\thumb

\begin {vf} {Convergence de suites} {10}
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites numériques définies sur $\N$. Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{questions}
\item Si $u_0 = 3$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = 0,5$\;, alors la suite $(u_n)$ converge vers 0.
\item Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $0,5$\;, alors elle converge\linebreak vers $0$.
\item Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$, alors elle diverge\linebreak vers $+\infty$.
\item Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $-3$, alors elle n'a pas de limite en $+\infty$.
\item Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $-2$, et $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$, alors la suite de terme général $u_n \times v_n$ converge.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Le rapport $\dfrac{u_2}{u_1}$ ne donne aucun renseignement sur le terme général de la suite. Par exemple, la suite définie par $u_0 = 3$, $u_1 = 2$, $u_2 = 1$ et $u_n = n$ pour tout $n \ge 3$ vérifie les conditions mais ne converge pas vers $0$. Ceci ne serait vrai que si on savait que la suite est géométrique, ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé.
\item Faux. Le terme général de la suite est $u_n = u_0 +0{,}5n$. Cette suite arithmétique diverge vers $+\infty$.
\item Faux. $(3^n)$ a bien pour limite $+\infty$, mais la limite de la suite géométrique dépend du signe de $u_0$ et peut-être de $-\infty$ si $u_0 < 0$ et égale à 0 si $u_0=0$.
\item Vrai. La suite prend alternativement des valeurs positives et négatives, de plus en plus grandes en valeur absolue, donc n'a pas de limite.
\item Vrai. $u_n = u_0(-2)^n$ et $v_n = v_0 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$, donc $u_n \times v_n = u_0 \times v_0 \times \left( \dfrac{-2}{3} \right) ^n$. Comme $\left\lvert \dfrac{-2}{3} \right\rvert < 1$, la suite géométrique produit converge vers $0$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 2

\begin {vf} {Terme $u_{n+1}$ fonction de $n$ et $u_n$} {10}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=nu_n$.
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
\item
La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
 \item
 Pour tout entier naturel $n \ge 2$, $u_n=1\times 2\times 3\times \dots \times (n-1)$.
\item
La suite $(u_n)$ diverge.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. On a $u_1=1$, $u_2=1$, donc si $(u_n)$ avait été une suite géométrique, on aurait $u_3=1$. Or, $u_3=2$.

%Dans la formule d'une suite géométrique $u_{n+1}=qu_n$, $q$ désigne une constante. 

\item
Faux. On remarque que $u_2=u_1=1$. La suite n'est donc pas strictement croissante. Cependant, elle est croissante.

\item
Vrai. Ce résultat se démontre par récurrence.\\ 
L'égalité est vérifiée pour $n=2$.\\
Si, pour un entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on a :\\
 $u_k=1\times 2\times 3 \times \dots \times (k-1)$, alors comme $u_{k+1}=ku_k$, on obtient\linebreak[4]
 $u_{k+1}=1\times 2\times 3 \times \dots \times (k-1) \times k$, ce qui permet de montrer l'hérédité.
 
\item
Vrai. On a, pour tout entier naturel $n \ge 2$, $u_n \ge 1$ car :\\
 $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n-1) \ge 1$. Donc pour tout $n \ge 2$, $u_n\ge n-1$ car $u_n = (n-1)u_{n-1}$. D'après le théorème de comparaison, on a bien $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. La suite diverge.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 3

\begin {vf} {Suite du type $u_{n+1}=f(u_n)$ (1)} {10}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;+\infty[$ par $f(x)=x\ln x$ et $(u_n)$ la suite définie par la donnée de son premier terme $u_0$ tel que $u_0 > \nep$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Pour tout entier naturel $n$, $u_n > \nep$.
\item
La suite $(u_n)$ est croissante.
 \item
 L'équation $f(x)=x$ admet deux solutions 0 et $\nep$.
 \item
 La suite $(u_n)$ converge.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. Ce résultat se démontre par un raisonnement par récurrence. On sait par hypothèse que $u_0 > \nep$. De plus, si, pour un entier $k$ fixé, on a $u_k > \nep$ alors $\ln u_k >1$ et par suite, $u_k \ln u_k > \nep$ soit $u_{k+1} > \nep$.

\item Vrai. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n= u_n ( \ln u_n -1)$. Comme on a établi à la première question que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > \nep$, on en déduit que $u_{n+1}-u_n > 0$ donc la suite est strictement croissante.

\item Faux. L'équation admet pour unique solution le nombre $\nep$. La fonction $f$ n'est pas définie en 0.
 
\item Faux. Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$, comme pour tout entier naturel $n$, $u_n > \nep$, on aurait, d'après le théorème de compatibilité de l'ordre et de la limite, $L \geq \nep$.
De plus la suite extraite $(u_{n+1})$ convergerait aussi vers $L$. Comme la fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition, $L$ vérifierait l'égalité $L=L \ln L$. Or d'après la question précédente, cette équation admet pour unique solution le nombre $\nep$, ce qui engendre une contradiction puisque $u_0> \nep$ et la suite est strictement croissante. On peut donc en déduire que la suite $(u_n)$ diverge.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 4

\begin {qcm} {Suite définie par récurrence} {10}
On considère la suite définie par récurrence sur $\N$ par $u_0 = -2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n +1$.\\
Pour chaque question, désigner la bonne réponse :

\begin{questions}
\item La suite $(u_n)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix arithmétique &	\choix géométrique &
\choix aucun des deux
\end{tabularx}
	

\item On peut définir une suite géométrique $(v_n)$ par la relation : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $v_n = u_n -1$ & \choix $v_n = 2u_n+2$ &	\choix $v_n = 2u_n$
\end{tabularx}
	

\item La suite $(u_n)$ :\\  \resetchoix
	\choix converge vers 2  \\
	\choix admet $+\infty$ comme limite  \\
	\choix admet $-\infty$ comme limite \\
	
\item La suite $(w_n)$ est définie par la même relation de récurrence que $(u_n)$, c'est-à-dire $w_{n+1} = 2w_n+1$, mais son terme initial vaut $-1$. Alors la suite $(w_n)$ : \\ \resetchoix
	\choix converge vers $0$\\
	\choix converge vers $-1$\\
	\choix n'est pas convergente
\end{questions} 
\end{qcm}
\resetchoix

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c] : la suite est arithmético-géométrique.
\item \label{ex4n2} Réponse \choix[b] : $ v_{n+1} = 2 u_{n+1} +2 = 2(2u_n +1) +2 = 2(2u_n+2) = 2v_n $.
\item Réponse \choix[c] : la suite $(v_n)$ du~\refitem{ex4n2} est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = -2$. Elle a donc pour limite $-\infty$. 

