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%%% redéfinition du titre

\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \begin{center}
  \begin{tcolorbox}[titre]
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\let\frac\dfrac


%%%
\begin{document}
\title{Combinatoire}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Réponses}
Vous trouverez ci-dessous les réponses correctes.
\end{consigne}
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de façons différentes peut-on ordonner les lettres du mot "ALGÈBRE" si toutes les lettres sont distinctes ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $7$
\item[\checkbox{red}] $7!$
\item[$\square$] $6!$
\item[$\square$] $6$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il y a $7$ lettres distinctes, donc le nombre d’arrangements possibles est $7! = \numprint{5040}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de \og mots \fg{} de 3 lettres peut-on faire avec les lettres A, B, C, D, E (pas de répétition de lettres) ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $5^3$
\item[$\square$] $3!$
\item[$\square$] $5!$
\item[\checkbox{red}] $5 \times 4 \times 3$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
C’est un arrangement de 3 éléments parmi 5 sans répétition, soit $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de groupes de 4 élèves peut-on former sur un ensemble de 10 élèves, sans ordre ni répétition ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $10 \times 4$
\item[\checkbox{red}] $\binom{10}{4}$
\item[$\square$] $10^4$
\item[$\square$] $\frac{10!}{4!}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le nombre de combinaisons de 4 éléments parmi 10 est donné par $\binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!(10-4)!} = 210$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On lance deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il de résultats possibles différents pour le couple (résultat du premier dé, résultat du second dé) ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $36$
\item[$\square$] $12$
\item[$\square$] $6$
\item[$\square$] $2 \times 6!$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Chaque dé a 6 issues, et les lancers sont indépendants. Il y a donc $6 \times 6 = 36$ couples possibles.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C si la répétition est autorisée et l’ordre compte ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $3 \times 2 \times 1$
\item[\checkbox{red}] $3^3$
\item[$\square$] $3!$
\item[$\square$] $9!$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On a 3 choix pour chaque lettre, avec répétition, donc $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ mots possibles.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules bleues indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise. Combien de couples différents de boules (rouge ou bleue) peut-on obtenir ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $8 \times 7$
\item[$\square$] $8^2$
\item[\checkbox{red}] $\binom{8}{2}$
\item[$\square$] $\binom{5}{2} + \binom{3}{2}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le nombre total de façons de choisir 2 boules parmi 8 sans remise et sans tenir compte de l’ordre est $\binom{8}{2} = 28$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Dans un club, il y a 6 filles et 4 garçons. Combien de façons peut-on constituer une équipe de 3 personnes comprenant exactement 2 filles et 1 garçon ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\binom{10}{3}$
\item[\checkbox{red}] $\binom{6}{2} \times \binom{4}{1}$
\item[$\square$] $\binom{6}{3} + \binom{4}{3}$
\item[$\square$] $\binom{6}{2} + \binom{4}{1}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On choisit 2 filles parmi 6 et 1 garçon parmi 4 : $\binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60$ équipes possibles.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un mot de passe est composé de 4 lettres choisies parmi les 26 lettres de l’alphabet, sans répétition. Combien de mots différents peut-on former ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $4!$
\item[$\square$] $26^4$
\item[$\square$] $\binom{26}{4}$
\item[\checkbox{red}] $26 \times 25 \times 24 \times 23$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
C’est un arrangement de 4 lettres parmi 26, sans répétition : $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Dans le développement de $(2x - 3)^5$, combien de termes contient l’expression développée et réduite ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $5$
\item[$\square$] $10$
\item[\checkbox{red}] $6$
\item[$\square$] $2^5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il y a $n+1$ termes distincts dans le développement de $(a + b)^n$. Ici, $n = 5$, donc il y a $6$ termes.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath On tire au hasard 3 fois une boule dans une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5, avec remise. Combien d’issues possibles pour ce tirage ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $5^3$
\item[$\square$] $5 \times 4 \times 3$
\item[$\square$] $\binom{5}{3}$
\item[$\square$] $3^5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Chaque tirage offre 5 possibilités, et les tirages sont indépendants (avec remise), donc $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ issues.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de mains de 5 cartes tirées dans un jeu de 32 cartes contiennent exactement 1 roi ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\binom{4}{1} \times \binom{31}{4}$
\item[$\square$] $\binom{4}{1} \times \binom{4}{4}$
\item[\checkbox{red}] $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4}$
\item[$\square$] $\binom{32}{5} - \binom{28}{5}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On choisit 1 roi parmi 4, puis 4 cartes parmi les 28 autres cartes (hors rois), soit $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de mains de 5 cartes ne contenant que des cartes rouges peut-on tirer dans un jeu de 52 cartes ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $2^5$
\item[\checkbox{red}] $\binom{26}{5}$
\item[$\square$] $\binom{52}{5}$
\item[$\square$] $26^5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il y a 26 cartes rouges (cœurs et carreaux), donc on choisit 5 cartes parmi elles : $\binom{26}{5}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 figures (valet, dame ou roi) dans un jeu de 32 cartes ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\binom{12}{3} \times \binom{20}{2}$
\item[$\square$] $\binom{12}{3} \times \binom{20}{3}$
\item[$\square$] $\binom{32}{5}$
\item[$\square$] $\binom{12}{5}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il y a 12 figures (3 par couleur), donc $\binom{12}{3}$ façons de choisir 3 figures, et $\binom{20}{2}$ façons de choisir 2 cartes parmi les autres (cartes non figures).
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien de mains de 5 cartes tirées dans un jeu de 52 cartes contiennent au moins un as ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\binom{4}{1} \times \binom{48}{4}$
\item[$\square$] $\binom{4}{5}$
\item[\checkbox{red}] $\binom{52}{5} - \binom{48}{5}$
\item[$\square$] $4^5$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
On enlève les cas sans aucun as (on tire parmi les 48 cartes restantes) du total des mains : $\binom{52}{5} - \binom{48}{5}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent le nombre de mains de 5 cartes contenant au moins une figure (valet, dame ou roi) dans un jeu de 32 cartes ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\binom{32}{5} - \binom{20}{5}$
\item[$\square$] $12 \times \binom{31}{4}$
\item[\checkbox{red}] $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} \binom{12}{k} \binom{20}{5-k}$
\item[$\square$] $\binom{12}{1} \times \binom{20}{4}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Il y a 12 figures et 20 cartes non figures. \newline Le nombre de mains sans aucune figure est $\binom{20}{5}$, donc celles avec au moins une figure est $\binom{32}{5} - \binom{20}{5}$. \newline On peut aussi sommer les cas avec exactement 1, 2, ..., 5 figures : $$\sum_{k=1}^{5} \binom{12}{k} \binom{20}{5-k}$$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Laquelle ou lesquelles des expressions suivantes donnent un nombre de combinaisons de 3 objets choisis parmi 7, sans tenir compte de l’ordre ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!}$
\item[$\square$] $A_7^3$
\item[$\square$] $3 \times \binom{7}{3}$
\item[\checkbox{red}] $\binom{7}{3}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
La formule du nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 7 est $\binom{7}{3}$. \newline On peut aussi écrire : $\binom{7}{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!}$.  \newline $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5$ correspond à un arrangement, donc avec ordre. Multiplier par 3 ne correspond à aucune logique combinatoire ici.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On dispose de 6 livres différents. Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent un nombre possible de façons de choisir et d'ordonner 4 livres parmi eux ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $A_6^4$
\item[$\square$] $\dfrac{6!}{2!}$
\item[\checkbox{red}] $6 \times 5 \times 4 \times 3$
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{6!}{(6-4)!}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Choisir et ordonner 4 livres parmi 6 revient à un arrangement de 4 éléments parmi 6 : $$A_6^4 = \dfrac{6!}{(6 - 4)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3.$$ La formule $\dfrac{6!}{2!}$ ne correspond à rien de pertinent ici : elle n'a pas de sens combinatoire dans ce contexte.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 17


