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%%% redéfinition du titre

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  \newpage
  \null
  \begin{center}
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%%%
\begin{document}
\title{Probabilités, loi binomiale, loi des grands nombres}
\author{Terminale, enseignement de spécialité}
\date{\today}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{consigne}{Consigne}
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.
\end{consigne}
 % fin de la consigne
\begin{enumerate}
\item \bgroup\bfseries\boldmath Laquelle ou lesquelles des expériences suivantes peuvent être modélisées par une loi binomiale ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] Lancer un dé équilibré 5 fois et compter le\newline nombre de fois où on obtient un 6
\item[$\square$] Lancer une pièce 10 fois et compter le nombre\newline de piles obtenues
\item[$\square$] Choisir au hasard 10 élèves et noter leur âge
\item[$\square$] Mesurer 5 fois la masse d’un objet avec une balance imprécise
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 1

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On note X la variable qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,3$. Quelle est la valeur de $P(X = 2)$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\binom{6}{2} \times 0{,}3^4 \times 0{,}7^2$
\item[$\square$] $\binom{6}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^4$
\item[$\square$] $\binom{6}{2} \times 0{,}7^2 \times 0{,}3^4$
\item[$\square$] $\binom{6}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^2$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 2

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 10; p = 0,4)$, alors lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $E(X) = 4$
\item[$\square$] $\sigma(X) = 2,4$
\item[$\square$] $E(X) = 10,4$
\item[$\square$] $\sigma(X) = \sqrt{2,4}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 3

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On note X la variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(5; 0,6)$. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent de calculer $P(X \leqslant 2)$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$
\item[$\square$] $1 - P(X \geqslant 3)$
\item[$\square$] $P(X = 2)$
\item[$\square$] $1 - P(X = 3) - P(X = 4) - P(X = 5)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 4

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une machine produit des pièces avec une probabilité de 0,1 d’être défectueuse. On contrôle un échantillon de 10 pièces. Quelle(s) expression(s) donne(nt) la probabilité d’avoir au plus une pièce défectueuse ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(X = 0) + P(X = 1)$
\item[$\square$] $1 - P(X \geqslant 2)$
\item[$\square$] $1 - P(X = 2) - P(X = 3) - \cdots - P(X = 10)$
\item[$\square$] $P(X \leqslant 1)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 5

\newpage

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un test médical détecte une maladie avec une probabilité de 0,95 si la personne est malade. On teste 8 personnes atteintes, quelle est la probabilité d’avoir exactement 7 tests positifs ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(X = 7)$ avec $X \sim \mathcal{B}(8; 0,95)$
\item[$\square$] $P(X = 1)$ avec $X \sim \mathcal{B}(8; 0,95)$
\item[$\square$] $\binom{8}{1} \times 0,95 \times 0,05^7$
\item[$\square$] $\binom{8}{7} \times 0,95^7 \times 0,05$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 6

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On lance une pièce équilibrée 6 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au plus 2 fois pile ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(X \leqslant 2)$ avec $X \sim \mathcal{B}(6; 0,5)$
\item[$\square$] $1 - P(X \leqslant 2)$
\item[$\square$] $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$
\item[$\square$] $P(X = 3)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 7

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une urne contient des boules rouges et vertes avec une proportion de 0,2 de rouges. On tire 10 fois avec remise. Quelle est l'espérance du nombre de rouges obtenues ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $E(X) = 10 \times 0,8$
\item[$\square$] $E(X) = 0,2$
\item[$\square$] $E(X) = 2$
\item[$\square$] $E(X) = 10 + 0,2$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 8


\bigskip
\item \bgroup\bfseries\boldmath Un joueur a \pourcent{40} de chances de gagner une partie. Il joue 12 parties. Quelle est la variance du nombre de victoires ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $V(X) = 12 \times 0,4 \times 0,6$
\item[$\square$] $V(X) = \sqrt{2,88}$
\item[$\square$] $V(X) = 2,88$
\item[$\square$] $V(X) = \sigma(X)$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 9

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une pièce est lancée 4 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois face ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $\binom{4}{2} \times 0,5^2 \times 0,5^2$
\item[$\square$] $P(X = 1)$ avec $X \sim \mathcal{B}(4; 0,5)$
\item[$\square$] $P(X = 2)$ avec $X \sim \mathcal{B}(4; 0,5)$
\item[$\square$] $\binom{4}{1} \times 0,5^2 \times 0,5^2$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 10

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire indépendante ayant une espérance $E(X) = 5$ et un écart-type $\sigma(X) = 2$. Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies selon la loi des grands nombres et le théorème de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] La moyenne des résultats va nécessairement\newline converger vers 5
\item[$\square$] La moyenne des résultats a de fortes chances\newline d’être proche de 5
\item[$\square$] La moyenne va toujours être inférieure à 5
\item[$\square$] Avec une probabilité élevée, la moyenne s’écarte de 5 de moins de 1 unité
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 11