Comme $u_n = \dfrac{v_n-2}{2}$, $(u_n)$ a donc aussi pour limite $-\infty$.
\item Réponse \choix[b] : $w_0 = -1$ et $w_1 = 2 \times (-1) +1 = -1$. On démontre aisément par récurrence que la suite $(w_n)$ est constante de valeur $-1$ et converge donc vers $-1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 5

\begin{exo}{Démonstration par récurrence}{Lycée Guy de Maupassant, Fécamp}{1}{10}

On définit $(u_n)_{n \in \N}$ par :
$
\left\{
\begin{aligned}
&u_0=-2 \\
&u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3 
\qquad,\qquad n \in \N
\end{aligned}
\right.
$
\par
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\begin{questions}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\item $u_n<6$ &
\item $u_n=6-\dfrac{8}{2^n}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par \og{}$ u_n<6 $\fg.
\begin{itemize}
\item Par hypothèse, $u_0=-2$ donc $u_0<6$, donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.
\item Supposons que $\mathcal{P}_k$ est vraie au rang $k\geq 0$.  \par
Alors ,
\[ u_k< 6 \Rightarrow \dfrac{1}{2}u_k< 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2}u_k+3< 6\;, \]
donc $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie. 
\end{itemize}

On en déduit, d'après le principe de récurrence, que ${\mathcal P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire pour tout entier naturel $n$, $u_n < 6$.

\item  Soit ${\mathcal Q}_n$ la propriété définie par : $u_n=6-\dfrac{8}{2^n}$.
\begin{itemize}
\item Comme $6-\dfrac{8}{2^0} = -2 = u_0$, alors ${\mathcal Q}_0$ est vraie.
\item Supposons que ${\mathcal Q}_k$ est vraie au rang $k\geq 0$.  \par
Alors ,
\[ u_k=6-\dfrac{8}{2^k} \Rightarrow \dfrac{1}{2}u_k=3-\dfrac{8}{2^{k+1}} 
\Rightarrow \dfrac{1}{2}u_k+3=6-\dfrac{8}{2^{k+1}}. \]
Donc ${\mathcal Q}_{k+1}$ est vraie.
\end{itemize}

On a donc démontré par récurrence que,  pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_n=6-\dfrac{8}{2^n}. \]

\begin{Remarque}
on en déduit que la limite de $u_n$ est 6.
\end{Remarque}
\end{questions}

%\begin{Remarque}
%ce type de récurrence dépasse ce qui est exigible au niveau du bac, mais prépare au niveau post bac.
%\end{Remarque}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 6
\begin{exo}{Terme général d'une suite} {Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}{1}{10}

\begin{questions}
\item On considère la suite définie par  $u_0=2$  et  pour tout
$n\in\N$, \[  u_{n+1} = 2u_n - n.\]
Démontrer que pour tout $n\in\N,\ u_n=2^n+n+1$.
\item Soit  $(v_n)$ définie par $v_0=v_1=1$ et pour tout $n\in\N$ :
\[ v_{n+2} = 5v_{n+1}-6v_n.\]
Démontrer que, pour tout $n\in\N,\ v_n=2^{n+1}-3^n$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Raisonnons par récurrence sur $n$.
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a : $2^n+n+1=1+0+1=2=u_0$.
\item Supposons la formule vraie pour un entier naturel $k$ arbitrairement fixé.
\par
On calcule :
\[
\begin{aligned}
u_{k+1} &= 2u_k-k \\
&= 2(2^k+k+1)-k \\
&= (2^{k+1}+2k+2)-k \\
&= 2^{k+1}+k+2 \\
&= 2^{k+1}+(k+1)+1. 
\end{aligned}
\]
C'est bien la formule au rang $(k+1)$.  \par
On a donc prouvé par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak[4] $u_n~=~2^n~+~n~+~1$.
\end{itemize}
				
\item 
Nous allons démontrer par récurrence l'assertion :
\[\mathcal{P}(n) :\quad \Big[\: (*)\: v_n=2^{n+1}-3^n
\quad\textrm{et}\quad(**)\:  v_{n+1}=2^{n+2}-3^{n+1}\ \Big]\]
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a $\,2^{n+1}-3^n=2-1=1=v_0$ d'où $(*)$.
\par
Enfin,  $\,2^{n+2}-3^{n+1}=4-3=1=v_1$ qui est $(**)$ : on a vérifié ${\cal P}(0)$.
\item Supposons l'assertion ${\cal P}(k)$ vraie pour un certain entier naturel $k$. \par
On sait déjà : $\,v_{k+1}=2^{k+2}-3^{k+1}$ (d'après l'hypothèse de récurrence), qui est la partie  $(*)$  de l'assertion  ${\cal P}(k+1)$.\\
On calcule :  
\begin{align*}
v_{k+2}=5v_{k+1}-6v_k&=5(2^{k+2}-3^{k+1})-6(2^{k+1}-3^k)\\
&=5\times 2^{k+2}-5\times 3^{k+1}-6\times 2^{k+1}+6\times 3^k\\
&=5\times 2^{k+2}-5\times 3^{k+1}-3\times 2^{k+2}+2\times 3^{k+1}\\
&=2\times 2^{k+2}-3\times 3^{k+1}\\
&=2^{k+3}-3^{k+2}
\end{align*}
qui est $(**)$ au rang  $(k+1)$. On a ainsi vérifié  ${\cal P}(k+1)$. 
\end{itemize}
On en déduit, d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=2^{n+1}-3^n$.
\begin{attention}
La suite $v_n$ est une suite linéaire récurrente d'ordre deux (chaque terme dépend des deux termes qui le précèdent). Il est donc nécessaire de modifier l'hypothèse de récurrence. Une telle récurrence est parfois appelée récurrence double.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 7
\begin{exo}{Suite arithmétique}{Lycée François 1\ier{}, Fontainebleau}{1}{10}
Soit une suite $(a_n)$ vérifiant pour tout entier $n$ la relation suivante :  
\[ a_1+a_2+\dots+a_n=2n^2-3n. \]
\Par
Démontrer que $(a_n)$ est une suite arithmétique. 
\end{exo}


\begin{corrige}
On calcule : 
\[ \begin{aligned} 
a_1+a_2+\dots+a_{n-1} &=2(n-1)^2-3(n-1) = 2n^2-4n+2-3n+3 \\
&=2n^2-7n+5.
\end{aligned}
\]

