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-- +(0,-0.3) -- +(0.4,0) -- cycle; },
title={#2},#1}



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\setlength{\parindent}{0pt}


%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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  		\begin{center}%
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Convexité}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath $f$ est une fonction convexe sur \intervFF{3}{8} dont la courbe représentative est notée $\mathcal{C}$. Alors, la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 5 est:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] au-dessus de $\mathcal{C}$
\item[\checkbox{red}] en-dessous de $\mathcal{C}$
\item[\checkbox{red}] coupe $\mathcal{C}$ en un point
\item[$\square$] coupe $\mathcal{C}$ en deux points
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f$ est une fonction concave sur \intervFF{1}{4} puis convexe sur \intervFF{4}{10}. Alors, sur \intervFF{1}{10}, la courbe représentative de $f$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] admet aucun point d'inflexion
\item[\checkbox{red}] un point d'inflexion
\item[$\square$] est au-dessus de ses tangentes
\item[$\square$] est en dessous de ses tangentes
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath $f$ est une fonction telle que $f''(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{-3}{0} et $f''(x)\leqslant0$ sur \intervFF{0}{5}. Alors:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $f$ est concave sur \intervFF{1}{2}
\item[\checkbox{red}] $f$ est convexe sur \intervFF{-1}{0}
\item[\checkbox{red}] $f'$ est croissante sur \intervFF{-2}{-1}
\item[$\square$] $f'$ est décroissante sur \intervFF{-1}{1}
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=(x+1)\e^{-x}$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f$ est convexe sur \intervFF{1}{4}
\item[\checkbox{red}] $f$ est concave sur \intervFF{1}{4}
\item[\checkbox{red}] La courbe admet un point d'inflexion
\item[$\square$] La courbe admet deux points d'inflexion
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath La fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=(x^2-3x+2)\e^{x}$:\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] n'admet aucun point d'inflexion
\item[$\square$] admet un point d'inflexion
\item[\checkbox{red}] admet deux points d'inflexion
\item[\checkbox{red}] est concave sur \intervFF{-2}{1}
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f''(x)=(x+2)(x-1)\e^x$ donc s'annule en chageant de signe deux fois et est négative sur \intervFF{-2}{1}.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $f$ la fonction dont on donne la représentation graphique ci-dessous:\input{graphique01.tex}\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f$ est convexe sur \intervFF{1}{4}
\item[\checkbox{red}] $f$ est concave sur \intervFF{1}{4}
\item[\checkbox{red}] La courbe admet un point d'inflexion
\item[$\square$] La courbe admet deux points d'inflexion
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $f$ la fonction dont on donne la représentation graphique ci-dessous:\input{graphique02.tex}\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] n'admet aucun point d'inflexion
\item[$\square$] admet un point d'inflexion
\item[\checkbox{red}] admet deux points d'inflexion
\item[\checkbox{red}] est convexe sur \intervFF{-1}{0}
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Points d'inflexion en $x=0$ et $x=2$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit la fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=x\ln(\e^x+1)$, de courbe représentative $\cal{C}$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $f$ est convexe sur \R
\item[$\square$] $f$ est concave sur \R
\item[$\square$] $\cal C$ admet un point d'inflexion
\item[$\square$] $\cal C$ admet deux points d'inflexion
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $f$ la fonction telle que $f'(x)=(x-2)\e^x$ sur \R. On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $f$ est concave sur \intervFO{1}{+\infty}
\item[\checkbox{red}] $f$ est convexe sur \intervFO{1}{+\infty}
\item[\checkbox{red}] $\cal C$ admet un point d'inflexion
\item[$\square$] $\cal C$ admet deux points d'inflexion
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\frac{\e^x-1}{\e^x+1}$, dont la courbe représentative est notée $\cal C$.\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\cal C$ admet un point d'inflexion
\item[$\square$] $\cal C$ admet deux points d'inflexion
\item[\checkbox{red}] $f$ est concave sur \intervFO{0}{+\infty}
\item[\checkbox{red}] $f$ est convexe sur \intervFO{0}{+\infty}
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
$f''(x)=-\frac{2\e^x\big(\e^x-1\big)}{\big(\e^x+1\big)^3}$
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 10
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}