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath On dispose de 8 personnes. On souhaite former un comité de 3 membres. Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent correctement le nombre de comités distincts possibles ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\binom{8}{3}$
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{8!}{5! \times 3!}$
\item[$\square$] $8 \times 7 \times 6$
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Un comité de 3 personnes parmi 8 est une combinaison, donc sans ordre : $\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{5! \times 3!}$.  \newline On peut aussi écrire : $\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!}$, qui est une écriture équivalente.  \newline $8 \times 7 \times 6$ est un arrangement, donc tient compte de l’ordre, ce qui est faux ici.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 18

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On considère le mot \og STATISTIQUES \fg. Parmi les propositions suivantes, lesquelles permettent de calculer le nombre d’anagrammes différentes de ce mot ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{12!}{3! \times 2! \times 2!}$
\item[$\square$] $12!$
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{12!}{6 \times 4}$
\item[$\square$] $\dfrac{12!}{3! \times 3! \times 2! \times 2!}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le mot contient 12 lettres dont 3 T, 2 S, 2 I, et 4 lettres apparaissant une seule fois, donc le nombre d’anagrammes est $\dfrac{12!}{3! \times 2! \times 2!}=\dfrac{12!}{6\times4}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 19

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Combien y a-t-il d’anagrammes différentes du mot \og RENDEMENT \fg ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{9!}{2! \times 2!}$
\item[$\square$] $9!$
\item[\checkbox{red}] $\dfrac{9!}{4}$
\item[$\square$] $\dfrac{9!}{2!}$
\end{multicols}
\begin{tcolorbox}[info]
Le mot \og RENDEMENT \fg{} contient 9 lettres dont 2 E et 2 N, les autres lettres apparaissant une seule fois, donc le nombre d’anagrammes est $\dfrac{9!}{2! \times 2!}=\frac{9!}{4}$.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate} % fin de la question 20
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}