Alors,
\[ \begin{aligned} 
a_n &=(a_1+\dots+a_n)-(a_1+\dots+a_{n-1}) \\
&=(2n^2-3n)-(2n^2-7n+5)\\
&=4n-5.
\end{aligned}
\]
Le terme général de la suite $a_n$ est de la forme $a_0+nr$.\\
Ainsi, $(a_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $a_0=-5$ et de raison $4$.

\begin{methode}
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on peut prouver que, pour  tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$ où $r$ est une constante (la raison de la suite) ou que le terme général de la suite est de la forme $u_0+nr$.
\end{methode}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 8

\begin{exo}{Suite homographique}{Lycée  Buffon, Paris}{1}{20}

Soit $(u_n)_{n \in {\N}}$ la suite définie par 
$
\left\{
\begin{aligned}
&u_0=2 \\
&u_{n+1}=\dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}
\qquad,\qquad
n \in \N
\end{aligned}
\right.
$
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$, $u_2$  et  $u_3$.
\item Démontrer que pour tout $n$, $ u_{n+1}=1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1} $.
\item En déduire par récurrence qu'on a toujours $ u_n>1$ et donc que la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ est bien définie pour tout $n$.
\end{questions}
\item Soit $(v_n)_{n \in {\N}}$ la suite définie pour tout $n$ par : 
$ v_n=\dfrac{1}{ u_n-1} $.
\begin{questions}
\item Montrer que $(v_n)_{n \in {\N}}$ est une suite
arithmétique.
\item Écrire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $u_1=\dfrac{4}{3}$, $u_2=\dfrac{6}{5}$ et $u_3=\dfrac{8}{7}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\begin{align*}
1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1} & = \dfrac{(2u_n-1)+(u_n-1)}{2u_n-1}\\
& = \dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}\\
& = u_{n+1}.
\end{align*}

\item  Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par : \og $u_n >1$ \fg.
\begin{itemize}
\item Par hypothèse, $u_0=2$ donc $u_0 >1$. Il en résulte que ${\mathcal P}_0$  est vraie.
\item Supposons que ${\mathcal P}_k$ est vraie au rang $k\geq 0$. \par
Alors, $2u_k-1>0$ et $u_k-1>0$, d'où $\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>0$, et donc : $u_{k+1}=1+\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>1$.\par 
Alors ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.
\end{itemize}
Donc, pour tout entier naturel $n$, ${\mathcal P}_n$  est vraie. \par
Alors, pour tout entier naturel $n$,  $u_n>1>\dfrac{1}{2}$.\par
Comme, pour tout entier naturel $n$, $u_n>\dfrac{1}{2}$, il en résulte que $2u_n-1$ est non nul et la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est donc bien définie pour tout $n$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item 
Remarquons d'abord que, d'après la question précédente, pour tout $n$,\mbox{ $u_n\neq 1$} ; la suite $(v_n)$ est donc bien définie.\par
Pour tout entier naturel $n$ on a :
\[
v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}-1} = \dfrac{1}{\frac{3u_n-2}{2u_n-1}-\frac{2u_n-1}{2u_n-1}}= \dfrac{1}{\frac{3u_n-2-(2u_n-1)}{2u_n-1}}= \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\;.\]
D'où:
\[
v_{n+1}-v_n = \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_n-1}= \dfrac{2(u_n-1)}{u_n-1}= 2\;.\]
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $2$.

\item On calcule  $v_0=\dfrac{1}{ 2-1}=1$. Alors pour tout entier naturel $n$ : 
\[
v_n=1+2n\qquad\text{et}\qquad
u_n=\dfrac{1}{v_n}+1=\dfrac{1+v_n}{v_n}=\dfrac{2n+2}{2n+1}.\]
\end{questions}
%\newpage
\begin{attention}
Avant de travailler sur une suite, il faut toujours s'assurer (même si l'énoncé ne le précise pas) qu'elle est bien définie. Dans cet exercice, il est nécessaire, pour que la suite $(u_n)$ soit bien définie, que tous les termes de la suite soient différents de $\dfrac{1}{2}$. En général, une telle propriété se prouve en minorant ou en majorant les termes de la suite et se démontre par récurrence.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 9 (anc. 10)

\begin{exo} {Suites récurrentes monotones}{Lycée Fénelon, Paris}{1}{15}%

On définit la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ par :
$ \left\{ 
\begin{aligned}
u_0&>0 \\
u_{n+1}&=u_n^2\qquad,\qquad
n \in \N
\end{aligned}
\right.$

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que $(u_n)_{n \in\N}$ est croissante si $u_0\geq1$ et décroissante si $u_0\leq 1$.
\item Que dire si $u_0=1$ ?
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Exprimer $(u_n)_{n \in {\N}}$ en fonction de $u_0$ et de $n$.
\item Déterminer la limite de $(u_n)_{n \in {\N}}$ 
selon la valeur de $u_0$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
  \item Une récurrence immédiate montre que $u_n\geq 0$ pour tout $n$.
\begin{itemize}
\item Supposons que $u_0\geq1$.\par 
Soit ${\mathcal P}_n$ la proposition définie par : $u_n\geq1$. \par
La proposition est vraie de manière évidente pour $n=0$.\par
Supposons que ${\mathcal P}_k$ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.\par
Alors, comme $u_{k+1}=u^2_k$, on a $u_{k+1}\geq 1$, donc ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.\par
Donc si ${\mathcal P}_k$ est vraie alors ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.\par
On a ainsi prouvé par récurrence que, pour tout naturel $n$, $u_n\geq 1$. \par
En multipliant de part et d'autre par $u_n$ (qui est positif), on conclut que :
\[ u_{n+1}\geq u_n\;, \]
pour tout $n$, soit $(u_n)_{n \in \N}$ croissante.
\begin{Remarque}
ici, la récurrence à faire n'est pas directement donnée, il faut donc « l'inventer ».
\end{Remarque}\Par