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On répète $n = 100$ fois une expérience aléatoire avec espérance $E(X) = 50$ et écart-type $\sigma(X) = 10$. On note $\overline{X}$ la moyenne des 100 résultats. Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies d’après le théorème de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right) \leqslant 0,25$
\item[$\square$] Le théorème permet de connaître\newline précisément $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right)$
\item[$\square$] Le théorème s’applique uniquement si la variable suit une loi binomiale
\item[$\square$] $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{10^2}{100 \times 2^2}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 12


\newpage
\item \bgroup\bfseries\boldmath Un fabricant produit en moyenne 120 pièces par heure avec un écart-type de 8. Sur une journée, la production horaire est mesurée pendant 100 heures différentes. On note $\bar{X}$ la moyenne de ces 100 mesures. Quelle(s) estimation(s) peut-on faire selon le théorème de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P\left(\vert \bar{X} - 120 \vert \geqslant 2\right) \leqslant 0,16$
\item[$\square$] $P\left(\vert \bar{X} - 120 \vert \geqslant 4\right) \leqslant 0{,}04$
\item[$\square$] \columnbreak La probabilité que $\bar{X}$ diffère de 120 de plus de 4 est inférieure à 0{,}1
\item[$\square$] Le théorème affirme que $\bar{X}$ est exactement égal à 120
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 13

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une enquête est menée dans $n$ lycées choisis au hasard. Dans chaque lycée, un échantillon de 50 élèves est interrogé pour savoir s’ils pratiquent une activité physique régulière. La variable aléatoire $X_i$ correspond au nombre d’élèves qui répondent \og oui \fg{} dans le lycée $i$, pour $i = 1$ à $n$. On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes, de même espérance $E(X_i) = 28$ et de même variance $V(X_i) = 10,8$. On note $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ la moyenne des $X_i$. Quelle(s) affirmation(s) est (sont) correcte(s) ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $E(M_n) = 28$
\item[$\square$] $V(M_n) = \dfrac{10{,}8}{n}$
\item[$\square$] $\sigma(M_n) = 10{,}8$
\item[$\square$] Pour tout réel $a > 0$, $P(\vert M_n - 28 \vert \geqslant a) \leqslant \dfrac{10{,}8}{n a^2}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 14

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath On considère la variable aléatoire $M_n$ définie comme précédemment, avec $E(M_n) = 28$ et $V(M_n) = \dfrac{10{,}8}{n}$. Quelle est la plus petite valeur de $n$ parmi les propositions suivantes pour lesquelles l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’assurer que\newline $P(27{,}5 < M_n < 28{,}5) \geqslant 0{,}95$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $n = 45$
\item[$\square$] $n = 46$
\item[$\square$] $n = 864$
\item[$\square$] $n = 799$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 15


\bigskip
\item \bgroup\bfseries\boldmath On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi d'espérance $E(X) = 5$ et de variance $V(X) = 20$. On effectue $n$ tirages indépendants de $X$ et on note $\overline{X}_n$ la moyenne des $n$ valeurs obtenues. Pour $n = 40$, quelle(s) est (sont) la ou les affirmations exactes concernant $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1)$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,66$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,4$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,25$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,5$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 16

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une variable aléatoire $X$ suit une loi de moyenne $\mu = 12$ et de variance $V(X) = 9$. On effectue $n = 100$ tirages indépendants de $X$, et on note $\overline{X}_{100}$ la moyenne des 100 valeurs obtenues. Quelle(s) est (sont) la ou les affirmations exactes concernant $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5)$ ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}9$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}75$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}5$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}1$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 17

\newpage

\item \bgroup\bfseries\boldmath Une entreprise produit des capsules de café. Le poids de café contenu dans une capsule, en grammes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que $E(X) = 5{,}3$ et $\sigma(X) = 0{,}2$. On prélève un échantillon aléatoire de $n = 50$ capsules et on note $\overline{X}_{50}$ la masse moyenne mesurée. Que peut-on affirmer d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}2$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}4$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}08$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}04$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 18


\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Dans une réserve naturelle, le nombre de pollens déposés chaque jour sur une surface donnée (en mm²) est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X) = 1200$ et $\sigma(X) = 150$. On effectue des mesures pendant $n = 36$ jours et on note $\overline{X}_{36}$ la moyenne des valeurs observées. Que peut-on affirmer d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}09$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}25$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}01$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}16$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin des propositions de la question 19

\bigskip

\item \bgroup\bfseries\boldmath Un logiciel analyse automatiquement la hauteur moyenne (en Hz) des notes jouées lors de concerts d’un violoniste. On modélise cette hauteur par une variable aléatoire $X$ de moyenne $E(X) = 440$ et d’écart-type $\sigma(X) = 20$. Si l'on mesure cette hauteur sur $n = 100$ concerts, que peut-on affirmer avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?\egroup
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}16$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}25$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}01$
\item[$\square$] $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 10) \leqslant 0{,}04$
\end{multicols}
\end{enumerate} % fin de la question 20
\end{enumerate} % fin du qcm
\end{document}