\thumb

\begin {vf} {Suite arithmétique} {10}
Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de raison 5 et de premier terme $u_1~=~-28$.

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Il existe un entier $n$ tel que $u_n >n$.
\item
Il existe un entier $n$ tel que $u_1+u_n=\numprint{2009}$.
 \item
 Il existe un entier $n$ tel que $u_nu_{n+1}<0$.
\item
$S_n=u_1+u_2+ ...+u_n=\dfrac{5n^2-63n}{2}$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. On commence par déterminer le terme général de la suite en fonction de $n$.\\
Comme la suite est arithmétique de raison 5 et de premier terme\linebreak[4] $u_1 = -28$, pour tout entier naturel non nul $n$, 
\[ u_n=u_1+(n-1)r=5n-33.\] 
L'inéquation $u_n > n$ équivaut à $5n-33> n$ soit $n >\dfrac{33}{4}$. Comme $n$ est un entier, on en déduit que la plus petite valeur qui convient est 9.

\item
Vrai. On a, pour tout entier naturel non nul, $u_1+u_n= 5n-61$. L'équation $5n-61=\numprint{2009}$ admet pour unique solution $n=414$.

\item
Vrai. Les termes $u_1$ à $u_6$ sont strictement négatifs. \`A partir de $u_7$, tous les termes de la suite sont strictement positifs. Il  existe donc une seule valeur de $n$ pour laquelle $u_n u_{n+1}<0$ : c'est $n=6$.
 
\item
Faux. Pour $n=1$, on obtient $S_1=-29$ et non $-28$.

\begin{Remarque}
en utilisant la  formule donnant la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, rappelée dans le point méthode ci-dessous, on démontre que, pour tout $n\in\N$, $S_n=\dfrac{5n^2-61n}{2}$.
\end{Remarque}
\end{questions}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$, et on montre que cette différence est une constante (ne dépend pas de $n$) appelée \emph{raison} et notée généralement $r$. On a alors $u_n=u_p+(n-p)r$ pour $n$ et $p$ entiers quelconques.
\item De plus, vous avez appris en première que la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule à l'aide de la formule :
\[ S = \dfrac{n(\text{1\ier{} terme}+\text{dernier terme})}{2}.\]
\item Pour montrer qu'une suite est géométrique, on montre que, pour $n$ quelconque, on peut écrire $u_{n+1}$ sous la forme $q\times u_n$, $q$ étant une constante (donc indépendante de $n$).

On a alors $u_n = u_pq^{n-p}$.
\item De plus, vous avez appris en première que la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique se calcule par la formule :
\[S = \text{1\ier{} terme}\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad\text{ou $q$ est la raison de la suite}.\]
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin {vf} {Suites convergentes} {10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Une suite monotone et bornée converge.
\item
Si la suite $(u_n)$ converge vers 0 et si la suite $(v_n)$ est telle que, pour $n \geq 100$, $v_n \leq u_n$, alors la suite $(v_n)$ converge aussi vers 0.
 \item
 Pour qu'une suite converge, il suffit qu'elle soit décroissante et positive.
\item
Si $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (u_{n+1}-u_n) =0$, alors la suite $(u_n)$ converge.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. La suite est monotone donc elle est soit croissante soit décroissante. La suite est bornée donc elle est à la fois majorée et minorée. Or, d'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge et toute suite décroissante et minorée converge.

\item Faux. Considérons la suite $v$ définie pour tout $n$ par $v_n = u_n-1$.

Si la suite $u$ converge vers 0, la suite $v$ converge vers $-1$.

\item
Vrai. Si la suite $(u_n)$ est positive, alors elle est minorée par 0. Si, de plus, elle est décroissante, alors, d'après le théorème de convergence monotone, elle converge. Les conditions énoncées sont bien suffisantes, cependant, elles ne sont absolument pas nécessaires.
 
\item
Faux. Considérons la suite de terme général $u_n=\ln n$. Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, 
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & =\ln (n+1) - \ln n\\
& = \ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\\
\intertext{car pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\ln a-\ln b=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$}
& = \ln\left(\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}\right)\\
& = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) 
\end{align*}

donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (u_{n+1}-u_n) =0$. Cependant la suite $(u_n)$ est divergente.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf} {Convergence et opérations} {10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Si la suite $(u_n+v_n)$ converge alors les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent aussi.
\item Si la suite $(u_nv_n)$ converge alors les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent aussi.
\item Si la suite $(u_nv_n)$ converge vers 0 alors l'une au moins des deux suites $(u_n)$ ou $(v_n)$ converge aussi vers 0.

