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title={#2},#1}



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\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Repérage dans le plan}
\author{Seconde générale}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit A de coordonnées $\coord{2}{3}$ et B de coordonnées $\coord{6}{-1}$. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\coord{8}{2}$
\item[\checkbox{red}] $\coord{4}{1}$
\item[$\square$] $\coord{2}{-2}$
\item[$\square$] $\coord{5}{1}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le milieu M de [AB] a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+6}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = \coord{4}{1}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit A$\coord{1}{2}$ et B$\coord{4}{6}$. Quelle est la distance AB ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\sqrt{26}$
\item[$\square$] $\sqrt{13}$
\item[$\square$] $\sqrt{18}$
\item[\checkbox{red}] $5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La distance $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit les points A$\coord{1}{2}$, B$\coord{4}{6}$ et C$\coord{7}{2}$. Quelle est la nature du triangle ABC ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] C’est un triangle isocèle en B
\item[\checkbox{red}] C’est un triangle rectangle en B
\item[$\square$] C’est un triangle équilatéral
\item[$\square$] C’est un triangle rectangle en A
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
AB = $\sqrt{25} = 5$, BC = $\sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, AC = $6$, donc le triangle est rectangle et isocèle en B car $AB^2 + BC^2 = AC^2$ et $AB = BC$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Le point A$\coord{3}{-2}$ a pour image A' par la symétrie centrale de centre O$\coord{1}{2}$. Quelles sont les coordonnées de A' ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\coord{-1}{6}$
\item[$\square$] $\coord{5}{-6}$
\item[$\square$] $\coord{2}{0}$
\item[$\square$] $\coord{0}{4}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le centre O est le milieu de [AA'], donc on utilise la formule du milieu à l'envers. On cherche A' tel que $1 = \dfrac{3 + x}{2}$ et $2 = \dfrac{-2 + y}{2}$. On résout : $x = -1$, $y = 6$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit A$\coord{-2}{3}$, B$\coord{4}{3}$ et C$\coord{1}{-2}$. Quelle est la nature du triangle ABC ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] C’est un triangle rectangle en C
\item[$\square$] C’est un triangle équilatéral
\item[$\square$] C’est un triangle rectangle isocèle en B
\item[\checkbox{red}] C’est un triangle isocèle en C
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
AB = $6$, AC = $\sqrt{(1-(-2))^2+(-2-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ et $BC=\sqrt{(1-4)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$. On a ainsi $AC=BC$ et l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. Le triangle est donc isocèle en C.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un rectangle a pour sommets A$\coord{1}{2}$, B$\coord{5}{2}$, C$\coord{5}{6}$ et D un point à déterminer. Quelles sont les coordonnées de D ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\coord{1}{6}$
\item[$\square$] $\coord{2}{5}$
\item[$\square$] $\coord{4}{1}$
\item[$\square$] $\coord{6}{6}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Dans un rectangle, diagonales se coupent en leur milieu. Ici, le milieu de [AC] a pour coordonnées $\coord{\frac{5+1}{2}}{\frac{2+6}{2}}=\coord{3}{4}$. C'est aussi le milieu de [BD], donc le point D vérifient les égalités $3=\frac{5+x_D}{2}$ et $4=\frac{2+y_D}{2}$, d'où D\coord{1}{6}.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On considère les points A$\coord{-3}{2}$, B$\coord{1}{6}$ et C$\coord{5}{2}$. Quelle est la nature du triangle ABC ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Équilatéral
\item[$\square$] Rectangle non isocèle
\item[\checkbox{red}] Isocèle et rectangle
\item[$\square$] Aucune de ces réponses
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$AB=\sqrt{(1+3)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$, $AC=\sqrt{(5-(-3))^2+(2-2)^2}=\sqrt{64}=8$ et $BC=\sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$. Donc triangle rectangle isocèle en B.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On considère les points A$\coord{-1}{5}$ et B$\coord{7}{-3}$. Quel sont les coordonnées du symétrique de A par rapport à B ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\coord{3}{1}$
\item[$\square$] $\coord{-7}{13}$
\item[$\square$] $\coord{7}{-1}$
\item[\checkbox{red}] $\coord{15}{-11}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
B est le milieu de [A A'], donc on résout : $7 = \dfrac{-1 + x}{2}$ et $-3 = \dfrac{5 + y}{2}$, d'où $x = 15$, $y = -11$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un triangle ABC est tel que A$\coord{-2}{-1}$, B$\coord{2}{3}$ et C$\coord{0}{1}$. Où se trouve le point M milieu de [AC] ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\coord{-1}{0}$
\item[$\square$] $\coord{0}{2}$
\item[$\square$] $\coord{2}{-1}$
\item[$\square$] $\coord{-2}{1}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On applique la formule du milieu : $x = \dfrac{-2 + 0}{2} = -1$, $y = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Quel est le point du plan qui est à la fois à égale distance de A$\coord{2}{0}$ et de B$\coord{-2}{0}$, et qui a une ordonnée égale à 3 ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\coord{2}{3}$
\item[\checkbox{red}] $\coord{0}{3}$
\item[$\square$] $\coord{-2}{3}$
\item[$\square$] $\coord{1}{3}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Les points équidistants de A et B sont sur la médiatrice du segment [AB]. Comme A et B sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, cette médiatrice est l’axe des ordonnées (abscisse 0). Donc le point est $\coord{0}{3}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 10
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}