15}t = \dfrac{7}{10} \iff 
t = \dfrac{7}{10}\times\dfrac{15}{14} = \dfrac{3}{4}.
\]
Le système admet bien une unique solution: $t=\dfrac{3}{4}$ et le $\lambda$ qui correspond, à savoir $\lambda=3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}$.

\medskip

\item Intersection de $(AQ)$ et $(BP)$:
\[
\begin{cases}
2+\dfrac{4}{3}t = 6+4k&\quad{\color{courbe3}\times3}\\[6pt]
2-t= -\dfrac{5}{3}k&\quad{\color{courbe3}\times3}\\[6pt]
4-4t=-\dfrac{4}{3}k&\quad{\color{courbe3}\times\frac{3}{4}}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
4t-12k=12&(1)\\
3t-5k=6&(2)\\
3t-k=3&(3)
\end{cases}
\]
$(3)-(2) \iff 4k = -3 \iff k = -\dfrac{3}{4}$.

$(3) \implies 3t = 3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4} \implies t = \dfrac{3}{4}$.

Alors, $(1) \implies 4\times\dfrac{3}{4}-12\times\left(-\dfrac{3}{4}\right) = 12 \implies 3 + 9 = 12$, ce qui est vrai.

\medskip

Le système admet donc une unique solution: $t=k=\dfrac{3}{4}$.
\end{itemize}

Ainsi, les droites $(AQ)$, $(BP)$ et $(DR)$ sont concourantes en un point $G$ de coordonnées (en prenant $\lambda=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de $(AQ)$):
\[
G\coordEsp{4\times\frac{3}{4}}{\dfrac{5}{3}\times\frac{3}{4}}{\dfrac{4}{3}\times\frac{3}{4}} \iff \boxed{ G\coordEsp{3}{\frac{5}{4}}{1} }
\]

\item La distance du point $G$ au plan $(ABD)$, d'équation cartésienne $2y-z=0$ est donnée par la formule:
\[
d\big(G;(ABD)\big) = \dfrac{|y_G-z_G|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \dfrac{\frac{5}{4}-1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{4\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{4\times5}=\frac{\sqrt5}{20}.
\]
\end{enumerate}
\end{exobb}

% suite et intégrale

\newpage

\begin{exobb}{6 points}
Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on définit la suite $(u_n)$ par:
\[
u_n = \int_n^{n+1} \ln(t)\,\mathrm{d}t.
\]
 

\begin{enumerate}
\item En posant $v(t) = \ln(t)$ et $u'(t) = 1$, montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout entier $n \geqslant 1$ :
\[
u_n = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - 1.
\]
 
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout réel $t \in [n\,;\,n+1]$ :
\[
\ln(n) \leqslant \ln(t) \leqslant \ln(n+1).
\]
 
\item En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :
\[
\ln(n) \leqslant u_n \leqslant \ln(n+1).
\]
\end{enumerate}
 
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
 
\item Déterminer la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}
 
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 2$ :
\[
1 \leqslant \frac{u_n}{\ln(n)} \leqslant \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.
\]
 
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right) = 1$.
 
\medskip

\item En déduire la limite de $\dfrac{u_n}{\ln(n)}$.
 
Que peut-on dire du comportement de $u_n$ par rapport à $\ln(n)$ ?
\end{enumerate}
 
\item Donner une expression explicite de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k$ en fonction de $n$.

\item On considère le programme suivant, écrit en Python:

\begin{python}
# on importe la fonction log (logarithme népérien)
from math import log

n = 1
u = 2*log(2)-1
d = abs( u - log(n) )

while d >= 0.001:
    n = n+1
    u = (n+1)*log(n+1)-n*log(n)-1
    d = abs( u - log(n) )

print(n)
\end{python}

Il affiche la valeur \og 500 \fg.

\medskip

Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
 
\end{enumerate}

\tcblower %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dint_n^{n+1} u'(t) \times v(t) \dx[t]$ avec:
\[
\begin{array}{ll}
u'(t) = 1 & \qquad u(t) = t\\
v(t) = \ln(t) & \qquad v'(t) = \dfrac{1}{t}
\end{array}
\]
Ainsi, par intégration par parties,
\begin{align*}
u_n & = \Big[ u(t) \times v(t) \Big]_n^{n+1} - \dint_n^{n+1} u(t) \times v'(t) \dx[t]\\
& = \Big[ t\ln(t) \Big]_n^{n+1} - \dint_n^{n+1} t \times \dfrac{1}{t}\dx[t]\\
& = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - \dint_n^{n+1} 1 \dx[t]\\
& = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - \Big[ t \Big]_n^{n+1}\\
& = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - \big( (n+1) - n \big)\\
& = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - n -  1 + n\\
\Aboxed{u_n & = (n+1)\ln(n+1) - n\ln(n) - 1}
\end{align*}

