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title={#2},#1}



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\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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  		\begin{center}%
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{\'Equations de droites}
\author{Seconde générale}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath La droite $(AB)$ passant par les points $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{5}{-1}$ a pour équation réduite :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $y = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{7}{8}$
\item[$\square$] $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$
\item[\checkbox{red}] $y = -\dfrac{3}{8}x + \dfrac{7}{8}$
\item[$\square$] $y = -\dfrac{3}{8}x - \dfrac{7}{8}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On commence par calculer le coefficient directeur de la droite (AB) : $$m = \dfrac{-1 - 2}{5 - (-3)} = \dfrac{-3}{8}.$$ On utilise ensuite le point $A\coord{-3}{2}$ dans l'équation $y = mx + p$ pour déterminer $p$ :  $$2 = -\dfrac{3}{8} \times (-3) + p \Rightarrow p = 2 - \dfrac{9}{8} = \dfrac{7}{8}.$$ Donc l'équation réduite est $y = -\dfrac{3}{8}x + \dfrac{7}{8}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La droite $(CD)$ passant par les points $C\coord{2}{-4}$ et $D\coord{-6}{2}$ a pour équation réduite :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{2}$
\item[$\square$] $y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$
\item[$\square$] $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$
\item[$\square$] $y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le coefficient directeur est:$$m = \dfrac{2 - (-4)}{-6 - 2} = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4}.$$ On remplace dans $y = mx + p$ avec le point $C\coord{2}{-4}$ : $$ -4 = -\dfrac{3}{4} \times 2 + p \Rightarrow -4 = -\dfrac{3}{2} + p \Rightarrow p = -4 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{2}.$$ Donc l'équation réduite est $y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Le point de coordonnées \coord{-3}{5} appartient-il à la droite d'équation $y=-5x-10$?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Oui
\item[$\square$] Non
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On remplace $x$ dans l'équation réduite de la droite par $-3$: $$y=-5\times(-3)-10=15-10=5.$$On trouve l'ordonnée du point, donc ce point appartient à la droite.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Le point de coordonnées \coord{-\frac13}{10} appartient-il à la droite d'équation $y=9x-7$?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Oui
\item[\checkbox{red}] Non
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On remplace $x$ dans l'équation réduite de la droite par $-\frac13$: $$y=9\times\left(-\frac13\right)-7=-3-7=-10.$$On ne trouve pas l'ordonnée du point, donc ce point n'appartient à la droite.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La droite d'équation $y=-3x+2$ passe par:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] A\coord{0}{2}
\item[$\square$] B\coord{1}{1}
\item[$\square$] C\coord{-1}{-5}
\item[\checkbox{red}] D\coord{-2}{8}
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Si $x=0$, $y=-3\times0+2=2=y_A$ donc $A$ est sur la droite.\newline Si $x=1$, $y=-3\times1+2=-1\neq y_B$ donc $B$ n'est pas sur la droite.\newline Si $x=-1$, $y=-3\times(-1)+2=5\neq y_C$ donc $C$ n'est pas sur la droite.\newline Si $x=-2$, $y=-3\times(-2)+2=8=y_D$ donc $D$ est sur la droite.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un vecteur directeur de la droite d'équation $y=-3x+2$ a pour coordonnées:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{1}{-3}$
\item[$\square$] $\dbinom{3}{-1}$
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{-3}{9}$
\item[$\square$] $\dbinom{-3}{2}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Un vecteur directeur d'une droite d'équation $y=mx+p$ est $\vv{u}\dbinom{1}{m}$ ou tout autre vecteur colinéaire. Ici, cela donne $\vv{u}\dbinom{1}{-3}$, mais comme $\vv{v}=-3\vv{u}\dbinom{-3}{9}$, les vecteurs sont colinéaires et sont donc bien deux vecteurs directeurs de la droite.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A\coord{1}{2}$ et $B\coord{-1}{-2}$ est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $y=2x$
\item[\checkbox{red}] $2x-y=0$
\item[$\square$] $x-2y=0$
\item[$\square$] $x+2y=0$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
\og $y=2x$ \fg{} est une équation réduite de $(AB)$, mais pas cartésienne. Seule $2x-y=0$ convient.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{-1}{-1}$ est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $3x+2y-5=0$
\item[$\square$] $-3x-2y+5=0$
\item[$\square$] $-3x+2y+5=0$
\item[\checkbox{red}] $3x+2y+5=0$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Si $M\coord{x}{y}\in(AB)$, alors $\det\big(\vv{BM},\vv{AB}\big)=0$ soit $\begin{vmatrix}x+1 & 2\\y+1 & -3\end{vmatrix}=0$. En développant, on trouve $-3x-2y-5=0$, soit $3x+2y+5=0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $mx+(2m-1)y+4=0$ une équation cartésienne de droite.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Pour $m=0$, elle est parallèle à l'axe des\newline abscisses.
\item[\checkbox{red}] Pour $m=\frac12$, elle est parallèle à l'axe des\newline ordonnées.
\item[$\square$] Pour $m=-1$, elle est parallèle à la droite d'équation $y=x$.
\item[\checkbox{red}] Le point $A\coord{-8}{4}$ appartient toujours à cette droite.
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\bullet$ Pour $m=0$, l'équation devient $y=4$, équation de droite horizontale, donc parallèle à l'axe des abscisses.\\ $\bullet$ Pour $m=\frac12$, l'équation devient $x=-16$, équation de droite verticale, donc parallèle à l'axe des ordonnées.\\ $\bullet$ Pour $m=-1$, l'équation devient $x+3y+4=0$, soit de vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{-3}{1}$, non colinéaire au vecteur directeur de la droite d'équation $y=x$, de coordonnées $\dbinom{1}{1}$. Donc les droites ne sont pas parallèles.\\ $\bullet$ Si on remplace $x$ et $y$ par $-8$ et 4 dans l'équation, on trouve bien 0, donc $A$ est bien sur toutes les droites, quel que soit $m$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $-5x+2y-7=0$ est un vecteur de coordonnées:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\dbinom{2}{-5}$
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{-2}{-5}$
\item[$\square$] $\dbinom{-7}{5}$
\item[\checkbox{red}] $\dbinom{2}{5}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Un vecteur directeur de la droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\dbinom{-b}{a}$, ou tout vecteur colinéaire à ce dernier.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 10
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}