
Une fonction possible est la suivante:

\begin{python}
from random import random

def moyenne(n):
    T = 0
    for k in range(n):
        s = 0
        i = 0
        while s < 1:
            s += random()
            i += 1

        T += i

    return T / n
\end{python}

Pour des valeurs de $n$ de la forme $n=10^k$ pour $k$ entier de 2 à 7, on a alors :

\begin{console}
>>> for n in [ 10**k for k in range(2,8) ]:
    	print( moyenne(n) )
    	
2.83
2.719
2.7393
2.71931
2.718344
2.7186881
\end{console}

\begin{rem}
Il semblerait que cette moyenne converge vers un nombre bien particulier. D'après la loi des grands nombres, ce nombre correspond à $E(X)$, c'est-à-dire le nombre moyen de fois que l'on doit répéter l'expérience $\mathcal{E}$ pour que la somme des nombres choisis au hasard soit strictement supérieure à 1.

Avec du temps, en prenant $n=10^8$, puis $n=10^9$, on trouve :
\begin{console}
2.71829368
2.718286834
\end{console}

Or, $\e\approx2,71828182846$. Alors... Coïncidence ?

\medskip

Pour le savoir, il faudrait pouvoir calculer mathématiquement cette moyenne... Mais en terminale, les outils dont nous disposons ne sont pas assez puissants pour le faire. En effet, obtenir la loi de probabilité de $X$ n'est pas chose aisée... mais on peut le\linebreak démontrer à l'aide d'intégrales multiples (ça, c'est pour les profs!).
\end{rem}