\item
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite finie $L$, alors il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geq n_0$, $u_n=v_n$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. 
Il suffit de considérer les suites de terme général $u_n=n$ et\linebreak[4] $v_n=-n$. Leur somme est la suite nulle qui est convergente; cependant les deux suites considérées sont divergentes. 
\begin{attention}
Si deux suites sont convergentes, alors leur somme est une suite convergente. La réciproque de ce théorème est fausse.
\end{attention}

\item
Faux. Si on considère les suites de terme général $u_n=n+1$ et $v_n~=~\dfrac{1}{n+1}$. Leur produit est une suite constante donc la suite $(u_n v_n)$ converge alors que la suite $(u_n)$ est clairement divergente.

\item
Faux. Ce n'est pas parce que le produit de deux suites converge vers 0 que l'une au moins des deux suites doit converger vers 0. Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_n=0$ si $n$ est pair et $u_n=1$ si $n$ est impair et la suite $v_n$ définie par $v_n=0$ si $n$ est impair et $v_n=2$ si $n$ est pair. La suite $(u_nv_n)$ converge vers 0 alors que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ne convergent pas vers 0.
 
\item
Faux. Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n+1}$ admettent toutes les deux la même limite finie $L=0$. Or, il n'existe aucun entier $n$ tel que\linebreak $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}$.
\end{questions}
\end{corrige}   

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 4

\begin{vf} {Vrai faux} {10}

On considère une suite $u$ dont aucun terme n'est nul.

On définit alors la suite $v$ par $v_n =-\dfrac{2}{u_n}$.

Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, donner une démonstration, et si elle est fausse, donner un contre-exemple.

\begin{questions}
\item Si $u$ est convergente, alors $v$ est convergente.
\item Si $u$ est minorée par 2, alors $v$ est minorée par $-1$.
\item Si $u$ est décroissante, alors $v$ est croissante.
\item Si $u$ est divergente, alors $v$ est convergente de limite nulle.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Prenons la suite définie pour tout  $n$ entier strictement positif par $u_n =\dfrac{1}{n}$.  Aucun terme de cette suite n'est nul, $u$ converge vers 0, mais $v$ tend vers $-\infty$, donc diverge.

\item Vrai. En effet,
\begin{align*}
u_n\geqslant2 & \Rightarrow 0<\dfrac{1}{u_n}\leqslant\dfrac{1}{2}\quad\text{par passage à l'inverse}\\
& \Rightarrow  0<\dfrac{2}{u_n}\leqslant2\quad\text{par produit par 2}\\
& \Rightarrow -1 \leqslant -\dfrac{2}{u_n}<0 \text{ en prenant l'opposé des 3 termes)}\\
& \Rightarrow -1 \leqslant v_n <0.
\end{align*}

\item Faux. Reprenons la suite $u$ définie sur $\N^*$ par $u_n =\dfrac{1}{n}$.  La suite $u$ est décroissante et la suite $v$ est elle aussi décroissante.

\item Faux. $u$ peut être divergente sans tendre vers l'infini ; par exemple, si $u_n = (-1)^n$, $u$ diverge car elle prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Alors, $v$ diverge aussi car elle prend alternativement les valeurs 2 et $-2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 5

\begin{vf}{Vrai ou Faux}{15}
Pour les questions suivantes, répondre par Vrai ou Faux.
\begin{questions}
\item
Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$, alors, à partir d'un certain rang, toutes les valeurs de la suite $(u_n)$ sont nécessairement supérieures à \numprint{1000000}.
\item
Si, à partir d'un certain rang,  toutes les valeurs de la suite $(u_n)$ sont supérieures à \numprint{1000000}, alors 
$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
\item
Si une suite $(u_n)$ est croissante, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
\item
Si une suite est décroissante et minorée par 0, alors elle converge vers 0.
\item
La suite définie sur $\N$ par $u_n=n^2+3$ est une suite géométrique.
\item
La suite définie sur $\N$ par $u_n=2n+3$ est une suite arithmétique.
\item
$3+4+5+\cdots+\numprint{2002}=\dfrac{\numprint{2000}\times\numprint{2005}}{2}$.
\item
$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{15}=\dfrac{1-2^{15}}{1-2}$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai, d'après la définition des limites infinies donnée dans le cours précédent :
\par 
\emph{On dit que $u$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ et on écrit  :}
\[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty,\]
\emph{si pour tout réel $A$, on a $u_n\in \left[A~;+\infty\right[$ si $n$ est suffisamment grand.}
\par
Il suffit ici de choisir $A=\nombre{1000000}$.

