\documentclass[french]{article}
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-- +(\tcboxedtitleheight-1mm,-\tcboxedtitleheight+1mm)
-- ([xshift=4mm,yshift=0.5mm]frame.north east) -- +(0mm,-1mm)
-- (title.south west) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north west)
-- +(-0.4,0) -- +(0,-0.3) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north east)
-- +(0,-0.3) -- +(0.4,0) -- cycle; },
title={#2},#1}



\usepackage{enumitem}
	\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\bfseries\arabic*}}

\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
  	\begin{minipage}{0.75\linewidth}
  		\begin{center}%
    	{\fontfamily{lmss}\bfseries\selectfont\LARGE \@title \par}%
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      	\lineskip .5em%
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      	\par}%
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  		\par
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    \end{tcolorbox}
    \end{center}}
    

%%%

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\makeatother

%%%
\begin{document}
\title{Raisonnement par récurrence}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath La propriété suivante peut être démontrée par récurrence:$$\forall x\in\R,\ (1+x)^3 > 1 + 3x.$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[$\square$] Vrai
\item[\checkbox{red}] Faux
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La propriété ne dépend pas d'un ENTIER mais d'un R\'EEL. Sa démonstration ne peut donc pas être par récurence (qui ne concerne que les propriétés dépendant d'un entier naturel).
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N*,\ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[\checkbox{red}] Vrai
\item[$\square$] Faux
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N*,\ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[\checkbox{red}] Vrai
\item[$\square$] Faux
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N,\ 10^n+1\text{ est divisible par 9}.$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[$\square$] Vrai
\item[\checkbox{red}] Faux
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $(\mathcal{P}_n)$ une propriété arithmétique dépendant de l'entier $n$.\\ Le \og principe de récurrence \fg{} stipule que si $(\mathcal{P}_0)$ est vraie, et si $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour tout entier naturel $k$, alors $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[$\square$] Vrai
\item[\checkbox{red}] Faux
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Dans l'hérédité, ce n'est pas :\\ \og $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour tout entier naturel $k$ \fg, mais:\\ \og $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour UN entier naturel $k$ arbitrairement fixé. \fg
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5


\newpage
\thispagestyle{fancy}

\item \bgroup\bfseries\boldmath La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N,\ \forall p \in\N,\ n+p^2 \in\N.$$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[$\square$] Vrai
\item[\checkbox{red}] Faux
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f$ est une fonction strictement \textit{croissante} définie sur $[0;5]$. On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=1$ et par la relation de récurrence  $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. On sait que $u_1 > u_0$ et que $u_n\in[0;5]$, quel que soit $n$.\\On peut alors démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[\checkbox{red}] Vrai
\item[$\square$] Faux
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le fait que la fonction soit croissante nous assure que l'on peut démontrer l'hérédité de la propriété, à savoir que la suite est croissante. En effet, dans l'hérédité, $$u_{k+1} > u_k \Rightarrow f(u_{k+1}) > f(u_k) \Rightarrow u_{k+2} > u_{k+1}.$$ 
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f$ est une fonction strictement \textit{décroissante} définie sur $[0;5]$. On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=4$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. On sait que $u_1 < u_0$ et que $u_n\in[0;5]$, quel que soit $n$.\\On peut alors démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item[$\square$] Vrai
\item[\checkbox{red}] Faux
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le fait que la fonction soit décroissante ne permet pas de démontrer l'hérédité de la propriété, à savoir que la suite est décroissante. En effet, $$u_{k+1} < u_k \Rightarrow f(u_{k+1}) > f(u_k) \Rightarrow u_{k+2} > u_{k+1}.$$L'inégalité est inversée.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 8
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}