\chapter{Limites de fonctions}

\begin{exointro}{Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}
\begin{questions}\item
Calculer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes, en déduire éventuellement l'existence d'asymptotes horizontales dont on donnera les équations.%, et en déduire éventuellement l'existence d'asymptotes verticales dont on donnera les équations :
\begin{questions}
\item $f:x\mapsto\dfrac{3x+1}{x^2}$
\item $g:x\mapsto\dfrac{7-3x^2}{5+4x^2}$
\item $h:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-1}-x$
\end{questions}
\item Étudier le comportement lorsque $x$ tend vers $1$,  des fonctions $f$ et $g$  suivantes : 
\begin{questions}
\item $f: x\mapsto x+\dfrac{1}{(x-1)^2}$
\item $g:x\mapsto\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1}$
\end{questions}
\item Calculer la limites en $+\infty$ de la fonction $f$ et la limite en $-\infty$ de la fonction $g$.
\begin{questions}
\item $f:x\mapsto\left|\dfrac{1-x}{1+x}\right|$
\item $ g:x\mapsto\sin\left(\dfrac{\pi x}{4|x|-1}\right)$
\end{questions}
\item Calculer la limite en $1$ de la fonction $h:x\mapsto (x-1)^2\sin\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$.
\end{questions}
\end{exointro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limites à l'infini}
\begin{defin} Soit $\ell$ un nombre réel. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $+\infty$ et on écrit 
\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell,\]
si pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, on a $f(x)\in I$ si $x$ est suffisamment grand.
\end{defin}
On dit alors que la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe.\\
Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ et de l'asymptote, on étudie le signe de la différence $f(x) - \ell$.

\begin{defin} 
On dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ et on écrit 
\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\]
si pour tout réel $A$, on a $f(x)\in \left[A~;+\infty\right[$ si $x$ est suffisamment grand.
\end{defin}
%
On définit de même la limite en $-\infty$.

\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}
l'écriture $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell^+$ 
signifiera que la limite $\ell$ est approchée par valeurs supérieures. 
De même $\ell^-$ signale une limite approchée par valeurs inférieures.  
\end{Remarque}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Limites en un réel donné}


\subsection{Définitions}

\begin{defin} Soient $\ell$ et $a$ deux réels. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ et on écrit 
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell,\]
si pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, on a $f(x)\in I$ si $x$ est suffisamment proche de $a$.
\end{defin}

\begin{defin} 
On dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite en $a$ et on écrit :
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty,\]
si pour tout réel $A$, on a $f(x)\in \left[A~;+\infty\right[$ si $x$ est suffisamment proche de $a$.\\
De même $f$ admet pour limite $-\infty$ lorsque $f(x) \in ]-\infty~;A]$.
\end{defin}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On dit alors que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe.

\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}
si $x>a$, on parlera de limite à droite en $a$.

Si $x<a$, on parlera de limite à gauche en $a$.
\end{Remarque}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Propriété}
Si la fonction $f$ admet une limite $\ell$ en $a$, alors cette limite est unique.

\vspace*{-1em}
\section{Limites et opérations}

Convention : une lettre grecque minuscule désigne soit un réel,  soit $+\infty$, soit $-\infty$. 

\vspace*{-.5em}
\subsection{Somme et produit de deux fonctions $f$ et $g$}

\begin{center}\morestretch
	\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
		\hline\tabulartitle
		$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x)$ & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} g(x)$  & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \big[f(x)+g(x)\big]$  & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \big[f(x) \times g(x)\big]$  \\\hline
		$\ell$   & $\ell'$ & $\ell+\ell'$ &  $\ell \times \ell'$  \\\hline
		
		$+\infty$ & $\ell'$ & $+\infty$ & $\begin{array}{rl} 
					+\infty &\text{ si } \ell' > 0 \\
					-\infty& \text{ si } \ell' < 0\\
					\text{indéterminée}&\text{ si $\ell'=0$.} \end{array}$  \\\hline
		
		$-\infty$ & $\ell'$ & $-\infty$  & $\begin{array}{rl} 
					-\infty& \text{ si } \ell' > 0 \\ 
					+\infty& \text{ si } \ell' < 0\\
					\text{indéterminée}&\text{ si $\ell'=0$.} \end{array}$  \\\hline
		$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$  & $+\infty$  \\\hline
		$-\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  & $+\infty$  \\\hline
		$+\infty$ & $-\infty$ & indéterminée  & $-\infty$  \\\hline
	\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Inverse d'une fonction $f$}


\begin{itemize}
\item  Si $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} f(x) =\ell$, $\ell \in \R^*$, alors : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \frac{1}{f(x)} =\frac{1}{\ell}$.

