\chapter{Suites et limites}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants :
\begin{questions}
\item
Pour tout $n$ de $\N$, $u_n = n - n^2$.
\item
Pour tout $n$ de $\N$, $u_n = n(3-\sin(n))$.
\item
Pour tout $n$ de $\N^*$, $u_n = \dfrac{1+\cos(n)}{n}$.
\end{questions}
\end{exointro}


\section{Limite d'une suite}

\subsection{Définitions}

\begin{defin} 
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers un réel $\ell$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang.
\end{defin}
%
\begin{vocab}
On dit alors que la suite $(u_n)$ a pour limite $\ell$, ou encore que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.
\end{vocab}

\begin{defin} 
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) lorsque $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A~;+\infty[$ (respectivement $]-\infty~; A[$) où A est un réel, contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang.
\end{defin}

\begin{Remarque}
certaines suites n'ont pas de limite.
\end{Remarque}
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\subsection{Des limites de référence}

Soit $p$ un entier strictement positif. 

Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, les suites $(n)$, $(n^2)$, $(n^p)$ et $(\sqrt{n})$ définies pour $n\in\N$ ont pour limite $+\infty$.

Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, les suites $\left(\dfrac{1}{n}\right)$, $\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$, $\left(\dfrac{1}{n^p}\right)$ et $\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$ définies pour $n\in\N^*$, ont pour limite 0.


\section{Limite et comparaison}

\begin{thm}[Théorème de comparaison]
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que :
\begin{itemize}
\item pour tout $n$, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n$
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
\end{itemize} 
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

\par  

De m\^eme, si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que :
\begin{itemize}
\item pour tout $n$, à partir d'un certain rang, $u_n \geqslant v_n$
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
\end{itemize} 
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.
\end{thm}

\begin{thm}
Si la suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $\ell$ en $+\infty$, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $\ell$. (Cela signifie que la suite est majorée par $\ell$.)
\end{thm}

\begin{Remarque}
de même, avec une suite décroissante, ses termes sont supérieurs ou égaux à $\ell$ et on dit alors que la suite est minorée par $\ell$ (voir aussi paragraphe suivant).
\end{Remarque}

\begin{thm}[Théorème des gendarmes]
Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que :
\begin{itemize}
\item pour tout $n$, à partir d'un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$, 
\item les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite réelle $\ell$,
\end{itemize}
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
\end{thm}

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\section{Suite majorée ou minorée}


\begin{defin}
Une suite $(u_n)$ est dite \emph{majorée} s'il existe un réel $M$ vérifiant : pour tout $n\in\N$, $u_n\leq M$.
\par
Elle est dite \emph{minorée} s'il existe un réel $m$ vérifiant : pour tout $n\in\N$, $m\leq u_n$.
\par
Une suite réelle à la fois majorée et minorée est dite \emph{bornée}.
%
\end{defin}
\begin{attention}
Un majorant ou minorant est une constante indépendante de $n$.

Par ailleurs, si une suite admet un majorant, elle en admet une infinité, de même pour les minorants.

Par exemple, si une suite est majorée par 5, elle est aussi majorée par 5,5 d'après la définition.
\end{attention}
%
\begin{thm}[Théorème de convergence monotone]
Soit $(u_n)$ une suite croissante.
\begin{itemize}
\item Si $(u_n)$ est une suite majorée, alors $(u_n)$ converge.
\item Sinon, $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize}
\end{thm}
%
%
\begin{Remarque}
de même, si une suite décroissante est \emph{minorée}, elle converge. Sinon elle tend vers $-\infty$.\par
Une suite monotone a donc toujours une limite, \emph{finie ou infinie}. 
\end{Remarque}
%
%
\begin{aretenir}
Toute suite croissante majorée est convergente.\par
Toute suite décroissante minorée est convergente.
\end{aretenir}

On rappelle que pour trouver le sens de variation d'une suite, on peut :
\begin{itemize}
\item Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ : si $u_{n+1}-u_n\geqslant0$ pour tout $n$, $u$ est croissante. 

Si $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ pour tout $n$, $u$ est décroissante. Cette méthode fonctionne dans tous les cas.
\item \emph{Dans le cas d'une suite définie par $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\N$}, la suite a le même sens de variation que $f$ sur $\R_+$ ;
\item \emph{Dans le cas d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs}, on peut comparer à 1 le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ :  si pour tout $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$, la suite est croissante ; si pour tout $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1$, la suite est constante ; si pour tout $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}< 1$, la suite est décroissante.
\end{itemize}


\section{Opérations et limites}

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, $\ell$ et $\ell'$ représentent des réels.


\subsection{Somme et produit}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline\tabulartitle 
 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$ \\
\hline

$\ell$ & $\ell'$ & $\ell + \ell'$ & $\ell \times \ell'$ \\\hline
 
$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
  
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline
 
$ 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& F.I. \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty $ & $+\infty$ & $+\infty$ \\\hline

$+\infty$ & $-\infty $ & F.I. & $-\infty$ \\\hline

$-\infty$ & $-\infty $ & $-\infty$ & $+\infty$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Quotient}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\tabulartitle
 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ \\\hline

$\ell$ & $\ell' \ne 0$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$  \\\hline

$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
 
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline 
 
$0$ & $0$ & F.I. \\\hline
 
$\ell$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} 0 \\ 0 \end{array}$ \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty$ & F.I. \\\hline

$+\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline

$-\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{attention}
Les cases où il est indiqué \og F.I. \fg{} (pour \og Forme Indéterminée \fg) correspondent à des cas d'indétermination. Un changement d'écriture de l'expression est nécessaire pour déterminer la limite (si elle existe).
\end{attention}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, le terme $n - n^2$ donne un cas d'indétermination ; factoriser par $n$ permet alors de transformer l'écriture de $u_n$ et de conclure :
\[ u_n = n(1-n).\]
$n$ tend vers $+\infty$ et $(1-n)$ tend vers $-\infty$, donc par produit on obtient que la suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$.
\item Pour $u_n = n(3-\sin(n))$, le facteur $(3-\sin(n))$ n'a pas de limite en $+\infty$.

Pour tout entier naturel $n$, 
\begin{align*}
-1\leqslant \sin n \leqslant 1 & \Leftrightarrow -1\leqslant-\sin n\leqslant 1\\
& \Leftrightarrow 2 \leqslant 3-\sin n \leqslant 4.
\end{align*}

Donc $3-\sin n\geqslant2$ et en multipliant par $n$ on obtient :
\[ u_n \geqslant 2n.\]


Comme la suite de terme général $2n$ a pour limite $+\infty$, on en déduit, d'après le théorème de comparaison, que la suite $(u_n)$ a aussi pour limite $+\infty$.

\begin{methode}
Dans les situations où interviennent les fonctions sinus et cosinus, penser aux encadrements $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$ et $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$.
\end{methode}

\item Pour tout $n$ de $\N^*$, $-1 \le \cos(n) \le 1$ donc $0 \le 1 + \cos(n) \le 2$, et on en déduit : $0 \le u_n \le \dfrac{2}{n}$.

Comme les suites de terme général $0$ et $\dfrac{2}{n}$ convergent vers 0, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge aussi vers $0$.
\end{questions}
\end{solintro}
%
%

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\endinput
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