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title={#2},#1}



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\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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  		\begin{center}%
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Variables aléatoires}
\author{Première, enseignement de spécialité\\\url{mathweb.fr}}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Un dé cubique est lancé 2 fois. On note $X$ la variable aléatoire représentant la somme des faces obtenues à l'issue de ces deux lancers. Alors, le nombre d'éléments de $X$ est égal à:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 6
\item[\checkbox{red}] 11
\item[$\square$] 12
\item[$\square$] 36
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
En effet, $X=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On dispose d'un dé cubique, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et d'un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). Ces dés sont parfaitement équilibrés.\newline On lance ces deux dés et on s'intéresse à la somme des deux chiffres obtenus. \newline Soit X la variable aléatoire représentant l'ensemble des sommes possibles. Alors, l'expérance de $X$ est égale à:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 4
\item[$\square$] 5
\item[\checkbox{red}] 6
\item[$\square$] 7
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On a:\begin{center}\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray!10}\bfseries}Sr|*9{Sc|}}\hline\rowcolor{gray!10}X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline P(X) & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{24}$\\\hline\end{tabular}\end{center} et donc:\[ \begin{aligned}[t]\esp{X} & = 2\times\dfrac{1}{24}+3\times\dfrac{1}{12}+\cdots+10\times\dfrac{1}{24}\\\Aboxed{\esp{X} & = 6}\end{aligned}\]
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On jette trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois \og pile \fg{} ou trois fois \og face \fg, on gagne 100 \euro. Sinon, on perd 10~\euro{} (ce qui correspond à un gain de $-10$ \euro).\newline L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu est égale à:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 16,5
\item[\checkbox{red}] 17,5
\item[$\square$] 18,5
\item[$\square$] 19,5
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath On jette trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois \og pile \fg{} ou trois fois \og face \fg, on gagne 100 \euro. Sinon, on perd 10~\euro{} (ce qui correspond à un gain de $-10$ \euro). On ajoute ensuite 5 \euro.\newline L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu est égale à:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 22,5
\item[$\square$] 20,5
\item[$\square$] 20
\item[$\square$] 19,5
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il suffit d'ajouter 5 à l'espérance trouvée à la question pécédente d'après la formule $\esp{X+5}=\esp{X}+5$ (linéarité de l'espérance).
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une variable aléatoire $X$ est telle que son espérance est $\esp{X}=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\esp{Y}=\ldots$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 10
\item[$\square$] 20
\item[\checkbox{red}] 25
\item[$\square$] 30
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\esp{2X+5}=2\esp{X}+5=25$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une variable aléatoire $X$ est telle que sa variance $\var{X}=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\var{Y}=\ldots$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 25
\item[$\square$] 20
\item[\checkbox{red}] 40
\item[$\square$] 45
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\var{2X+5}=2^2\var{X}=4\times10=40$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une variable aléatoire $X$ est telle que son écart-type est $\sigma(X)=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\sigma(Y)=\ldots$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 25
\item[\checkbox{red}] 20
\item[$\square$] 40
\item[$\square$] 45
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\sigma{2X+5}=2\sigma{X}=2\times10=20$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une variable aléatoire $X$ est telle que son espérance vaut $\exp{X}=5$ et telle que $\mathbb{E}\big(X^2\big)=40$. Alors, la variance de $X$ est égale à:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 15
\item[$\square$] 20
\item[$\square$] 40
\item[$\square$] 45
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
D'après la formule de Koenig-Huygens, $\var{X}=\esp{$X^2$}-\big(\esp{X}\big)^2=40-5^2=40-25=15$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 8
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}