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-- +(0,-0.3) -- +(0.4,0) -- cycle; },
title={#2},#1}



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%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
  	\begin{minipage}{0.75\linewidth}
  		\begin{center}%
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%%%
\begin{document}
\title{Suites numériques, généralités}
\author{Première, enseignement de spécialité\\\url{mathweb.fr}}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{u}{n}{} est définie par l'égalité:$$u_n = n^2+4n-1.$$Est-elle définie par récurrence ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Oui
\item[\checkbox{red}] Non
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation:$$u_0=7,\qquad u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 1.$$Est-elle définie par récurrence ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Oui
\item[$\square$] Non
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation:$$v_0=-1,\qquad v_{n} = v_{n-1} + 1.$$Est-elle définie par récurrence ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Oui
\item[$\square$] Non
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Dès lors qu'un terme se calcule à partir de son précédent, la relation est de récurrence. Ici, on calcule $v_n$ à partir de son précédent $v_{n-1}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Dans la notation \og $u_n$ \fg, $n$ est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] le terme
\item[\checkbox{red}] le rang
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4


\newpage
\thispagestyle{fancy}

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} est définie par l'égalité:$$u_n = n^2+4n-1.$$Son premier terme vaut:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $-1$
\item[$\square$] 3
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Son  premier terme est $u_0=0^2+4\times0-1=-1$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{v}{n}{n\geqslant1} est définie par l'égalité:$$v_n = \dfrac{n-1}{n+1}.$$Son premier terme vaut:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $-1$
\item[\checkbox{red}] 0
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Son premier terme est $v_1$ d'après sa définition ($n\geqslant1$). Et $v_1=\dfrac{1-1}{1+1}=0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation:$$u_0=7,\qquad u_{n+1}=3u_n-7.$$Que vaut son troisième terme ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 35
\item[$\square$] 98
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le troisième terme est $u_2$ car on commence par $u_0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une suite \suite{v}{n}{} est définie par la relation:$$v_1=5,\qquad v_{n+1}=5(v_n-1).$$Que vaut son troisième terme ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 95
\item[$\square$] 470
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Ici, le troisième terme est $v_3$ car la suite commence par $v_1$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La suite \suite{u}{n}{} définie par $u_n=3n-5$ est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Croissante
\item[$\square$] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Cette suite est définie par une fonction affine dont le coefficient directeur est égal à 3 (positif), donc croissante. 
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9


\newpage
\thispagestyle{fancy}

\item \bgroup\bfseries\boldmath La suite \suite{v}{n}{} définie par $v_n=7-4n$ est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Croissante
\item[\checkbox{red}] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Cette suite est définie par une fonction affine dont le coefficient directeur est égal à $-4$ (positif), donc décroissante. 
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On définit la suite \suite{u}{n}{} par:$$u_n=\dfrac{n+1}{n+3}$$. Quelle est l'expression de $u_{n+1}$?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{n+2}{n+4}$
\item[$\square$] $\dfrac{2n+4}{n+3}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On définit la suite \suite{v}{n}{} par: $v_{n}=n^2+n-1$. Quelle est l'expression de $v_{n+1}$?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $n^2+n$
\item[\checkbox{red}] $n^2+3n$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On définit la suite \suite{u}{n}{} par: $u_n=2n^2+5n+2$. La suite est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Croissante
\item[$\square$] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$u_{n+1}-u_n=4n+7>0$ car $n\geqslant0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On définit la suite \suite{v}{n}{} par: $u_n=\dfrac{4-n}{n+2}$. La suite est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Croissante
\item[\checkbox{red}] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$v_{n+1}-v_n=\dfrac{-6}{n^2+5n+6}<0$ car $n\geqslant0$ donc $5n+6>0$ et donc $n^2+5n+6>0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La suite \suite{u}{n}{} définie par:$$u_0=5,\qquad u_{n+1}=-u_n$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] est monotone
\item[\checkbox{red}] n'est pas monotone
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$u_0=5$, $u_1=-5$, $u_2=-(-5)=5$, $u_3=-5$,... Les termes de la suite vallent donc alternativement 5 et $-5$. La suite n'est don pas monotone (ni croissante, ni décroissante).
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15


\newpage
\thispagestyle{fancy}

\item \bgroup\bfseries\boldmath La suite \suite{v}{n}{} définie par:$$v_0=6,\qquad v_{n+1}=v_n^2+7v_n+9.$$La suite est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Croissante
\item[$\square$] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$v_{n+1}-v_n=v_n^2+6v_n+9=(v_n+3)^2>0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La suite \suite{w}{n}{} définie par:$$w_0=6,\qquad w_{n+1}=3w_n-w_n^2-1.$$La suite est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Croissante
\item[\checkbox{red}] Décroissante
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$w_{n+1}-w_n=-w_n^2+2w_n-1=-(w_n-1)^2\leqslant0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 17
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}