\item Supposons que  $u_0\leq1$.\par
Soit ${\mathcal Q}_n$ la proposition définie par : $u_n\leq1$.\par
La proposition est vraie de manière évidente pour $n=0$.\par
Supposons que ${\mathcal Q}_k$ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.\par
Alors $ u_{k+1}=u^2_k$ donc $u_{k+1}\leq 1$, donc ${\mathcal Q}_{k+1}$ est vraie. \par
On a prouvé par récurrence que $ 0\leq u_n\leq 1 $ pour tout $n$.\par
En multipliant de part et d'autre par $u_n$, on conclut que :
\[ u_{n+1}\leq u_n\;, \] 
pour tout $n$, soit $(u_n)_{n \in \N}$ décroissante.
\end{itemize}

\item 
Si $u_0=1$ alors $u_0\leq1$ et $u_0\geq1$ donc $(u_n)_{n \in \N}$ est à la fois croissante et décroissante, $(u_n)_{n \in \N}$ est donc constante.
\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item 
L'étude des premiers termes conduit à considérer la propriété ${\mathcal P}_n$ définie par : $u_n=u_0^{2^n}$.\par
Comme $2^0=1$, ${\mathcal P}_0$ est vraie.\par
Soit $k$ un entier arbitrairement fixé. Supposons ${\mathcal P}_k$ vraie. \par
Alors, $u_{k+1}=u_{k}^2=(u_0^{2^k})^2=u_0^{2^{k+1}}$.\\
Donc si ${\mathcal P}_k$ est vraie, alors ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie. \par
Par conséquent, pour tout entier $n$, ${\mathcal P}_n$ est vraie.

\item 
Ainsi,  
\[ \left\{
\begin{aligned}
&\text{pour}  \quad u_0>1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
&\text{pour}  \quad 0 \le u_0<1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0\\
&\text{pour}  \quad u_0=1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=1
\end{aligned}
\right.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 10 (anc. 12)
%\newpage
\begin{exo}{Suite convergente}{Lycée de l'Emperi, Salon-de-Provence}{2}{30}
Soit $0<k<1$ et la suite $u$ définie par $u_0=1$ et :
\[\text{pour tout }n\in\N,\qquad u_{n+1}=\left(1+k^n\right)u_n.\]
\begin{questions}
\item Démontrer par récurrence que pour tout naturel $n\geq 1$,
\[ u_n=(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big).\]
\item Soit pour tout $n\in\N$, $v_n=\ln {u_n}$. 

\begin{questions}
\item Justifier que, pour tout $x\geq 0$, on a $\ln{(1+x)} \leq x$.
\item En déduire que la suite $v$ est majorée par $\dfrac{k}{1-k}$.
\end{questions}

\item
Démontrer que la suite $u$ est majorée.\par
\'Etudier le sens de variation de $u$. \par
En déduire que la suite $u$ est convergente.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{ch2ex10q1} Pour tout $n\geqslant1$, on note ${\mathcal P}_n$ la proposition :
\[ u_n=(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big). \]
\begin{itemize}
\item On a $u_1=2$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n=1$.
\item Supposons que la propriété est vraie pour un entier $p$ non nul arbitrairement fixé.\par
On sait par hypothèse que $u_{p+1}=\big(1+k^p\big)u_p$. On remplace alors $u_p$ dans cette expression par sa valeur. Il vient :
\[ u_{p+1}=\big(1+k^p\big)\big(1+k\big)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{p-1}\big). \]
Donc si ${\mathcal P}_p$ est vraie, alors ${\mathcal P}_{p+1}$ est vraie.
\end{itemize}

Par conséquent, pour tout entier $n>0$, ${\mathcal P}_n$ est vraie.

\item
Remarquons que, d'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est à valeurs strictement positives. La suite $(v_n)$ est donc bien définie.

\begin{questions}
\item
Considérons la fonction définie pour tout réel $x$ positif par :
\[ f(x)=\ln{(x+1)}-x. \]
La fonction $f$ est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout réel $x$ positif,
\[ f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-1\;, \]
soit : $f'(x)=-\dfrac{x}{1+x}$. La fonction $f'$ est donc négative sur $[0~;+\infty[$, donc la fonction $f$ est décroissante sur son ensemble de définition. Elle admet ainsi un maximum en $0$ et, pour tout réel $x$ positif, on a : $f(x)\leq f(0)$, soit $f(x)\leq 0$.\\
Il en résulte que, pour tout réel $x$ positif, $\ln{(1+x)} \leq x$.

\item
Par hypothèse, $v_n=\ln {u_n}$. \par
On remplace alors $u_n$ par l'expression obtenue à la première question :
\[ v_n=\ln \left[(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big)\right]. \]
Comme $0<k<1$, tous les facteurs du produit sont strictement positifs, donc, en appliquant les propriétés de la fonction logarithme,
\[ v_n=\ln(1+k) + \ln\big(1+k^2\big) + \cdots + \ln\big(1+k^{n-1}\big). \]

\begin{methode}
Pour prouver une égalité du type $f(x)<g(x)$, on étudie la fonction $d(x)=f(x)-g(x)$, et son tableau de variation permettra d'en déterminer le signe.
\end{methode}

