
\begin{enumerate}
\item On répète 10 fois de façon indépendante l'expérience $\mathcal{E}$ donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{10}=0,3$ (probabilité d'obtenir un multiple de 3 entre 1 et 10, donc obtenir \og 3 \fg, \og 6 \fg{} ou \og 9 \fg{} sur 10 nombres).

\item D'après le cours, $E(X) = np = 3$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\approx1,45$.

\item La fonction dûment complétée est la suivante :

\begin{python}
from random import randint

def simul(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        c = 0
        for k in range(10):
            a = randint(1,10)
            if a % 3 == 0:
                c = c + 1

        total = total + c

    return total / n
\end{python}

\item Notons $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de multiples de 3 obtenus lors de la simulation $k$, pour $1\leqslant k\leqslant n$.

D'après l'inégalité de concentration,
\[
P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}
\]
En prenant $\delta=10^{-3}$, $\mu=3$ et $\sigma=1,45$, cela donne:
\[
P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-3\right| \geqslant 10^{-3}\right) \leqslant \dfrac{1,45^2}{10^{-6}n}
\]
ou encore:
\[
P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-3\right| \geqslant 10^{-3}\right) \leqslant \dfrac{1,45^2\times10^{6}}{n}.
\]
Ainsi, choisir $n$ tel que $\dfrac{1,45^2\times10^{6}}{n} \leqslant 10^{-2}$ (par exemple... le seuil $10^{-2}$ est à notre convenance) suffirait, soit $n \geqslant 1,45^2\times10^{8}$.
\end{enumerate}
%\begin{rem}
%L'inégalité de concentration nous donne une condition suffisante sur $n$, mais pas nécessaire. En effet, si on teste le programme pour $n=10^6$, on trouve une valeur de \texttt{2.999021}, qui convient parfaitement à ce que l'on souhaitait.
%
%\medskip
%
%C'est d'ailleurs très souvent le cas: l'inégalité de concentration donne fréquemment une valeur très grande par rapport à la plus petite valeur de $n$ satisfaisant nos conditions.
%\end{rem}