\item
Faux. Considérons par exemple la suite de terme général\linebreak[4] $u_n=\nombre{1000000}+\dfrac{1}{n}$. Pour tout $n\geq 1$, les termes de la suite sont supérieurs à $\nombre{1000000}$ et néanmoins la suite ne tend pas vers l'infini puisque sa limite est $\nombre{1000000}$.

\item
Faux. La suite de terme général $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$ est croissante (il suffit de calculer $u_{n+1}-u_n$ qui est clairement positif) et sa limite est 1.

\item
Faux. La suite de terme général $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ est décroissante, minorée par $0$. Or sa limite est 1.

\item
Faux. Il suffit de calculer les premiers termes de la suite : $u_0=3$, $u_1=4$, $u_2=7$. On constate alors que $u_1=\dfrac{4}{3}u_0$ et $u_2=\dfrac{7}{4}u_1$, ce qui prouve que la suite considérée n'est pas géométrique.

\item
Vrai. Pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}=2(n+1)+3=2n+2+3=(2n+3)+2=u_n+2.\]
La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison 2.

\item
Vrai. Il s'agit de la somme des $\numprint{2000}$ premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1. On applique alors la formule du cours.

\item
Faux. Il s'agit de la somme des $16$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. Le résultat correct est $\dfrac{1-2^{16}}{1-2}$.
\end{questions}

\begin{methode}
Pour montrer qu'une propriété est fausse, il suffit de donner un contre exemple. C'est la démarche qui a été utilisée ici. Ainsi, pour prouver que la proposition \og Si une suite est décroissante et minorée par $0$, alors elle converge vers $0$ \fg, on a construit une suite décroissante, minorée par $0$ et dont la limite n'était pas $0$.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 6 [nouveau 2014]

\begin{exo}{En utilisant les définitions}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{35}
\begin{questions}
\item Voici les définitions explicites de deux suites :
\[
\forall n\in\N,\qquad u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}\qquad\text{et}\qquad v_n=n^2+3n-5.
\]
\begin{questions}
\item En utilisant la définition, prouver que $u$ tend vers 2 et que $v$ tend vers $+\infty$. 
\item \`A partir de quelle valeur de $n$ peut-on assurer  :
\begin{itemize}
\item que $|u_n-2|<10^{-4}$ ?
\item que $v_n>10^4$ ?
\end{itemize}
\end{questions}

\newpage
\item On définit les quatre suites $a$, $b$, $c$ et $d$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
$a_n=\sqrt{\dfrac{6n+1}{2n+3}}\;;$ & 
$b_n=\dfrac{n\sqrt{n}+2}{2n}\;;$\\[10pt]
$c_n=n^3+(-1)^nn^2\;;$ & $d_n=\dfrac{n+(-1)^n}{2n+(-1)^n}.$
\end{tabularx}

En utilisant les théorèmes du cours, déterminer les limites des suites $a$, $b$, $c$, et $d$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item \emph{Pour la suite $u$} : soit l'intervalle $I=]2-r~;2+r[$, centré sur 2, $r$ étant un nombre positif aussi petit que l'on veut.

Cherchons à quelle condition sur $n$ $u_n$ appartient à $I$ (voir page suivante).
\newpage
\begin{align*}
2-r\leqslant u_n\leqslant 2+r & \Leftrightarrow 2-r \leqslant \dfrac{2n+1}{n+2} \leqslant 2+r\\
& \Leftrightarrow (2-r)(n+2) \leqslant 2n+1 \leqslant (2+r)(n+2)\\
\intertext{(car $n+2>0$ pour tout $n\in\N$)}
& \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
n(2-r-2)\leqslant-4+2r+1\\
n(2-2-r)\leqslant4+2r-1
\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
n\leqslant\dfrac{2r-3}{-r}\\[8pt]
n\leqslant\dfrac{2r+3}{-r}
\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
n\geqslant\dfrac{2r-3}{r}\\[8pt]
n\geqslant\dfrac{2r+3}{r}
\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{2r+3}{r}\text{ car }\dfrac{2r-3}{r}<\dfrac{2r+3}{r}\\
& \Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{2r}{r}+\dfrac{3}{r}\\
& \Leftrightarrow n\geqslant 2+\dfrac{3}{r}
\end{align*}

On a montré que tout intervalle contenant 2 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, donc la suite converge bien vers 2.

\Par

\item \emph{Pour la suite $v$} : soit l'intervalle $J=]A~;+\infty[$, $A$ étant un nombre positif aussi grand que l'on veut. 