\item 
\begin{enumerate}
\item La fonction $t \mapsto \ln(t)$ est strictement croissante sur \intervFO{1}{+\infty} donc sur tout intervalle de la forme \intervFF{n}{n+1}, avec  entier naturel non nul. Ainsi,
\[
n \leqslant t \leqslant n+1 \iff \boxed{ \ln(n) \leqslant \ln(t) \leqslant \ln(n+1)}
\]

\item De l'encadrement précédent, on déduit:
\begin{align*}
& \int_n^{n+1} \ln(n) \dx[t] \leqslant \int_n^{n+1} \ln(t) \dx[t] \leqslant \int_n^{n+1} \ln(n+1) \dx[t]\\
\iff & \Big[ \ln(n) t \Big]_n^{n+1} \leqslant u_n \leqslant \Big[ \ln(n+1)t \Big]_n^{n+1}\\
\iff & \ln(n)(n+1-n) \leqslant u_n \leqslant \ln(n+1)(n+1-n)\\
\iff & \boxed{ \ln(n) \leqslant u_n \leqslant \ln(n+1) }
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, d'après la question précédente:
\begin{itemize}
\item $\ln(n+1) \leqslant u_{n+1}$
\item $u_n \leqslant \ln(n+1)$
\end{itemize}
Donc:
\[
\forall n\in\N*,\quad u_n \leqslant \ln(n+1) \leqslant u_{n+1}.
\]
\underline{La suite $(u_n)$ est donc croissante.}

\item Toujours d'après l'encadrement précédent,
\[
u_n \geqslant \ln(n).
\]
Or, $\limite{n}{+\infty}{(\ln(n))}=+\infty$. Ainsi, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{(u_n)} = +\infty }
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant2$, $\ln(n)>0$ donc, de l'encadrement démontré à la question \textbf{2.b.}, 
\[
\ln(n) \leqslant u_n \leqslant \ln(n+1) \iff \dfrac{\ln(n)}{\ln(n)} \leqslant \dfrac{u_n}{\ln(n)} \leqslant \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)}
\]
soit:
\[
\boxed{ 1 \leqslant \dfrac{u_n}{\ln(n)} \leqslant \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} }
\]

\item $\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = \dfrac{\ln\left[ n\left(1+\frac{1}{n}\right) \right]}{\ln(n)} = \dfrac{\ln(n) + \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln(n)} = 1 + \dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln(n)}$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n}\right)}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\big[\ln(n)\big]}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln(n)} \right)}=0$.

Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)} = 1}$.

\item D'après l'encadrement trouvé à la question \textbf{4.a.} et le théorème des gendarmes, 
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{u_n}{\ln(n)} \right)} = 1 }
\]
De cette limite, on peut conclure qu'au voisinage de $+\infty$, $u_n$ tend vers l'infini de la même manière que $\ln(n)$.
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
\displaystyle\sum_{k=1}^n u_n & = \int_1^2 \ln(t)\dx[t] + \int_2^3 \ln(t)\dx[t] + \cdots + \int_{n-1}^n \ln(t)\dx[t] + \int_n^{n+1} \ln(t)\dx[t]\\
& = \int_1^{n+1} \ln(t)\dx[t]\text{ d'après la relation de Chasles sur les intégrales}\\
& = \big[ t\ln(t)-t \big]_1^{n+1} \text{ d'après ce qui a été fait à la question \textbf{1}}\\
& = (n+1)\ln(n+1)-(n+1) - 1\ln(1)+1\\
\Aboxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n u_n & = (n+1)\ln(n+1)-n}
\end{aligned}$

\item Le résultat donné par le programme Python nous permet de conjecturer que $\limite{n}{+\infty}{\big(u_n-\ln(n)\big)}=0$ et que la différence entre $u_n$ et $\ln(n)$ est inférieure à $10^{-3}$ à partir de $n=500$.

Cette conjecture complète le résultat trouvé à la question \textbf{4.c.} qui stipule que $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{u_n}{\ln(n)}\right)}=1$, qui ne veut pas exactement dire la même chose.

En effet, on peut avoir $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{h_n}{\ln(n)}}=1$ sans pour autant avoir $\limite{n}{+\infty}{(h_n-\ln(n))}=0$, mais c'est hors-programme (prendre par exemple $h_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n}$, où on a $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{h_n}{\ln(n)}\right)}=1$ et $\limite{n}{+\infty}{(h_n-\ln(n))}\approx0,5772$, la \textit{constante d'Euler}).
\end{enumerate}
\end{exobb}


\corrigesbb
