\documentclass[french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern,microtype}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{multicol}
\usepackage{varwidth}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{numprint}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=black]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
	\pagestyle{fancy}
	\fancyfoot[C]{\fcolorbox{black}{gray!20}{\thepage~/~\pageref{LastPage}}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
	\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
	\fancyfoot[R,L]{\url{https://mathweb.fr}}
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{arrows, calc}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{eurosym}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\tcbset{titre/.style={
	enhanced,
	hbox,
	tikznode,
	left=8mm,
	right=8mm,
	boxrule=0.4pt,
  	colframe=gray,
  	drop lifted shadow=black!50!gray,
  	before=\par\vspace*{5mm},
  	after=\par\bigskip,
  	interior style={
		draw=gray!25,
		top color=gray!10,
		bottom color=white}
	},	
	info/.style = { 
	colframe = white,
	colback=gray!10}
}

\newtcolorbox{consigne}[2][]{
	enhanced,%
	skin = enhancedlast jigsaw,
	attach boxed title to top left = {xshift=-4mm,yshift=-0.5mm},
	fonttitle = \bfseries\sffamily,
	varwidth boxed title = 0.7\linewidth,
	colbacktitle = gray!40,
	colframe = black,
	interior style={top color=gray!30,bottom color=gray!10},
	boxed title style={empty,arc=0pt,outer arc=0pt,boxrule=0pt},
	underlay boxed title={
	\fill[gray] (title.north west) -- (title.north east)
-- +(\tcboxedtitleheight-1mm,-\tcboxedtitleheight+1mm)
-- ([xshift=4mm,yshift=0.5mm]frame.north east) -- +(0mm,-1mm)
-- (title.south west) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north west)
-- +(-0.4,0) -- +(0,-0.3) -- cycle;
\fill[gray!50!black] ([yshift=-0.5mm]frame.north east)
-- +(0,-0.3) -- +(0.4,0) -- cycle; },
title={#2},#1}



\usepackage{enumitem}
	\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\bfseries\arabic*}}

\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
  	\begin{minipage}{0.75\linewidth}
  		\begin{center}%
    	{\fontfamily{lmss}\bfseries\selectfont\LARGE \@title \par}%
    	\vskip .5em%
    	{\large
      	\lineskip .5em%
        \fontfamily{lmss}\selectfont\@author
      	\par}%
    	\vskip 1em%
    	{\fontfamily{lmss}\itshape\selectfont \@date}
  		\end{center}%
  		\par
 		 \vskip 1.5em
    \end{minipage}
    \end{tcolorbox}
    \end{center}}
    
\newsavebox{\tmp@casebox}
\sbox{\tmp@casebox}{$\square$}
\newlength\tmpwidth
\newcommand{\checkbox}[1]{%
	\settowidth{\tmpwidth}{\usebox{\tmp@casebox}}
	$\square$\kern-\tmpwidth\scalebox{1.2}{\color{#1}$\checkmark$\kern-4pt}
}