Cherchons à quelle condition sur $n$ $u_n$ apparient à $J$.

\begin{align*}
u_n>A & \Leftrightarrow n^2+3n-5>A\\
& \Leftrightarrow n^2+3n-5-A>0
\end{align*}

On a un trinôme du second degré.
\[ \Delta=9+4\times(5+A).\]
$A$ étant un nombre positif, $\Delta$ est strictement positif. Soit $x'$ et $x''$ les deux racines, $x'$ étant la plus petite. 
\[ u_n>A \Leftrightarrow n\in]-\infty~;x'[\cup]x''~;+\infty[.\]

Donc $u_n>A$ pour tout $n\in]x''~;+\infty[$.

On a montré qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite appartiennent à $J$, et ce pour toute valeur positive de $A$. Donc la suite tend vers $+\infty$ (et est donc divergente).
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
|u_n-2|<10^{-4} & \Leftrightarrow \left|\dfrac{2n+1}{n+2}-2\right|<10^{-4}\\
& \Leftrightarrow \left|-\dfrac{3}{n+2}\right|<10^{-4}\\& \Leftrightarrow \dfrac{3}{n+2}<10^{-4}\\
& \Leftrightarrow n+2>\dfrac{3}{10^{-4}}\\
& \Leftrightarrow n>\numprint{30000}-2\\
& \Leftrightarrow n>\numprint{29998}.
\end{aligned}$

Donc on a $|u_n-2|<10^{-4}$ à partir de $n=\numprint{29999}$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_n>10^4 & \Leftrightarrow n^2+3n-5>10^4\\
& \Leftrightarrow n^2+3n-5-10^4>0.
\end{aligned}$

$\Delta=\numprint{40029}$. $n$ doit être supérieur à la plus grande des racines, qui vaut environ 98,5. 

Donc c'est à partir de $n=99$ que $v_n>10^4$.
\end{itemize}
\end{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Pour tout $n\in\N$, on a :
\[
\dfrac{6n+1}{2n+3}=\dfrac{6n\left(1+\frac{1}{6n}\right)}{2n\left(1+\frac{3}{2n}\right)}=3\dfrac{1+\frac{1}{6n}}{1+\frac{3}{2n}}.
\]

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{6n}=0$ donc, par somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{6n}\right)=1$ et\linebreak $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{2n}=0$ donc, par somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)=1$.

D'où, par quotient et produit : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6n+1}{2n+3}=3$.

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=\sqrt{3}$.

\item On a, pour tout $n\in\N$ :
\[
b_n=\dfrac{n\sqrt{n}+2}{2n}=\dfrac{n\sqrt{n}}{2n}+\dfrac{2}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2}+\dfrac{1}{n}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{2}=+\infty$ donc, par somme,\\ $\lim\limits_{n\to+\infty} b_n=+\infty$.

\item $n^3-n^2\leqslant c_n \leqslant n^3+n^2$ donc $c_n\geqslant n^2(n-1)$.

\Par 

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2(n-1)=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty} c_n=+\infty$ par comparaison.

\item Pour tout entier $n\geqslant1$, 
\[
n-1\leqslant n+(-1)^n \leqslant n+1\quad\text{et}\quad 2n-1\leqslant 2n+(-1)^n\leqslant 2n+1\;,
\] donc :
\[
\dfrac{1}{2n+1}\leqslant \dfrac{1}{2n+(-1)^n}\leqslant\dfrac{1}{2n-1}\text{ (par passage à l'inverse)}\;,
\]
d'où :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}\leqslant d_n\leqslant \dfrac{n+1}{2n-1}\text{ (par produit de réels positifs)}.
\]
De plus, pour tout entier $n\geqslant1$, on a :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ donc, par somme, produit et quotient, on a successivement :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1\;,\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\text{ et }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}.
\]
De m\^eme, 
\[ 
\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1-\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}\;,
\]
ce qui donne, d'une façon analogue, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{1}{2}$.

Donc, en utilisant le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} d_n=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 7

\begin{exo}{Suites monotones}{Lycée Carnot, Dijon}{1}{10}

Soit $(u_n)_{n \in {\N}}$ la suite réelle définie par :
$
u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}
$.
\begin{questions}
\item Cette suite est-elle croissante ou décroissante ?
\item Est-elle convergente ? Si oui, préciser sa limite.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a :\label{ex7q1}
\[
\begin{aligned}
u_n&= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)
\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
\end{aligned}
\]
Or, la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante et à valeurs 
positives, donc la suite 
${n\mapsto \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ est croissante à valeurs (strictement) positives.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ -- son inverse -- est décroissante.
\item On sait \emph{a priori} que la suite est convergente. En effet, $(u_n)$ est décroissante et minorée par zéro. Mais cela ne donne pas la valeur de la limite, qui est obtenue ici de façon directe grâce à la forme obtenue dans la question \refitem{ex7q1} : \emph{(suite page suivante)}
\par
on a  $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$, d'où  
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)=+\infty$, et donc la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 8 : ex type p 209

\begin{exo}{Limites de suite}{Lycée  Henri IV, Paris}{1}{10}
On définit la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ par :
$
\left\{
\begin{aligned}
u_0&=1 \\
u_{n+1}&=u^2_n+u_n+1, 
\quad
n \in \N
\end{aligned}
\right.
$
\begin{questions}
\item Démontrer que la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ est croissante.
\item Montrer que pour tout $n$, $u_n\geq n+1$.
\item Déterminer la limite de $(u_n)_{n \in {\N}}$, en proposant deux méthodes.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{chap1ex8-1}
Pour tout entier naturel $n$, on a \ $u_{n+1}-u_n=u^2_n+1$. \\ 
Comme, pour tout entier naturel $n$,  $u^2_n+1>0$, il en résulte que $(u_n)$ est strictement croissante.

\item 
L'inégalité demandée peut s'établir à l'aide d'un raisonnement par récurrence que nous laissons au soin du lecteur (voir chapitre 2).
\Par
Il peut aussi s'établir par une méthode parfois appelée \og sommes télescopiques \fg ou \og addition en cascade \fg.\\
Pour tout $n\geq 0$ entier : 
\[
\left\{
\begin{array}{rcccc}
u_{n}-u_{n-1} & = & u^2_{n-1}+1 & \geq & 1 \\[8pt]
u_{n-1}-u_{n-2} & = & u^2_{n-2}+1 & \geq & 1 \\
 &\vdots &   &\vdots  &  \\
u_2-u_1 & = & u_1^2+1 & \geq & 1\\[8pt]
u_1-u_0 & = & u_0^2+1 & \geq & 1
\end{array}
\right.
\]
En sommant membre à membre et après simplification, il vient :\linebreak[4]  $u_{n}-u_{0}\geq n$, soit $u_n\geq n+1$.

\item 
\begin{itemize}
\item 1\iere{} méthode. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(n+1\right)=+\infty$, donc d'après le théorème de limite par comparaison :
\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.\]

\item 2\ieme{} méthode. La suite étant croissante (question \refitem{chap1ex8-1}), elle admet une limite finie ou infinie. Supposons que $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ soit un réel $\ell$, on a bien sûr $\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1}=\ell$, mais aussi :

\[
\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty} \left((u_n)^2 + u_n+1\right) = \ell^2 + \ell + 1.\]
Le réel $\ell$ serait donc solution de l'équation $x^2 + x + 1 = x$.

Or, cette équation est équivalente à $1+x^2=0$ qui n'a pas de solution réelle. Donc un tel réel $\ell$ ne peut exister.

Conclusion : 
$(u_n)$ est croissante et non convergente ; par conséquent, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec des sinus}{Lycée Notre dame de Grandchamp, Versailles}{1}{20}
La suite $u$ est définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n^2-3\sin(n)}{n^2+1}$.
\begin{questions}
\item Prouver que, pour tout entier naturel $n$, 
\[
\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.
\]

En déduire la limite de la suite $u$.

\item
\begin{questions}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, 
\[
\dfrac{-5}{n^2+1}\leqslant u_n-2\leqslant\dfrac{1}{n^2+1}.
\]
\item \`A partir de quel rang $N$ est-on certain que pour tout $n\geqslant N$, la distance entre $u_n$ et 2 soit inférieure à $10^{-3}$ ?
\item A-t-on pour tout entier $n\geqslant N$, $u_n\leqslant 2$ ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{ch1ex9q1} On sait que : $-1\leqslant \sin(n) \leqslant1$,
 quelle que soit la valeur de $n$. 
 
Donc, pour tout $n\in\N$ :
\[ 
-3\leqslant-3\sin(n)\leqslant3\quad\text{(par produit par }-3)\;,
\] 
d'où :
\[
2n^2-3\leqslant 2n^2-3\sin(n)\leqslant2n^2+3\text{ (en ajoutant $2n^2$ aux trois nombres)}.
\]

On a donc, en divisant l'encadrement précédent par le réel strictement positif $n^2+1$, pour tout $n\in\N$ : 
\[ \dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.\]

Pour tout $n\in\N$,

\[
\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=\dfrac{2n^2\left(1-\frac{3}{2n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=2\dfrac{1-\frac{3}{2n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc, par produit et somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{2n^2}\right)=1$.

