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title={#2},#1}



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%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Vecteurs}
\author{Seconde générale}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Quel est le vecteur qui a même direction et même sens que $\vv{AB}$, mais dont la norme est deux fois plus grande ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\dfrac{1}{2}\vv{AB}$
\item[\checkbox{red}] $2\vv{AB}$
\item[$\square$] $-\vv{AB}$
\item[$\square$] $\vv{BA}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Multiplier un vecteur par un réel positif ne change ni sa direction ni son sens, mais modifie sa norme. $2\vv{AB}$ a donc même direction, même sens, mais une norme doublée.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Le vecteur $\vv{u}$ est défini par un segment orienté. Dans ce contexte, que représente l'extrémité de $\vv{u}$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Le point d'arrivée du vecteur
\item[$\square$] Le point de départ du vecteur
\item[$\square$] Le centre du segment associé
\item[$\square$] Le point situé à égale distance des extrémités
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
L'origine d'un vecteur est son point de départ, l'extrémité est son point d'arrivée.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Parmi les affirmations suivantes, laquelle caractérise le mieux la direction d'un vecteur ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] C'est l'inclinaison de la droite qui peut le supporter
\item[$\square$] C'est le point de départ du vecteur
\item[$\square$] C'est la longueur du vecteur
\item[$\square$] C'est le sens de son mouvement
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La direction d'un vecteur correspond à la droite qui porte le vecteur, indépendamment du sens.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ de même direction, mais de sens contraires. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\vv{u} = \vv{v}$
\item[\checkbox{red}] $\vv{u} = -\vv{v}$
\item[$\square$] $\vv{u} + \vv{v} = \vv{u}$
\item[$\square$] $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ont nécessairement la même norme
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Si deux vecteurs ont même direction mais sens contraires et même norme, alors l'un est l'opposé de l'autre : $\vv{u} = -\vv{v}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant la relation de Chasles ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{BA}$
\item[$\square$] $\vv{AB} + \vv{CB} = \vv{AC}$
\item[\checkbox{red}] $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{AC}$
\item[$\square$] $\vv{AB} + \vv{AC} = \vv{BC}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La relation de Chasles s’écrit : $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{AC}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Si $\vv{AI}=\vv{IB}$ alors:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $I$ est le milieu de $[AB]$
\item[$\square$] $A$ est le milieu de $[IA]$
\item[$\square$] $B$ est  le milieu de $[IB]$
\item[\checkbox{red}] $\vv{AB}=2\vv{IB}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
C'est une propriété vectorielle du milieu d'un segment.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Si $\vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$ alors:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $I$ est le milieu de $[AB]$
\item[$\square$] $A$ est le milieu de $[IA]$
\item[$\square$] $B$ est  le milieu de $[IB]$
\item[\checkbox{red}] $\vv{AB}=2\vv{IB}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
C'est une propriété vectorielle du milieu d'un segment.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Si $ABCD$ est un rectangle, alorson a toujours:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\vv{AB}+\vv{CD}=2\vv{BC}$
\item[$\square$] $\vv{AB}+\vv{BC}=\vv{BD}$
\item[\checkbox{red}] $\vv{BC}+\vv{DA}=\vv{0}$
\item[$\square$] $\vv{BC}=2\vv{AB}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\vv{BC}=\vv{AD}=-\vv{DA}$ donc $\vv{BC}+\vv{DA}=\vv{0}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient A\coord{1}{2} et B\coord{4}{-1}. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{3}{-3}$
\item[$\square$] $\dbinom{-3}{3}$
\item[$\square$] $\dbinom{5}{1}$
\item[$\square$] $\dbinom{2}{-1}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\vv{AB}\dbinom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \dbinom{4 - 1}{-1 - 2} = \dbinom{3}{-3}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient les points A\coord{-2}{3} et B\coord{4}{-1}. Quelle est la norme du vecteur $\vv{AB}$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\sqrt{52}$
\item[\checkbox{red}] $\sqrt{6^2 + (-4)^2}$
\item[\checkbox{red}] $\sqrt{(-6)^2 + 4^2}$
\item[\checkbox{red}] $2\sqrt{13}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La norme de $\vv{AB}$ est $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$. Mais c'est aussi la même que celle de $\vv{BA}=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=2\sqrt{13}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient A\coord{2}{1}, B\coord{6}{3}, et C\coord{10}{5}. Les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont-ils colinéaires ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Oui
\item[$\square$] Non
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\vv{AB}\dbinom{4}{2}$ et $\vv{AC}\dbinom{8}{4}$, donc $\vv{AC} = 2\vv{AB}$; ils sont colinéaires.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient les vecteurs $\vv{u}\dbinom{2}{3}$ et $\vv{v}\dbinom{-5}{7}$. Quelles sont les coordonnées de $\vv{u} + \vv{v}$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{-3}{10}$
\item[$\square$] $\dbinom{7}{4}$
\item[$\square$] $\dbinom{-7}{-4}$
\item[$\square$] $\dbinom{3}{-4}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On additionne les coordonnées : $\big(\vv{u} + \vv{v}\big)\dbinom{2 + (-5)}{3 + 7} = \dbinom{-3}{10}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient $\vv{u}\dbinom{-3}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{5}{-2}$. Leur déterminant vaut:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $-4$
\item[$\square$] 16
\item[$\square$] 4
\item[$\square$] $-16$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-3\times(-2)-2\times5=6-10=-4$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Les vecteurs $\vv{u}\dbinom{\sqrt3-1}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{\sqrt3+1}$ sont-ils colinéaires?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Oui
\item[$\square$] Non
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=\big(\sqrt3-1\big)\big(\sqrt3+1\big)-2\times1=3-1-2=0$ donc les vecteurs sont colinéaires.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soient les vecteurs $\vv{u}\dbinom{-5}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{2}$. Pour quelle valeur de $y$ sont-ils colinéaires?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 10
\item[\checkbox{red}] $-10$
\item[$\square$] $\frac52$
\item[$\square$] $-\frac52$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il faut que $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-5\times2-y\times1=-10-y=0$ donc que $y=-10$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 15
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}