Comme $0<k<1$, on peut appliquer l'inégalité démontrée dans la question précédente à chacun des termes de la somme :
\[ \ln {\left (1+k \right)} \leq k \]
\[ \ln {\left (1+k^2 \right)} \leq k^2. \]
On additionne ensuite membre à membre les $n-1$ inégalités ainsi obtenues :
\[ v_n \leq k + k^2+ k^3+...+k^{n-1}. \]
On reconnaît dans le second membre de l'inégalité la somme des $n-1$ premiers termes de la suite géométrique de raison $k$ et de premier terme $k$. On peut alors écrire, comme $0<k<1$ :
\[ v_n \leq k \left(\dfrac{1-k^{n-1}}{1-k}\right)\;, \]
soit :
\[ v_n \leq \left(\dfrac{k}{1-k}\right)-\left(\dfrac{k^n}{1-k}\right). \]
Comme $\dfrac{k^n}{1-k}$ est positif, il en résulte que, pour tout entier naturel $n$,
\[ v_n \leq \dfrac{k}{1-k}. \]
\end{questions} 

\item D'après la question précédente, la suite $v$ est majorée. Or, pour tout naturel $n$, 
\[ u_n=\nep^{v_n}\;, \]
car la fonction $x\mapsto\nep^{x}$ est croissante sur $\R$, donc la suite $u$ est aussi majorée. \par
La suite $u$ est à termes strictement positifs. \par
D'après la relation de la question \refitem{ch2ex10q1}, pour tout naturel $n$,
\[  \dfrac{u_{n+1}}{u_n}= (1+k^n). \]
Comme $0<k<1$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$.
Il en résulte que la suite $u$ est croissante.
\par
La suite $u$ est croissante et majorée donc elle est convergente.
\end{questions}
\begin{methode}
On ne peut pas choisir comme majorant de la suite $v$ le réel $\dfrac{1-k^{n-1}}{1-k}$. 
\par
En effet, un majorant est une constante et ne peut donc dépendre de $n$. Il est donc indispensable de majorer la quantité $\dfrac{1-k^{n-1}}{1-k}$ par $\dfrac{k}{1-k}$ qui, lui, est indépendant de $n$.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 11 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Récurrence et algorithme}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés}{2}{25}
L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $u$ définie sur $\N$ par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right).\]

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier $n$, $u_n>0$.

\begin{questions}
\item On désigne par $f$ la fonction définie sur  l'intervalle $]0~;+\infty[$ par :
\[f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{7}{x}\right).\]
\begin{questions}
\item Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt7$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel quelconque. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.
\item Pourquoi peut-on en déduire que la suite $u$ est convergente ?
\item Déterminer alors sa limite L.
\end{questions}

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 
\[u_{n+1}-\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\big(u_n-\sqrt{7}\big)^2}{u_n}.\]

\item On définit la suite $d$ par $d_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[ d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n^2.\]
\begin{questions}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 
\[u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n.\]
\newpage
\item Voici un algorithme :

\begin{algorithme}
Variables
\qquad n et p sont des entiers naturels
\qquad d est un réel
Entrée
\qquad Demander à l'utilisateur la valeur de p
Initialisations
\qquad Affecter à d la valeur 1
\qquad Affecter à n la valeur 0
Traitement
\qquad Tant que d $>$ 10$^{-p}$
\qquad\qquad Affecter à d la valeur 0,5d$^2$
\qquad\qquad Affecter à n la valeur n + 1
Sortie
\qquad Afficher n
\end{algorithme}

\Par

En entrant la valeur 9, l'algorithme donne la valeur 5.

Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_5$ ?

Justifier que $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{x^2}$ et $\begin{aligned}[t]
f'(x)>0 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}>\dfrac{7}{2x^2}\\& \Leftrightarrow x^2>7\\
& \Leftrightarrow x>\sqrt{7}\text{ sur }]0~;+\infty[.
\end{aligned}$

Donc $f$ est décroissante sur $\left]0~;\sqrt{7}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{7}~;+\infty\right[$. Donc la fonction $f$ admet un minimum en $\sqrt{7}$.\label{ch2ex20141a}

\item $u_n$ est toujours positif par hypothèse et d'après la \refitem{ch2ex20141a}, pour tout $n$,\linebreak $f(u_n)\geqslant\sqrt{7}$.

Or, $u_{n+1}= f(u_n)$ et $f$ est croissante sur $\left]0~;\sqrt{7}\right]$ donc pour tout $n\geqslant1$, $u_n\geqslant\sqrt{7}$.

D'autre part, la propriété est vraie pour $n=0$ car $3>\sqrt{7}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt{7}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-u_n\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{u_n}-u_n\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7-u_n^2}{u_n}\right).
\end{aligned}$

Or, tous les termes de la suite sont positifs et $u_n\geqslant\sqrt{7}$ donc $u_n^2\geqslant 7$.

Par conséquent, $u_{n+1}-u_n\leqslant0$.

\item La suite est décroissante et minorée par $\sqrt{7}$. Elle est donc convergente.

\item $L=\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}$.

Donc,
\[
L=\dfrac{1}{2}\left(L+\dfrac{7}{L}\right)\Leftrightarrow \dfrac{L}{2}=\dfrac{7}{2L} \Leftrightarrow L^2=7.
\]
Donc, $L=\sqrt{7}$ (car tous les termes de la suite sont positifs).
\end{questions}

\item Pour tout $n$, $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} -\sqrt{7}&=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-\sqrt{7} \\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_n^2+7-2u_n\sqrt{7}}{u_n}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2}{u_n}.
\end{aligned}$

\item 
\begin{questions}
\item $u_0-\sqrt{7}=3-\sqrt{7}\approx0,354$, et $d_0=1$  donc $u_0-\sqrt{7}\leqslant d_0$.

\par 


Supposons que pour une valeur de $n$ quelconque, $u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n$. Montrons qu'alors $u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{n+1}$.
\begin{align*}
u_n-\sqrt{7} \leqslant d_n & \Rightarrow \left(u_n-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_n^2\text{ après avoir élever au carré}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant\dfrac{1}{2} d_n^2\text{ après avoir divisé par 2}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_{n+1}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2}{u_n}\leqslant\dfrac{d_{n+1}}{u_n}\text{ après avoir divisé par }u_n\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2}{u_n}\leqslant d_{n+1}.
\end{align*}

La dernière inégalité provient du fait que $u_n\geqslant\sqrt{7}>1$. On a donc bien $u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{n+1}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n$.