De m\^eme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=1$.

D'où, par quotient et produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=2$.

Par un procédé analogue, on a : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}=2$.

\Par

Donc, en utilisant le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2$.

\item
\begin{questions}
\item On sait que pour tout $n\in\N$ : $\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}$.

Donc, pour tout $n\in\N$, \[ \dfrac{2n^2-3}{n^2+1}-2\leqslant u_n-2\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}-2.\]
En s'aidant de ce qui a été fait dans la question \refitem{ch1ex9q1}, on a pour tout $n\in\N$ :
 \[\dfrac{-5}{n^2+1}\leqslant u_n-2\leqslant\dfrac{1}{n^2+1}.\]
 
\item Si $u_n-2>0$, $|u_n-2|=u_n-2$ et donc $|u_n-2|\leqslant\left|\dfrac{1}{n^2+1}\right|$.

Si $u_n-2<0$, $|u_n-2|=-(u_n-2)$ et donc $|u_n-2|\leqslant\dfrac{5}{n^2+1}$ (on prend les opposés des deux expressions de gauche dans la double inégalité ci-dessus).

De plus, $\dfrac{5}{n^2+1}>\dfrac{1}{n^2+1}$ donc si on choisit $n$ tel que $\dfrac{5}{n^2+1}$ soit inférieur à $10^{-3}$, on sera sûr que la distance de $u_n$ à 2 sera aussi inférieure à $10^{-3}$.
\[
\dfrac{5}{n^2+1}<10^{-4} \Leftrightarrow n^2+1>\numprint{5000}\Leftrightarrow n^2>\numprint{4999}.
\]

$n$ étant un entier positif, on a donc $n>\sqrt{\numprint{4999}}$ ; or, $\sqrt{\numprint{4999}}\approx70,7$ à $10^{-1}$ près. Il faut donc prendre 
$n\geqslant71$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_n\leqslant2 & \Leftrightarrow u_n-2 \leqslant 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2n^2-3\sin(n)}{n^2+1}-2 \leqslant 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{-3\sin(n)-2}{n^2+1}\leqslant 0\\
& \Leftrightarrow -3\sin(n)-2\leqslant0\\
& \Leftrightarrow \sin(n)\geqslant-\dfrac{2}{3}.
\end{aligned}$

Or, $\sin(4) < -0,75$ à $10^{-2}$ près, donc $\sin(4)<-\dfrac{2}{3}$, donc on n'a pas toujours $u_n\leqslant 2$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec une somme}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{20}
Soit, pour tout $n\in\N^*$ : $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}$.
\begin{questions}
\item Établir le sens de variation de la suite $u$.
\item Démontrer que pour tout $p\geqslant 2$, $\dfrac{1}{p^2}\leqslant\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}$.\label{ex10q2}
\item
\begin{questions}
\item Prouver que pour tout $n\geqslant 1$, $u_n\leqslant2-\dfrac{1}{n}$, en utilisant la question \refitem{ex10q2}.
\item Prouver que la suite $u$ converge.
\item En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_9$, puis de $u_{10}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{ch1ex10q1}Pour tout $n\in\N^*$, 
\[ u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{k=n+1}\dfrac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{(n+1)^2}.\]

Donc, $u_{n+1}-u_n>0$, et la suite est alors croissante.

\item \label{ch1ex10q2} Pour tout $p\geqslant2$, 
\[
\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{p-(p-1)}{p(p-1)}=\dfrac{1}{p^2-p}.
\]

Or, $p^2-p<p^2$ donc $\dfrac{1}{p^2-p}>\dfrac{1}{p^2}$.

On a donc bien $\dfrac{1}{p^2}\leqslant\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}$.

\item
\begin{questions}
\item \label{ch1ex10q2a}$u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}$ donc, d'après la question \refitem{ch1ex10q2},
\[ 
u_n\leqslant\sum_{k=2}^{k=n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)+1.
\]
Or,
\[
\hspace*{-2em}\sum_{k=2}^{k=n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right) = \left(\dfrac{1}{2-1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3-1}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right).
\]
Dans cette somme, seul le premier terme (1) et le dernier $\left(\dfrac{1}{n}\right)$ ne vont pas s'annuler deux à deux.

On a donc bien $u_n\leqslant2-\dfrac{1}{n}$.

