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title={#2},#1}



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%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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  		\begin{center}%
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Logarithme népérien}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Consigne}
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.
\end{consigne}
 % fin de la consigne
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln(a^3b^2) - \ln(ab)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(a^2b)$
\item[$\square$] $\ln(a^3b)$
\item[$\square$] $\ln(a^2b^2)$
\item[$\square$] $\ln(a^3b^2)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln\left(\frac{a^2}{b}\right) + \ln(b^2)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(a^2b)$
\item[$\square$] $\ln(a^2b^2)$
\item[$\square$] $\ln(a^2)$
\item[$\square$] $\ln(b^2)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln\left(\frac{a^3}{b^2}\right) - \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(a^2b)$
\item[$\square$] $\ln(a^2b^{-1})$
\item[$\square$] $\ln(a^2b^2)$
\item[$\square$] $\ln(a^3b^2)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3


\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln(8) + \ln(2)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(10)$
\item[$\square$] $\ln(16)$
\item[$\square$] $\ln(6)$
\item[$\square$] $\ln(4)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln(100) - \ln(10)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(90)$
\item[$\square$] $\ln(10)$
\item[$\square$] $\ln(1000)$
\item[$\square$] $\ln(10)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $3\ln(2) + 2\ln(3)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(12)$
\item[$\square$] $\ln(24)$
\item[$\square$] $\ln(72)$
\item[$\square$] $\ln(36)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\newpage

\item \bgroup\bfseries\boldmath Simplifiez l'expression suivante : $\ln(25) - \ln(5)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\ln(5)$
\item[$\square$] $\ln(20)$
\item[$\square$] $\ln(30)$
\item[$\square$] $\ln(125)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Résolvez l'équation suivante : $\ln(x^2) = \ln(4x - 3)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $x = 1$ ou $x = 3$
\item[$\square$] $x = 0$ ou $x = 4$
\item[$\square$] $x = 2$ ou $x = 5$
\item[$\square$] $x = -1$ ou $x = 3$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Résolvez l'équation suivante : $\ln(x + 1) = \ln(2x - 3)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $x = 4$
\item[$\square$] $x = 2$
\item[$\square$] $x = 0$
\item[$\square$] $x = -1$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Résolvez l'équation suivante : $\ln(x^2 - 1) = \ln(3x + 1)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $x = 2$
\item[$\square$] $x = 3$
\item[$\square$] $x = 4$ ou $x=-1$
\item[$\square$] $x = 4$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Résolvez l'équation suivante : $\ln(x + 5) = \ln(7x - 1)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $x = 1$
\item[$\square$] $x = 2$
\item[$\square$] $x = 3$
\item[$\square$] $x = 0.6$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{2x}{x^2}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13


\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = x \ln(x)$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f'(x) = \ln(x) + 1$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{1}{x}$
\item[$\square$] $f'(x) = \ln(x)$
\item[$\square$] $f'(x) = \frac{x}{\ln(x)}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\newpage

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un phénomène suit une loi de décroissance exponentielle donnée par $N(t) = N_0 \e^{-kt}$. Exprimez $t$ en fonction de $N(t)$ et des autres paramètres :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)$
\item[$\square$] $t = \frac{k}{\ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)}$
\item[$\square$] $t = \frac{k}{\ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}$
\item[$\square$] $t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La population d'une ville croît exponentiellement selon la formule $P(t) = P_0 \e^{kt}$, où $P_0$ est la population initiale, $k$ est une constante et $t$ est le temps en années. Si la population double en 10 ans, trouvez la valeur de $k$ :\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $k = \frac{10}{\ln(2)}$
\item[$\square$] $k = \frac{\ln(2)}{10}$
\item[$\square$] $k = \ln(2)$
\item[$\square$] $k = \frac{1}{\ln(2)}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez $\limite{x}{+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $0$
\item[$\square$] $+\infty$
\item[$\square$] $1$
\item[$\square$] $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 17


\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez $\limite{x}{+\infty}{ \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln(x)} }$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $2$
\item[$\square$] $0$
\item[$\square$] $1$
\item[$\square$] $+\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 18

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez $\limite{x}{2}{\frac{\ln(x^2-3x+4)-\ln2}{x-2}}$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] $\frac12$
\item[$\square$] $-\frac23$
\item[$\square$] $+\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 19

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Calculez $\limite{x}{1}{\frac{x\ln(x)-x}{x-1}}$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] 0
\item[$\square$] 1
\item[$\square$] $-\infty$
\item[$\square$] $+\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin de la question 20
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}