\item $d_5\leqslant 10^{-9}$. On a :
\[
u_5-\sqrt{7}\leqslant d_5 \leqslant 10^{-9}. 
\]
Donc $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 12 (ancienn. 9)

\begin{exo}{Suite du type $u_{n+1}=f(u_n)$ (2)}{Lycée Bachelard, Chelles}{3}{20}%

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x > \dfrac{1}{2}$ par :
\[
f(x)=\dfrac{x^2}{2x-1}.
\]
\begin{questions}
\item Démontrer que pour tout $x>1$,
$
f(x)>1
$.
\end{questions}

\Par

On peut donc définir la suite $(u_{n})$ par :
$
\left\{
\begin{aligned}
&u_0=2 \\
&u_{n+1}=f(u_{n})
\qquad,\qquad
n \in \N
\end{aligned}
\right.
$

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère les suites $(v_{n})$ et $(w_n)$ telles que pour tout entier $n$ :
\[
v_n=\dfrac{u_{n}-1}{u_n}
\quad
\text{et}
\quad
w_{n}=\ln (v_n).
\]
\begin{questions}
\item Vérifier que $v_n$ et $w_n$ existent pour tout entier $n$.
\item Montrer que $w$ est une suite géométrique.
\item Exprimer $w_n$ puis $v_n$ en fonction de $n$.
\par
En déduire que :
\[
u_n=\dfrac{1}{1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2^n}}.
\]
Quelle est la limite de la suite $u$ ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Pour tout $x>1$ :
\begin{align*}
f(x)-1 & =\dfrac{x^2}{2x-1}-1\\
& =\dfrac{x^2-2x+1}{2x-1}\\
& =\dfrac{(x-1)^2}{2x-1}\;.
\end{align*}
Or, $(x-1)^2>0$ et $2x-1>0$ donc, pour tout $x>1$,  $ f(x)-1>0 $, soit $f(x)>1$.

\item
\begin{questions}
\item On montre facilement par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n>1$, donc $v_n=\dfrac{u_{n}-1}{u_n}$ existe ($u_n \neq 0$) et $v_n>0$. Par conséquent $w_n=\ln (v_n)$ existe. \Par
Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont bien définies pour tout $n \in \N$.

\item On a :
\[
v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}
\quad
\text{et}
\quad
u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}\;,
\]
d'où :
\begin{align*}
v_{n+1}&=\dfrac{\frac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}-1}{\frac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}} \\
&=\dfrac{\frac{u_n^2-(2u_n-1)}{2u_n-1}}{\frac{u_n^2}{2u_n-1}}\\
&=\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{u_n^2}\\
&=\dfrac{(u_n-1)^2}{u^{2}_{n}} \\
&=v^{2}_{n}.
\end{align*}
Ainsi, 
$
w_{n+1}=\ln (v_{n+1}) 
=2 \ln (v_{n}) 
=2w_n
$.
\Par
Donc $w$ est géométrique de raison $2$.

De plus, $w_0=\ln(v_0)$ et $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0}=\dfrac{1}{2}$, donc $w_0=-\ln 2$.
\item Pour tout $n$, on a :
\[
w_n=-\ln 2 \times 2^n=\ln \left( \dfrac{1}{2} \right) \times 2^n\]
et
\[
v_{n}=\nep^{w_n}
=\nep^{2^n\times\ln\frac{1}{2}}
=\left(\nep^{\ln\frac{1}{2}}\right)^{2^n}
=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2^n}.
\]
De plus, 
\[ v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n} \iff u_n=\dfrac{1}{1-v_n}\;, \]
d'où :
\[ u_n=\dfrac{1}{1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2^n}}. \]
On en déduit $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1 $.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex 13 (anc. 14)

\begin{exo}{Suite de Fibonacci}{Lycée des Arènes, Toulouse}{3}{60}

On considère la suite $(F_n)$ définie par :
\[ F_0=1\quad,\quad  F_1=1\quad,\quad F_{n+2}= F_{n+1} + F_n\;,\]
quel que soit l'entier naturel $n$.\par
On notera que la troisième information signifie que tout terme de la suite (à partir du troisième) est égal à la somme des deux termes qui le précèdent.\par
Pour information, $F_n$ représente l'effectif de la population des ancêtres de $n$-ième génération d'une abeille mâle (dans un modèle simplifié).

\begin{questions}
\item Calculer $F_2$, $F_3$, $F_4$ et $F_5$.
\item Démontrer par récurrence que :
\[F_n \geq n\;,\]
quel que soit l'entier naturel $n$.\par
Que peut-on en déduire à propos de la limite de la suite $(F_n)$ ?
\item Démontrer par récurrence que :
\[F_n \times F_{n+2} = F_{n+1}^2 + (-1)^n\;,\]
quel que soit l'entier naturel $n$.
\item Pour la suite de l'exercice, on considère les suites $(Q_n)$, $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par les égalités :
\[ Q_n= \dfrac{F_{n+1}}{F_n},\quad u_n=Q_{2n},\quad v_n=Q_{2n+1}\;,\]
quel que soit l'entier naturel $n$.

\begin{questions}
\item Déterminer l'expression de $Q_{n+2}-Q_n$ en fonction de termes de la suite $F$.

\item Déterminer le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
%\newpage
\item Exprimer $v_n - u_n$ en fonction de $n$, $F_{2n}$ et $F_{2n+1}$, et en déduire successivement que :
\begin{itemize}
\item $u_n \le v_n$.
\item ces deux suites convergent.
\item $(v_n - u_n)$ converge vers $0$.
\item $(u_n)$ et  $(v_n)$ convergent vers la même limite.
\item $(Q_n)$ converge.
\end{itemize}
\item Démontrer que :
\[\lim_{n \to +\infty}\big(Q_n^2-Q_n-1\big) = 0.\]
\item En déduire la valeur de la limite de la suite $(Q_n)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a  $F_2=2$, $F_3=3$, $F_4=5$ et $F_5=8$.