\item La suite est croissante (question \refitem{ch1ex10q1}) et majorée par 2 d'après le \refitem{ch1ex10q2a}, donc elle converge.

\item $u_9\approx1,540$ et $u_{10}\approx1,550$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% ex 11
\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée Monet, Paris}{2}{20}
On considère la suite $u$ définie sur $\N^*$ par :
\[
u_n=\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{i}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
\]
On se propose d'étudier le comportement à l'infini de cette suite.

\subsubsectionnn{Partie A -- Approche à l'aide d'un algorithme}

\begin{questions}
\item On souhaite construire un algorithme permettant de calculer $u_n$ pour tout entier $n\geqslant 1$.

On propose pour cela l'algorithme incomplet ci-dessous. Le compléter de façon à obtenir la valeur de un pour tout entier $n\geqslant 1$.

\begin{algorithme}
Entrée

\qquad Saisir un entier naturel non nul n.

Initialisation

\qquad Affecter à u la valeur 0

Traitement

\qquad Pour i allant de ... à ..., Faire

\qquad\qquad Affecter à u la valeur u + ...

\qquad Fin pour

Sortie

\qquad Afficher u
\end{algorithme}

\item Programmer l'algorithme et donner les valeurs approchées de $u_{10}$, $u_{20}$, et $u_{100}$.
\item Conjecturer le comportement à l'infini de la suite $u$.
\end{questions}
\newpage

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item  Soit $n$ un entier, $n \geqslant1$. Justifier que pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant n$, on a : $\dfrac{1}{\sqrt{i}}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $u_n\geqslant\sqrt{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $u$.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A -- Approche à l'aide d'un algorithme}
\begin{questions}
\item 
\raisebox{-1.5em}{%
\begin{algorithme}
Pour i allant de 1 à n\\
\qquad Affecter à u la valeur u + $\dfrac{1}{\sqrt{i}}$.
\end{algorithme}}

\item Voici le programme :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily\arraybackslash}Sl|>{\ttfamily\arraybackslash}Sl|}
\hline\tabulartitle
TI & CASIO\\
\hline
PROGRAM:ABC & ==== ABC ====\\
:Prompt N & "N="?$\rightarrow$N\\
:0$\to$U & 0$\rightarrow$U\\
:For(I,1,N) & For 1$\rightarrow$I To N\\
:U+1/\raisebox{0.3em}{$\sqrt{}$}(I)$\to$U & U+1$\div$\raisebox{0.3em}{$\sqrt{}$}I$\rightarrow$U\\
:End & Next\\
:Disp U & U\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On obtient $u_{10}\approx5,021$, $u_{20}\approx7,595$, et $u_{100}\approx18,590$ à $10^{-3}$ près.

\item Au vu de ces valeurs, on peut penser que la suite tend vers $+\infty$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
1\leqslant i\leqslant n & \Rightarrow \sqrt{1}\leqslant\sqrt{i}\leqslant\sqrt{n} \text{ car la fonction racine carrée est croissante}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{i}} \text{ car la fonction inverse est décroissante sur }\R_+^*
\end{aligned}$

\item $u_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Ainsi, d'après la question précédente,
\[ 
u_n\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}\qquad\text{soit :}\qquad u_n\geqslant n\times\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.
\]
On a donc bien $u_n\geqslant\sqrt{n}$.

\item Par comparaison, on sait donc que la suite tend vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 12 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Interpréter un algorithme}{Lycée La Bruyère, Versailles}{3}{45}
\begin{questions}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad Saisir un réel strictement positif a
\qquad Saisir un réel strictement positif b
\qquad Saisir un entier naturel non nul N
Initialisation
\qquad Affecter à u la valeur a
\qquad Affecter à v la valeur b
\qquad Affecter à n la valeur 0
Traitement
\qquad Tant que n $<$ N
\qquad\qquad Affecter à n la valeur n + 1
\qquad\qquad Affecter à u la valeur $\dfrac{a+b}{2}$
\qquad\qquad Affecter à v la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$
\qquad\qquad Affecter à a la valeur u
\qquad\qquad Affecter à b la valeur v
\qquad Fin du Tant que
Sortie
\qquad Afficher u, afficher v
\end{algorithme}

\Par

Compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a=3$, $b=7$, et $N=2$. 

Les valeurs seront arrondies au millième.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ & $v$\\
\hline
0 & 3 & 7 & & \\\hline
1 &   &   &  &  \\\hline
2 &   &   &  &  \\\hline
\end{tabularx}
\end{questions}

\newpage

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0<a<b$.