\item  Si $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} f(x) = 0^+$, alors : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \frac{1}{f(x)} = +\infty$.

\item  Si $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} f(x) = 0^-$, alors : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \frac{1}{f(x)} = -\infty$.

\item  Si $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} f(x) = +\infty$, alors : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \frac{1}{f(x)} = 0^+$.

\item  Si $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} f(x) = -\infty$, alors : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \frac{1}{f(x)} = 0^-$.
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Quotient de deux fonctions $f$ et $g$}

En écrivant, pour $g\neq0$, $\displaystyle \frac{f}{g} = f \times \frac{1}{g}$, on applique les 
résultats sur l'inverse d'une fonction et sur le produit de deux fonctions.\\
Dans la pratique, on cherche la limite du numérateur, puis celle du dénominateur, et l'on fait le quotient (lorsque cela est possible).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Cas d'indétermination}

Elles sont au nombre de quatre :\quad
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}\hline
      « $(+\infty) + (-\infty)$ » &
   « $0 \times \infty$ » \\
\hline
    « $\dfrac{0}{0}$ » &
  « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».\\
\hline
\end{tabular}
\Par
Dans ces quatre cas, on ne peut pas conclure directement. On modifie alors l'écriture de $f(x)$ de manière à « lever l'indétermination ».\\
Deux méthodes à connaître dans ce but :
\begin{itemize}
\item La limite d'une fonction rationnelle à l'infini est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur
\item Si un calcul de limite comprenant des racines carrées conduit à une forme indéterminée, on peut souvent s'en sortir en multipliant le numérateur et le dénominateur par la forme conjuguée de l'un ou de l'autre.
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Théorèmes de composition et  de comparaison}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans une recherche de limite, les théorèmes sur les opérations ne permettent pas toujours de conclure, soit en raison d'un cas d'indétermination, soit à cause de la présence d'un terme n'ayant pas de limite. Ce paragraphe présente des outils adaptés à cette situation. 

\begin{thm}[composition] 
$f$ et $g$ sont deux fonctions. Pour ces deux fonctions :
\[\textrm{Si} \qquad
\lim_{t\to\alpha}g(t)=\beta\textrm  { et }\lim_{x\to\beta}f(x)=\gamma\qquad
\textrm{alors}\qquad\lim_{t\to\alpha}f(g(t))=\gamma.
\]
\end{thm}


\begin{thm}[comparaison]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Si, pour $x$ au voisinage de $\alpha$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors : \\
\begin{itemize}
\item
Si $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)= +\infty$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= +\infty$.
\item
Si $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= -\infty$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)= -\infty$.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{attention}
Ce théorème est utilisé pour obtenir des limites infinies.
\end{attention}

\begin{thm}[Théorème des gendarmes] Soient $f{,}~g$, et $h$ trois fonctions et $\ell$ un réel.
\begin{itemize}
\item
Si, pour $x$ au voisinage de $\alpha$, $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et  :
\[ \lim_{x\to\alpha}g(x)=\ell\qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to\alpha}h(x)= \ell\;, \] 
alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= \ell$.
\item
Si, pour $x$ au voisinage de $\alpha$, $\left|f(x)-\ell\right| \leq g(x)$ et si $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=\ell$.
\end{itemize}
\end{thm} 

\begin{attention}
Le théorème de limite par encadrement ne permet d'obtenir que des limites finies.
\end{attention}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item
Fonction $f$ : la limite d'une fonction rationnelle en $\pm\infty$ est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré, donc :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3x}{x^2}
=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3}{x}=0.
\]
L'étude est identique en $-\infty$ où la limite est aussi $0$.