\item \label{ch2ex13q2}Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par : $F_n \geq n$.
\begin{itemize}
\item Comme $F_0=F_1=1$, la propriété est vérifiée de manière évidente pour $n=0$ et $n=1$.
\item Supposons que ${\mathcal P}_{k-1} $ et ${\mathcal P}_{k}$ sont vraies pour un entier $k$ arbitrairement fixé et montrons alors que ${\mathcal P}_{k}$ et ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.

${\mathcal P}_{k}$ est vraie puisque cela fait partie de l'hypothèse de récurrence.

Comme $F_{k-1}\geqslant k-1$ et $F_k\geqslant k$, alors en additionnant membre à membre ces deux inégalités, il vient :
\[ F_{k-1} + F_k\geqslant  2k-1\;,\]
Et donc: \[ F_{k+1}\geqslant  2k-1.\]
On cherche à montrer que $F_{k+1}\geqslant  k + 1$.
Or, 

\begin{equation}
2k -1 \geqslant k + 1 \Leftrightarrow k \geqslant  2\label{ch2ex14eq}
\end{equation}

On a déjà montré que ${\mathcal P}_{k}$  est vraie pour $k=1$ et $k=2$.

Pour $k\geqslant2$, on vient de montrer que $F_{k+1}\geqslant  2k-1$  et donc\linebreak $F_{k+1}\geqslant k+1$ d'après (\ref{ch2ex14eq}).
\end{itemize}

On a donc démontré par récurrence que, pour tout naturel $n$, $F_n \geq n$.\Par
En appliquant le théorème des limites par comparaison, on en déduit de manière immédiate que :
\[ \lim\limits_{n\to+\infty}F_n=+\infty. \]

\begin{methode}
La suite étudiée ici est une suite récurrente d'ordre deux, c'est-à-dire que chaque terme, à partir du troisième, dépend des deux termes qui le précèdent. Ceci nous a conduit à utiliser une variante du raisonnement par récurrence parfois appelée \og récurrence double \fg dont la principe s'énonce ainsi:
\par
Soit ${\mathcal P}_n $ une propriété dépendant de l'entier naturel $n$. Si la propriété est vraie pour $n=0$ et pour $n=1$ et si, pour tout entier naturel $n$, le fait que la propriété soit vraie au rang $n$ et au rang $n+1$ entraîne alors qu'elle est vraie au rang $n+2$, alors la propriété ${\mathcal P}_n $ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{methode}

\begin{Remarque}
une telle récurrence n'est pas exigible au niveau du baccalauréat, mais savoir l'étudier sera utile en post bac.
\end{Remarque}

\item Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par : 
\[ F_n \times F_{n+2} = F_{n+1}^2 + (-1)^n. \]
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a $F_0F_2=2$ et $F_1^2+1=2$, ce qui montre que la propriété est vraie au rang 0. 
\item Supposons que ${\mathcal P}_k $ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.\par
Calculons alors $F_{k+1}F_{k+3}$ :
\[
\begin{aligned} 
F_{k+1}F_{k+3} &=F_{k+1}\left[F_{k+2}+F_{k+1}\right] \\
 &=F_{k+1}F_{k+2}+F^2_{k+1}.
\end{aligned} 
\]
Or, d'après l'hypothèse de récurrence,
\[ F^2_{k+1}=F_k \times F_{k+2}- (-1)^k. \]
On remplace et on simplifie l'écriture. Il vient :
\[ F_{k+1}F_{k+3}= F_{k+2}\left[F_{k+1}+F_k\right]+(-1)^{k+1}\;, \]
car $-(-1)^k=(-1)^{k+1}$.

Or, $F_{k+1}+F_k=F_{k+2}$.\par
On obtient donc finalement :
\[ F_{k+1}F_{k+3}= F^2_{k+2}+(-1)^{k+1}. \]
Donc si ${\mathcal P}_k$ est vraie alors ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.
\end{itemize}
On a donc prouvé par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak[4] $F_n \times F_{n+2} = F_{n+1}^2 + (-1)^n$.

\item

\begin{questions}
\item
On a :
\[ Q_{n+1}-Q_n = \dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}- \dfrac{F_{n+1}}{F_n}. \]
Après réduction au même dénominateur et remplacement de\linebreak[4] $F_n \times F_{n+2}$ par $F_{n+1}^2 + (-1)^n$ (résultat obtenu à la question précédente), il reste :
\[ Q_{n+1}-Q_n = \dfrac{(-1)^n}{F_nF_{n+1}}. \]

\Par
On commence par remarquer que :
\[ Q_{n+2}-Q_n =\left(Q_{n+2}-Q_{n+1} \right)+\left(Q_{n+1}-Q_n \right)\;, \]
ce qui permet d'exploiter l'égalité obtenue précédemment.
\[ Q_{n+2}-Q_n =\dfrac{(-1)^{n+1}}{F_{n+2}F_{n+1}}+\dfrac{(-1)^n}{F_nF_{n+1}}. \]
Après réduction au même dénominateur et mise en facteur de $(-1)^n$, on obtient :
\[ Q_{n+2}-Q_n =\dfrac{(-1)^n\left[F_{n+2}-F_n\right]}{F_nF_{n+1}F_{n+2}}. \]
Or, par hypothèse, $F_{n+2}-F_n=F_{n+1}$, ce qui permet de réduire l'égalité précédente à :
\[ Q_{n+2}-Q_n =\frac{(-1)^n}{F_nF_{n+2}}. \]

\item
Pour tout naturel $n$, d'après le résultat de la question précédente,
\[ u_{n+1}-u_n=Q_{2n+2}-Q_{2n}=\dfrac {(-1)^{2n}}{F_{2n}F_{2n+2}}. \]
Comme la suite $(F_n)$ est à valeurs positives d'après la question \refitem{ch2ex13q2}. et que $(-1)^{2n}=1$, $u_{n+1}-u_n$ est positif donc la suite $(u_n)$ est croissante. \Par
On procède de même pour déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$. \par
Pour tout naturel $n$,
\[ v_{n+1}-v_n=Q_{2n+3}-Q_{2n+1}=\dfrac {(-1)^{2n+1}}{F_{2n+1}F_{2n+3}}. \]
On a donc $v_{n+1}-v_n$ négatif et la suite $(v_n)$ est décroissante.