On considère les suites $u$ et $v$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$  et, pour tout entier naturel $n$ :
\[
u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\qquad;\qquad v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}.
\]

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ et $v_n>0$.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item Pour un entier naturel $n$ donné, que représentent les valeurs affichées par l'algorithme ?
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}^2-u_{n+1}^2 = \left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant v_n$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que la suite $u$ est croissante.
\item Donner le sens de variation de la suite $v$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que les suites $u$ et $v$ sont convergentes.
\item Sans chercher à déterminer les limites de $u$ et $v$, montrer que ces limites sont égales (on pourra utiliser l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$).
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le tableau complété est le suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle 
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ & $v$\\
\hline
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ & $v$ \\\hline
0 & 3 & 7 & 3   & 7  \\\hline
1 & 5 & 5,385 & 5 & 5,385 \\\hline
2 & 5,193 & 5,196 & 5,193 & 5,196\\\hline
\end{tabularx}

\item Pour $n$ donné, les valeurs affichées sont les valeurs de $u_n$ et $v_n$.

\item
\begin{questions}
\item\label{ch1ex12q1a} Pour tout $n\in\N$, $\begin{aligned}[t]
v_{n+1}^2-u_{n+1}^2 & = \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2\\
& = \dfrac{2u_n^2+2v_n^2-u_n^2-2u_nv_n-v_n^2}{4}\\
& = \dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{4}\\
& = \left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2.
\end{aligned}$

\item 
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a : $u_0=a$ et $v_0=b$. Or, par hypothèse, $a<b$ donc on a bien $u_0<v_0$.

\item D'après la question \refitem{ch1ex12q1a}, pour tout $n\in\N$, on a :
\[
\left(v_{n+1}-u_{n+1}\right)\left(v_{n+1}+u_{n+1}\right)=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2.
\]
L'énoncé admet que pour tout $n\in\N$, $u_n>0$ et $v_n>0$ ; ainsi, $(v_{n+1}+u_{n+1})>0$.

Comme $\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2\geqslant0$ pour tout $n$, il en résulte que \linebreak$v_{n+1}-u_{n+1}\geqslant0$ pour tout $n$. Soit $u_n\leqslant v_n$ pour tout entier $n\geqslant1$.

\item En vertu des deux points précédents, on a l'inégalité $u_n\leqslant v_n$ pour tout entier $n\in\N$.
\end{itemize}
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour tout $n\in\N$, $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & =\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n\text{ (par définition de $u_n$)}\\
& = \dfrac{u_n+v_n-2u_n}{2}\\
& =\dfrac{v_n-u_n}{2}.
\end{aligned}$.

Or, pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant v_n$ d'après la question précédente, donc pour tout $n\in\N$,  $u_{n+1}-u_n\leqslant0$, ce qui prouve que la suite $u$ est croissante.

\item Pour tout $n\in\N$, on  a, d'après la définition de $v_n$ :
\[
v_{n+1}^2-v_n^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-v_n^2.
\]

D'où : 
\begin{align*}
\left(v_{n+1}-v_n\right)\left(v_{n+1}+v_n\right) & 
=\dfrac{u_n^2+v_n^2-2v_n^2}{2}\\
& =\dfrac{u_n^2-v_n^2}{2}\\
& = \dfrac{\left(u_n-v_n\right)\left(u_n+v_n\right)}{2}.
\end{align*}

Or, comme tous les $v_n$ sont positifs, on a $v_{n+1}+v_n>0$ et les $u_n$ aussi donc $u_n+v_n>0$.

$v_{n+1}-v_n$ a donc le m\^eme signe que $u_n-v_n$, c'est-à-dire négatif car $u_n\leqslant v_n$.

$v_{n+1}-v_n\leqslant0$ pour tout $n$ traduit bien que $v$ est une suite décroissante.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On a : $u_0\leqslant u_1\leqslant\cdots\leqslant u_n\leqslant v_n\leqslant \cdots\leqslant v_1\leqslant v_0$.

Par conséquent, la suite $u$ est croissante et majorée par $v_0$ ; elle est donc convergente. De même, la suite $v$ est décroissante et minorée par $u_0$ ; elle est donc convergente.


\item Soit $L$ la limite de la suite $u$ et $L'$ celle de la suite $v$.
On a :
\[
\lim_{n\to+\infty} u_n=\lim_{n\to+\infty} u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n+v_n}{2}.
\]
Ainsi, $L=\dfrac{L+L'}{2}$, ce qui prouve bien que $L=L'$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
 \endinput