\item Fonction $g$ : on a de même :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-3x^2}{4x^2}=\frac{-3}{4}.
\]
De même $\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=\dfrac{-3}{4}$.

\item $h:x \mapsto x^2 +3x -1$ est une fonction trinôme dont le discriminant $13$ est positif. $h$ est donc définie sur :
\[ \left] -\infty~; \dfrac{-3-\sqrt{13}}{2} \right] \cup \left[ \dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}~;+\infty \right[. \]

\begin{itemize}
\item \'Etude en $-\infty$ :
\[\hspace*{-4.7em}\left.
\begin{aligned} 
\lim\limits_{x\to -\infty} (x^2 +3x -1)  =\lim\limits_{x\to -\infty} x^2 = +\infty \\
\textrm{et} \lim\limits_{X\to +\infty} \sqrt{X} = +\infty
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \sqrt{x^2 + 3x -1} = + \infty.\]
\vspace*{-2.7em}
\BreakWithoutItem
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} (-x) = +\infty$ .\\
Donc par somme, $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x) = +\infty$.

\item \'Etude en $+\infty$ :

On obtient une forme indéterminée. Utilisons alors l'expression conjuguée : 
\[\begin{split}
\left(\sqrt{x^2+3x-1}-x\right)\,\left(\sqrt{x^2+3x-1}+x\right)\\
\null=(x^2+3x-1)-(x)^2=3x-1.
\end{split}\]
Alors, pour $x>0$ suffisamment grand :
\[\begin{split}
h(x)=\frac{3x-1}{\sqrt{x^2+3x-1}+x}
=\frac{x\,\left(3-\frac{1}{x}\right)}{x\,\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}+1\right)}\\
=\frac{3-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}+1}.
\end{split}\]
Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2$, de sorte que 
\[\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\dfrac{3}{2}.\]
\end{itemize}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On a $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)^2=0^+$,  donc
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty$.
% 
\begin{flalign*}
&\text{D'où, par somme :}&\lim\limits_{x\to
1}\left(x+\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)&=+\infty.&&
\end{flalign*}


\item  Soit la fonction $g:x\mapsto\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1}$.   \par
Pour tout $x\in\mathcal{D}_g$, on a $x-1>0$ et donc $x-1=\left(\sqrt{x-1}\right)^2$. 

\begin{flalign*}
&\text{Alors :}  &&g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}.&&\\
&\text{Or,} &&\lim\limits_{x\to 1}\sqrt{x-1}=0^+\;,\\
&\text{d'où :}&&\lim\limits_{x\to 1}g(x)=+\infty.
\end{flalign*}
%
Notons qu'ici, $x$ ne peut tendre vers $1$ que par valeurs supérieures ; il est pourtant inutile de le préciser dans l'écriture symbolique de la limite, car il est comme toujours sous-entendu que $x\in\mathcal{D}_g$.
 \end{questions}
 \Break
\item
\begin{questions}
\item
On a  :
\[ \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-x}{1+x}=-1 \quad \]
(limite du rapport des termes de plus haut degré). 

On en déduit : 
\[  \lim_{x\to +\infty}\left|\dfrac{1-x}{1+x}\right| =\lim_{X\to -1}|X|=|-1|=1. \]
\item On a  :
\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{\pi x}{4|x|-1}=\frac{\pi}{4}\;, \]
alors  :
\[  \lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{t\to \frac{\pi}{4}}\sin t =\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}. \]
On trouverait de même que  $\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$.
\end{questions} 

\item 
\begin{Remarque}
la fonction sinus n'a pas de limite à l'infini, on doit donc utiliser les théorèmes d'encadrement.
\end{Remarque}

Pour tout réel $x\neq 1$, on a : 
\[  -1 \leq \sin\left(\frac{1}{x-1}\right) \leq 1 \quad \text{ donc } \quad -(x-1)^2 \leq h(x) \leq (x-1)^2. \]
Or,  $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)^2=0$ donc d'après le théorème de limite par encadrement : $\lim\limits_{x\to 1}h(x)=0.$
\end{questions}
\end{solintro}
\endinput