\item Calculons la différence $v_n-u_n$. \Par
Pour tout naturel $n$,
\[  v_n-u_n=Q_{2n+1}-Q_{2n}=\dfrac {(-1)^{2n}}{F_{2n}F_{2n+1}} \]
Or, pour tout naturel $n$, le nombre $2n$ est pair donc $(-1)^{2n}=1$. 

\begin{itemize}
\item On a prouvé à la question \refitem{ch2ex13q2}. que $F_n > n$, donc que $F_n$ est positif. Par conséquent, $v_n -u_n \ge 0$, et alors $u_n \le v_n$ pour tout $n$.
\item Puisque $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante, pour tout $n$, on a $u_0 \le u_n \le v_n \le v_0$. Cela montre que la suite $(u_n)$ est croissante majorée par $v_0$ et $(v_n)$ décroissante minorée par $u_0$, donc les deux suites sont convergentes.
\item Comme la suite $(F_n)$ tend vers $+\infty$, l'expression de $v_n-u_n$ montre que cette différence tend vers $0$.
\item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et leur différence converge vers $0$, donc les deux suites convergent vers la même limite.
\item Il reste alors à prouver que si les deux suites $(u_n)=(Q_{2n})$ et $(v_n)=(Q_{2n+1})$ convergent vers la même limite, alors la suite $(Q_n)$ converge aussi vers cette limite. \par
Ce résultat s'établit en revenant à la définition de la limite d'une suite. \par
Soit $\ell$ un nombre réel. On dit que la suite $u$ admet $\ell$ pour limite en $+\infty$ et on écrit :
\[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell\;,\]

si, pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, on a $u_n\in I$ si $n$ est suffisamment grand. \Par
Soit $\varepsilon>0$. D'après la définition précédente, il existe un entier $N_1$ tel que, pour tout entier $p\geq N_1$, 
\[ Q_{2p}\in ]\ell-\varepsilon , \ell+\varepsilon[. \]
De même, il existe un entier $N_2$ tel que, pour tout entier $p\geq N_2$, 
\[ Q_{2p+1}\in ]\ell-\varepsilon , \ell+\varepsilon[. \]
On considère alors l'entier $N$ défini par $N=2$sup$(N_1 , N_2)$. \par
Pour tout entier $n>N$, si $n$ est pair, alors $n=2p$ où $p$ est un entier naturel, et $Q_n=Q_{2p}$. Comme $n > N$, alors $p\geq N_1$ donc $Q_n \in ]\ell-\varepsilon ~; \ell+\varepsilon[$.
De même, si $n$ est impair, il existe un entier naturel $p$ tel que $n=2p+1$. Pour tout $n > N$, on a $p\geq N_2$ donc  $Q_n \in ]\ell-\varepsilon ~; \ell+\varepsilon[$. \Par
Il en résulte que, pour tout entier naturel $n>N$, on a :\\ 
$Q_n \in ]\ell-\varepsilon ~; \ell+\varepsilon[$, ce qui montre que la suite $(Q_n)$ converge elle aussi vers $\ell$.
\end{itemize}


\item Pour tout naturel $n$, on a :
\[ Q_n^2-Q_n-1 = \left(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\right)^2-\dfrac{F_{n+1}}{F_n}-1. \]
On réduit alors au même dénominateur :
\[ Q_n^2-Q_n-1 = \dfrac{\left(F_{n+1}+F_n\right)\left(F_{n+1}-F_n\right)-F_{n+1}F_n}{F^2_n}\;,\]
soit :
\begin{align*}
Q_n^2-Q_n-1 & = \dfrac{F_{n+2}\left(F_{n+1}-F_n\right)-F_{n+1}F_n}{F^2_n} \\
& = \dfrac{F_{n+2}F_{n+1}-F_{n+2}F_n-F_{n+1}F_n}{F^2_n} \end{align*}

On peut alors remplacer $F_{n+2}F_n$ par $F_{n+1}^2 + (-1)^n$ :

\[ Q_n^2-Q_n-1 = \dfrac{F_{n+1}\left[F_{n+2}-F_n\right]-F^2_{n+1}-(-1)^n}{F^2_n}. \]

Or, $F_{n+2}-F_n = F_{n+1}$ et après une ultime simplification, il vient :

\[ Q_n^2-Q_n-1 = \dfrac{(-1)^{n+1}}{F^2_n}. \]

Comme le numérateur ne garde pas un signe constant, on procède par encadrement :

\[   
\dfrac{-1}{F^2_n} \leq Q_n^2-Q_n-1 \leq \dfrac{1}{F^2_n}.
\]

Comme d'après la question \refitem{ch2ex13q2}, la suite $(F_n)$ tend vers $+\infty$, il en résulte que :
\[ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-1}{F^2_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{F^2_n}=0. \]
On en conclut d'après le théorème de limite par encadrement :
\[\lim_{n \to +\infty}\left(Q_n^2-Q_n-1\right) = 0.\]

\item Soit $\ell$ la limite de la suite $(Q_n)$. D'après l'égalité :
\[
\lim_{n \to +\infty}\left(Q_n^2-Q_n-1\right) = 0\;,
\]
on a :
\[ \ell^2-\ell-1=0. \]
Cette équation admet deux racines $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\par
Or, la suite $(Q_n)$ est définie pour tout naturel $n$ par $Q_n= \dfrac{F_{n+1}}{F_n}$; elle est donc à valeurs positives. D'après le théorème de compatibilité de l'ordre et de la limite, sa limite $\ell$ est donc positive.
\par
On en déduit que $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.$ 
\end{questions}
\end{questions}

\begin{methode}
On retiendra la méthode utilisée ici pour démontrer la convergence de la suite $(Q_n)$ et en déterminer la limite. On a considéré les  deux suites extraites : la sous-suite des termes de rang pair et la sous-suite des termes de rang impair.
On a démontré alors le résultat suivant :
\par
Soit $(u_n)$ une suite réelle; si les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$, alors la suite $(u_n)$ converge aussi vers $\ell$.
\par
Ce résultat étant hors programme, il conviendra de le redémontrer chaque fois qu'on souhaitera l'utiliser.
\end{methode}
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput