\documentclass[french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern,microtype}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{multicol}
\usepackage{varwidth}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{numprint}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=black]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
	\pagestyle{fancy}
	\fancyfoot[C]{\fcolorbox{black}{gray!20}{\thepage~/~\pageref{LastPage}}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
	\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
	\fancyfoot[R,L]{\url{https://mathweb.fr}}
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{arrows, calc}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{eurosym}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\tcbset{titre/.style={
	enhanced,
	hbox,
	tikznode,
	left=8mm,
	right=8mm,
	boxrule=0.4pt,
  	colframe=gray,
  	drop lifted shadow=black!50!gray,
  	before=\par\vspace*{5mm},
  	after=\par\bigskip,
  	interior style={
		draw=gray!25,
		top color=gray!10,
		bottom color=white}
	},	
	info/.style = { 
	colframe = white,
	colback=gray!10}
}

\newtcolorbox{consigne}[2][]{
	enhanced,%
	skin = enhancedlast jigsaw,
	attach boxed title to top left = {xshift=-4mm,yshift=-0.5mm},
	fonttitle = \bfseries\sffamily,
	varwidth boxed title = 0.7\linewidth,
	colbacktitle = gray!40,
	colframe = black,
	interior style={top color=gray!30,bottom color=gray!10},
	boxed title style={empty,arc=0pt,outer arc=0pt,boxrule=0pt},
	underlay boxed title={
	\fill[gray] (title.north west) -- (title.north east)
-- +(\tcboxedtitleheight-1mm,-\tcboxedtitleheight+1mm)
-- ([xshift=4mm,yshift=0.5mm]frame.north east) -- +(0mm,-1mm)
-- (title.south west) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north west)
-- +(-0.4,0) -- +(0,-0.3) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north east)
-- +(0,-0.3) -- +(0.4,0) -- cycle; },
title={#2},#1}



\usepackage{enumitem}
	\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\bfseries\arabic*}}

\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
  	\begin{minipage}{0.75\linewidth}
  		\begin{center}%
    	{\fontfamily{lmss}\bfseries\selectfont\LARGE \@title \par}%
    	\vskip .5em%
    	{\large
      	\lineskip .5em%
        \fontfamily{lmss}\selectfont\@author
      	\par}%
    	\vskip 1em%
    	{\fontfamily{lmss}\itshape\selectfont \@date}
  		\end{center}%
  		\par
 		 \vskip 1.5em
    \end{minipage}
    \end{tcolorbox}
    \end{center}}
    
\newsavebox{\tmp@casebox}
\sbox{\tmp@casebox}{$\square$}
\newlength\tmpwidth
\newcommand{\checkbox}[1]{%
	\settowidth{\tmpwidth}{\usebox{\tmp@casebox}}
	$\square$\kern-\tmpwidth\scalebox{1.2}{\color{#1}$\checkmark$\kern-4pt}
}

\makeatother

\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Développements et factorisations}
\author{Seconde générale}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer l'expression $(2x + 1)(3x - 2)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $6x^2 - x - 2$
\item[$\square$] $6x^2 + x - 2$
\item[$\square$] $6x^2 - x - 2$
\item[\checkbox{red}] $6x^2 - x - 2$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(2x + 1)(3x - 2) = 2x \times 3x + 2x \times (-2) + 1 \times 3x + 1 \times (-2) = 6x^2 -4x + 3x -2 = 6x^2 - x - 2$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer l'expression $3(x + 2)(2x - 1)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $6x^2 + 9x - 3$
\item[$\square$] $6x^2 + 9x + 3$
\item[\checkbox{red}] $6x^2 + 9x - 6$
\item[$\square$] $6x^2 + 13x - 6$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On commence par développer $(x+2)(2x-1) = 2x^2 + 4x - x -2 = 2x^2 + 3x - 2$, puis on multiplie par 3 : $6x^2 + 9x - 6$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer l'expression $(x - 3)(x + 5)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $x^2 - 8x - 15$
\item[$\square$] $x^2 + 15$
\item[\checkbox{red}] $x^2 + 2x - 15$
\item[$\square$] $x^2 - 15$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(x - 3)(x + 5) = x^2 + 5x - 3x -15 = x^2 + 2x - 15$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer l'expression $(4x - 1)^2$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $16x^2 - 1$
\item[\checkbox{red}] $16x^2 - 8x + 1$
\item[$\square$] $8x^2 - 2x + 1$
\item[$\square$] $4x^2 - 2x + 1$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer l'expression $(2x - 3)(2x + 3)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $4x^2 + 12x + 9$
\item[$\square$] $4x^2 + 6x - 9$
\item[$\square$] $4x^2 - 12x + 9$
\item[\checkbox{red}] $4x^2 - 9$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Produit de deux conjugés : $(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer et réduire l'expression $(x + 2)^2 - (x - 3)^2$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $10x + 13$
\item[$\square$] $4x + 5$
\item[\checkbox{red}] $10x - 5$
\item[$\square$] $2x + 1$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$, $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, donc la différence vaut : $x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 6x + 9) = 10x - 5$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer et réduire l'expression $(2x - 1)(x + 4) - (x + 2)(x - 3)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $2x^2 + 7x - 4 - (x^2 - x - 6)$
\item[$\square$] $x^2 + 4x + 6$
\item[$\square$] $x^2 + 7x + 6$
\item[\checkbox{red}] $x^2 + 7x + 5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$, $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$, donc : $2x^2 + 7x - 4 - (x^2 - x - 6) = x^2 + 7x + 5$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Développer et réduire l'expression $3(x - 2)^2 + 2(x + 1)(x - 1)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $3x^2 - 12x + 12 + 2(x^2 - 1)$
\item[\checkbox{red}] $5x^2 - 12x + 10$
\item[$\square$] $5x^2 - 6x + 11$
\item[$\square$] $5x^2 - 12x + 11$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$, donc $3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$, et $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$, donc $2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2$, au total $5x^2 - 12x + 10$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $6x + 9$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $3(2x + 3)$
\item[$\square$] $3(x + 3)$
\item[$\square$] $6(x + 1,5)$
\item[$\square$] $2(3x + 5)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met 3 en facteur : $6x + 9 = 3(2x + 3)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $4x^2 - 12x$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $2x(2x - 6)$
\item[$\square$] $4(x^2 - 3x)$
\item[$\square$] $2x(2x + 6)$
\item[\checkbox{red}] $4x(x - 3)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$4x^2 - 12x = 4x(x - 3)$ par mise en facteur de $4x$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $x^2 + 6x + 9$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $(x + 9)^2$
\item[$\square$] $(x + 6)^2$
\item[\checkbox{red}] $(x + 3)^2$
\item[$\square$] $x(x + 6)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il s'agit d'un carré parfait : $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $x^2 - 25$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $(x - 5)(x + 5)$
\item[$\square$] $(x - 25)^2$
\item[$\square$] $(x - 5)^2$
\item[$\square$] $x(x - 25)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Différence de deux carrés : $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(x+2)(x+3) - (x+2)(3x-5)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $(x+2)(-2x+8)$
\item[\checkbox{red}] $-2(x+2)(x-4)$
\item[$\square$] $(8x-2)(x+2)$
\item[$\square$] $(x+2)(4x+8)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met $(x+2)$ en facteur : $(x+2)[(x+3)-(3x-5)] = (x+2)(-2x+8) = (x+2)(-2)(x-4)=-2(x+2)(x-4)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(2x-1)(x+4) - (2x-1)(5x+2)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $(2x-1)(5x-2)$
\item[$\square$] $(2x-1)(6x+6)$
\item[\checkbox{red}] $(2x-1)(-4x+2)$
\item[$\square$] $(4x+2)(2x-1)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met $(2x-1)$ en facteur : $(2x-1)[(x+4)-(5x+2)] = (2x-1)(-4x+2)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(x-5)(x+1) - (x-5)(x-3)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $4(x-5)$
\item[$\square$] $(x-5)(2x-2)$
\item[$\square$] $(x-5)(2x +2)$
\item[$\square$] $-4(x-5)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met $(x-5)$ en facteur : $(x-5)[(x+1)-(x-3)] = (x-5)(4)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(6x+9)(x-4)+(2x+3)(x+1)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $(2x+3)(4x-11)$
\item[$\square$] $(2x+3)[4x+11]$
\item[$\square$] $(2x+3)(2x-3)$
\item[$\square$] $(2x+3)(4x-12)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met $(2x+3)$ en facteur après avoir remarqué que $6x+9 = 3(2x+3)$: $(6x+9)(x-4)+(2x+3)(x+1)=(2x+3)[3(x-4)+(x+1)]=(2x+3)(4x-11)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(x+5)(3x-1)+(x+5)(x-2)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $(x+5)(2x+1)$
\item[$\square$] $(x+5)(4x+1)$
\item[$\square$] $(3x-1)(x-2)(x+5)$
\item[\checkbox{red}] $(x+5)(4x-3)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Facteur commun : $(x+5)$, donc on factorise $(x+5)[(3x-1)+(x-2)]=(x+5)(4x-3)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 17

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(3x+2)(x-2)-3(3x+2)(x+2)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $(3x+2)(-2x-8)$
\item[\checkbox{red}] $-2(3x+2)(x+4)$
\item[$\square$] $(x-2)(x+2)(3x+2)$
\item[\checkbox{red}] $2(3x+2)(-x-4)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On met $(3x+2)$ en facteur : $(3x+2)[(x-2)-3(x+2)] = (3x+2)(-2x-8)$. Mais on peut aussi factoriser $-2x-8=-2(x+4)$ ou $-2x-8=2(-x-4)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 18

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(5x+1)(x+3)-2(x-1)(5x+1)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $(5x+1)(2x+2)$
\item[\checkbox{red}] $(5x+1)(-x+5)$
\item[$\square$] $(5x+1)(3x+4)$
\item[$\square$] $(5x+1)(x+2)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On factorise $(5x+1)$ et calcule : $(5x+1)[(x+3)-2(x-1)] = (5x+1)(-x+5)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 19

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Factoriser l'expression $(x+4)(2x-1)-4(x+4)(x+5)$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $(x+4)(6x+19)$
\item[$\square$] $(2x-1)(x+4)$
\item[\checkbox{red}] $(x+4)(-2x-21)$
\item[$\square$] $(x+4)(-2x+5)$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Facteur commun : $(x+4)$, on factorise : $(x+4)[(2x-1)-4(x+5)]=(x+4)(-2x-21)$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 20
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}