\makeatother

\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Limites de fonctions}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\dfrac{1}{x+4}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 0
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\dfrac{1}{x+4}$. Alors, $\limite[x<-4]{x}{-4}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $+\infty$
\item[\checkbox{red}] $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{1}{x+4}$ admet:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Une asymptote verticale
\item[\checkbox{red}] Une asymptote horizontale
\item[$\square$] Aucune asymptote
\item[$\square$] Une tangente au point d'abscisse $-4$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-3}$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[\checkbox{red}] 3
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{3x-1}{x^2+x+1}$ admet :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Une asymptote horizontale
\item[$\square$] Une asymptote verticale
\item[$\square$] Deux asymptotes verticales
\item[$\square$] Une infinité d'asymptotes
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{3x^3-1}{x^2+2x+1}$ admet :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Une asymptote horizontale
\item[\checkbox{red}] Une asymptote verticale
\item[$\square$] Deux asymptotes verticales
\item[$\square$] Une infinité d'asymptotes
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-2x+1}$ admet :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Une asymptote horizontale
\item[\checkbox{red}] Une asymptote verticale
\item[$\square$] Deux asymptotes verticales
\item[$\square$] Une infinité d'asymptotes
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{2x+5}{x^2-3x+2}$ admet :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] Une asymptote horizontale
\item[$\square$] Une asymptote verticale
\item[\checkbox{red}] Deux asymptotes verticales
\item[$\square$] Une infinité d'asymptotes
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x+7}{3-x}\right)}=$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $-1$
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $-\infty$
\item[$\square$] $+\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=-2+\dfrac{7}{x^2}$ admet pour asymptote la droite d'équation:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $y=0$
\item[\checkbox{red}] $y=-2$
\item[\checkbox{red}] $x=0$
\item[$\square$] $x=1$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $\limite[x<\pi]{x}{\pi}{\left(\dfrac{1}{1+\cos x}\right)}=$\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\item[\checkbox{red}] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$\forall x\in\R, -1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \iff 0 \leqslant 1+\cos x\leqslant 2$. Le dénominateur est donc positif, et sa limite aussi.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=-5x^3 + 2x-4$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 0
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f(x)=\dfrac{\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\big)\big(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\big)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\item[\checkbox{red}] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f(x)=\dfrac{(x-1)\sqrt{x+1}}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}\sqrt{x+1}$. $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=1$ et $\limite{x}{+\infty}\sqrt{x+1}=+\infty$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-3x+2}}{x-1}$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $-1$
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f(x)=\dfrac{|x|\sqrt{1-\dfrac3x+\dfrac{2}{x^2}}}{x\left(1-\dfrac1x\right)} = \dfrac{-\sqrt{1-\dfrac3x+\dfrac{2}{x^2}}}{\left(1-\dfrac1x\right)}$ pour $x<0$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=-x^2\e^{-x}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 0
\item[$\square$] $-\infty$
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $\e$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f(x)=-\frac{x^2}{\e^x}$: croissante comparée en $+\infty$. La limite vaut 0.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\frac{1}{\e}(x-1)\e^x$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] 0
\item[$\square$] $-\infty$
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $\frac{1}{\e}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f(x)=\e^{-1}(x-1)\e^x=(x-1)\e^{x-1}$ et $\limite{x}{1}{f(x)}=\limite{X}{0}{X\e^X}=0$ (croissance comparée en 0).
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 17

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\frac{\e^x - 1}{x}$. Alors, $\limite{x}{0}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[\checkbox{red}] 1
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
En posant $u(x)=\e^x$ et $x=0+h$, $\limite{x}{0}{f(x)}=\limite{h}{0}{\frac{u(0+h)-u(0)}{h}}=u'(0)=\e^0=1$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 18


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\frac{\e^{x^2-3x+2}-1}{x-1}$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\item[\checkbox{red}] $-1$
\item[$\square$] $+\infty$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
En posant $u(x)=\e^{x^2-3x+2}$ et $h=x-1$, on a $u'(x)=(2x-3)\e^{x^2-3x+2}$ et: \[ \limite{x}{1}{f(x)} = \limite{h}{0}{\frac{u(1+h)-u(1)}{h}}=u'(1)=-1. \]
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 19

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f(x)=\frac{\e^{x^2-1}}{x^2-3x+2}$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $-2$
\item[\checkbox{red}] $-1$
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
En posant $u(x)=\e^{x^2-1}$, $v(x)=x^2-3x+2$ et $h=x-1$, on a: \[ f(x)=\frac{\e^{x^2-1}}{x-1}\times\frac{x-1}{x^2-3x+2}= \frac{u(1+h)-u(1)}{h} \times \frac{h}{v(1+h)-v(1)}. \] Donc, \[ \limite{x}{1}{f(x)}=\limite{h}{0}{\frac{u(1+h)-u(1)}{h}}\times \limite{h}{0}{\frac{h}{v(1+h)-v(1)}}=u'(1) \times \frac{1}{v'(1)} = 1 \times\frac{1}{-1}=-1. \]
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 20
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}